高二人教版教案正弦定理.pdf

《高二人教版教案正弦定理.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高二人教版教案正弦定理.pdf（7页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、1 11 1 正弦定理（教学设计）正弦定理（教学设计）教学目标教学目标1 1 知识与技能知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。2.2.过程与方法过程与方法:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。3 3情态与价值：情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体

2、现事物之间的普遍联系与辩证统一。教学重、难点教学重、难点重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。学法与教学用具学法与教学用具学法：引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系：，接着就一般斜sinAsinBsinC三角形进行探索，发现也有这一关系；分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导，让学生发现向量知识的简捷，新颖。教学过程：教学过程：一、创设情景、新课引入一、创设情景、新课引入如图 11-1，固定ABC 的边 CB 及B，使边 AC 绕着顶点 C 转动。A思考：C 的大小与它的对边 AB 的长度之间有怎样的数量关系？显然，边 AB 的长

3、度随着其对角C 的大小的增大而增大。能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？C B二、新课讲解：二、新课讲解：(图 11-1)在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图 11-2，在 RtABC 中，设 BC=a,AC=b,AB=c,根据锐角三角函数中正弦函数=abc的定义，有则abc=sinA，=sinB，又sinC=1=,AcccasinA=bsinB=csinC=c b c=从而在直角三角形 ABC 中，asinAbsinB=csinC C a B(图 11-2)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐

4、角三角形和钝角三角形两种情况：如图 11-3，当ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是 CD，根据任意角三角函数的定义，有 CD=asinB=bsinA,则asinA=bsinB，C同理可得从而csinC=bsinB=，b a A c BsinAsinBsinC (图 11-3)思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。u ruu u r（证法二）：过点 A 作jAC，Cuuruu u ruu r由向量的加法可得AB=AC+CBabcu r uuru ruu u ruu r则jAB=j(AC+CB)A Bu r uuru r uu u ru

5、r uu ru rjAB=jAC+jCBjr uuu rr uuu r0j AB cos(90 A)=0+j CB cos(900C)csin A=asinC，即ac=sin AsinCruuu rbc同理，过点 C 作jBC，可得=sinBsinC从而sinAsinBsinC类似可推出，当ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导）从上面的研探过程，可得以下定理正弦定理：正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即=abcasinA=bsinB=csinC 理解定理理解定理（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在

6、正数 k 使a=ksinA，b=ksinB，c=ksinC；（2）asinAsinBsinC从而知正弦定理的基本作用为：=b=c等价于asinA=bsinB，csinC=bsinB，asinA=csinC已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如a=bsinA；sinB已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sinA=sinB。一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形解三角形。例题分析例题分析 ab例 1（课本例题）在ABC中，已知A=32.00，B=81.80，a=42.9cm，解三角形。解：根据三角形内角和定理，C=1800(A+B)=1800

7、(32.00+81.80)=66.20；根据正弦定理，asinB42.9sin81.80b=80.1(cm)；sin Asin32.00根据正弦定理，asinC42.9sin66.20c=74.1(cm).sin Asin32.00评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。变式训练 1：已知在ABC中，c=10,A=450,C=300,求a,b和B解：c=10,A=450,C=300B=1800(A+C)=1050csin A10sin 450ac=10 2由得a=sin Csin 300sin AsinC由bc得=sin BsinCcsin B10sin10506+20b=20sin 75

8、=20=5 6+5 20sinC4sin30例 2（课本例题）在ABC中，已知a=20cm，b=28cm，A=400，解三角形（角度精确到10，边长精确到 1cm）。解：根据正弦定理，bsin A28sin400sinB=0.8999.a20因为00B1800，所以B640，或B1160.当B640时，C=1800(A+B)1800(400+640)=760，asinC20sin760c=30(cm).sin Asin400 当B1160时，C=1800(A+B)1800(400+1160)=240，asinC20sin240c=13(cm).sin Asin400评述：应注意已知两边和其中一

9、边的对角解三角形时，可能有两解的情形。变式训练变式训练 2 2：（1 1）在ABC中，b=3,B=600,c=1,求a和A,C（2）在ABC中，c=6,A=450,a=2,求b和B,Cbccsin B1sin6001解：（1）=,sinC=sin BsinCb23 b c,B=600,C B,C为锐角，C=300,B=900a=b2+c2=2accsin A=,sin C=（2）sin Asin Ca6 sin 4503=22 csin A a c,C=600或1200csin B当C=60 时，B=75,b=sin C006 sin 750=3+1，sin 6006 sin150=3 10s

10、in 60csin B当C=120 时，B=15,b=sin C00b=3+1,B=750,C=600或 b=3 1,B=150,C=1200例例 3 3：已知ABC 中，A=600，a=3,求分析：可通过设一参数 k(k0)使证明出a+b+csinA+sinB+sinCbsinB=asinA=csinC=k,asinA=bsinB=csinC=a+b+csinA+sinB+sinC=k(ko)sinAsinBsinC则有a=ksinA，b=ksinB，c=ksinC解：设abc从而又a+b+cksinA+ksinB+ksinC=ksinA+sinB+sinCsinA+sinB+sinCa=s

11、inAa+b+c3，所以=2=2=ksinA+sinB+sinCsin600评述：在ABC 中，等式asinA=bsinB=csinC=a+b+c=k(k 0)sinA+sinB+sinC恒成立。变式训练 3：已知ABC 中，sinA:sinB:sinC=1:2:3，求a:b:c（答案：1：2：3）例 4：在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，求证：三角形面积SABC=111absinC=bcsin A=acsin B222（记忆：两边夹角正弦值的一半）附：（课本 P8 探究与发现的分析）已知 a,b 和 A,用正弦定理求 B 时的各种情况:若 A 为锐角时:a bsin A

12、无解a=bsinA一解(直角)bsinA a b 二解(一锐,一钝)a b一解(锐角)已知边a,b和ACbAHaCH=bsinA无解aABa=CH=bsinA仅有一个解baACbaB1HaB2ab仅有一个解AHBCbCaCH=bsinAab有两个解a b无解若 A 为直角或钝角时:a b一解(锐角)三、课堂小结三、课堂小结（1）定理的表示形式：asinAsinBsinC或a=ksinA，b=ksinB，c=ksinC(k 0)（2）正弦定理的应用范围：已知两角和任一边，求其它两边及一角；已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。四、课时必记：四、课时必记：（优化设计（优化设计 P1P1 知识拓展

13、）知识拓展）正弦定理：正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即=b=c=a+b+c=k(k 0)；sinA+sinB+sinCasinA=bsinB=csinC=2R=2R（其中 R 指的是三角形外接圆的半径）五、分层作业：五、分层作业：A A 组：组：1在ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则ABC为(A )A直角三角形 B等腰直角三角形C等边三角形 D等腰三角形2在ABC中，已知角B=450,c=2 2,b=4 3,则角 A 的值是（D）3A15B75C105D75或 153若sin Acos BcosC,则ABC是（C）=abcA等边三角形B有一内角是 30C

14、等腰直角三角形D有一内角是 30的等腰三角形4、(tb0146101)已知ABC 中，a=50，b=256，A=450，求 B。（答：600或 1200）5、(tb0146102)在ABC 中，已知 a=3，b=2，B=450，求角 A、C 和边 c。（答：A=600，C=750,c=B 组：6+26 2或 A=1200，C=150，c=）221、在ABC中，a:b:c=1:3:2，则A:B:C等于（A）ABCD15，求三边长。22、(tb4800310)已知在ABC 中，三内角正弦之比为4：5：6，又周长为（略解：2，5，3）2C 组：1、(tb4800302)已知ABC，B为 B 的平分线

15、，求证：ABBCAC（备注：内角平分线定理）分析：前面大家所接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题，而B的平分线BD将ABC分成了两个三角形：ABD与CBD，故要证结论成立，可证明它的等价形式：ABADBCDC，从而把问题转化到两个三角形内，而在三角形内边的比等于所对角的正弦值 的比，故 可利用正弦 定理将 所证继续转 化为ABADBCDC，再根据相等角正弦值相等，互补角正弦=,=sin ABDsin ABD sin BDCsin DBC值也相等即可证明结论证明：在ABD内，利用正弦定理得：ABADABsin ADB=即=sin ADBsin ABDADsin ABD在BCD内，利用正弦定理得：BCDCBCsin BDC=,即=.sin BDCsin DBCDCsin DBCBD是B的平分线ABDDBCsinABDsinDBCADBBDC180sinADBsin（180BDC）sinBDCABsin ADBsin BDCBC=ADsin ABDsin DBCCDABAD=BCDC评述：此题可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，并且注意互补角的正弦值相等这一特殊关系式的应用