高中数学第二章数列2.3.1等比数列(二)学案新人教B版必修5.pdf

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1、2.3.1 学习目标 等比数列(二).2.熟悉等比数列的有关性质.3.系统1.灵活应用等比数列的定义及通项公式了解判断成等比数列的方法 知识链接 在等差数列 an中，通项公式可推广为n)d，并且若mnpq，则anamaman(mapaq(n，m，p，qN)，特别地，若mn2p，则anam2ap.那么，在等比数列中又有哪些类似的性质？预习导引 1等比数列的第二通项公式等比数列的通项公式为：ana1qn 1，推广形式为：anamqnm(n，mN)2等比数列的性质(1)如果mnkl，则有amanakal.(2)如果mn2k时，amana2 k.(3)若m，n，p成等差数列，am，an，ap成等比数列

2、(4)在等比数列 an 中，每隔k项(kN)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比 数列(5)如果 an，bn 均为等比数列，且公比分别为bnq1，q2，那么数列 ，anbn，anan11q2|an|仍是等比数列，且公比分别为，q1q2，|q1|.q1q1(6)等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1ana2an1akank1要点一例 1等比数列性质的应用已知数列 an为等比数列(1)若an0，且a2a42a3a5a4a636，求a3a5的值；(2)若a1a2a37，a1a2a3 8，求数列 an的通项公式 解(1)a2a42a3

3、a5a4a636，1/5a2 3 2a3a5a2 536，（a3a5)36，又an0，a3a5 6.(2)a2a1a3代入已知，得a3 2 8，a2 2.22设前三项为，2,2q，则有 22q 7.qq1整理，得2q5q20，q 2 或q.222a11，q2a1 4，或1q.2an2n1或an23n.规律方法往往是建立在等比数列的有关运算中，常常涉及到次数较高的指数运算若按常规解法，a1，q的方程组，这样解起来很麻烦，通过本例可以看出：结合等比数列的性质进行整体变换，会起到化繁为简的效果跟踪演练1(1)在递增等比数列an 中，a1a964，a3a720，求a11的值(2)已知数列 an成等比数

4、列若a3a4a5 8，求a2a3a4a5a6的值解(1)在等比数列 an中，a1a9a3a7，由已知可得a3a764 且a3a720.联立得a34，a716或a316，a74.a7a3.4an是递增等比数列，4取a34，a716，164q，q 4.a11a7q16 64.(2)由a3a5a2 4，得a3a4a5a3 48.解得a4 2.又a2a6a3a5a2 4，a2a3a4a5a6a5 42 32.要点二灵活设项求解等比数列54例 2有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是解方法一设四个数依次为2 16，12，求这四个数

5、adaa9，d 6.0,4,8,16；15,9,3,1.2，ad，a，ad，由条件得a daada解得a4，d4或ad12，所以，当a4，d4 时，所求四个数为当a 9，d 6 时，所求四个数为故所求四个数为0,4,8,16或 15,9,3,1.2/5方法二设四个数依次为2aaa，a，aq(a0)，qq2aaaq16，q由条件得aa 12，q解得a8，q2a3，或1q.3当a8，q2 时，所求四个数为1当a3，q 时，所求四个数为3故所求四个数为规律方法0,4,8,160,4,8,16；15,9,3,1.或 15,9,3,1.合理地设出所求数中的三个，根据题意再表示出另一个是解决这类问题的关a

6、，a，aq；三个数成等差数列，可设为q键，一般地，三个数成等比数列，可设为ad，a，ad.跟踪演练2三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则这三个数成等差数列，求这三个数解a设三个数依次为，a，aq，q aaq512，a 8.qa（2)(aq2)2a，qq5q20，q2 或q，2这三个数为要点三例 322a14,8,16或 16,8,4.等差数列与等比数列的综合应用(mN)anman设数列 an 的前n项和Snn，数列 bn 满足bn(1)若b1，b2，b8成等比数列，试求m的值；(2)是否存在m，使得数列 bn中存在某项bt满足b1，b4，bt(tN，t5)成等差数

7、列？若存在，请指出符合题意的解22m的个数；若不存在，请说明理由当n时，anSnSn1n(n1)2n1，当n1 时，a1S11；符合上式数列 an的通项公式为(1)由bnan13an2n 1.15(mN)知，b1，b2，b8，anm1 m3m15mb1，b2，b8成等比数列，3/532115（)，3 m1m15m解得m9 或m0(舍去)故m 9.(2)若存 在m，使b1，b4，bt成等差数列，则712t 17m 17，t7m1 m 2t 1mm 52b4b1bt，m 53636 7，m 5m 5，由于m、tN且t5.令m536,18,9,6,4,3,2,1即m41,23,14,11,9,8,7

8、,6时，t均为大于5 的整数存在符合题意的规律方法m值，且共有8 个数(1)在等差数列与等比数列的综合问题中，特别要注意它们的区别，避免用错公式(2)方程思想的应用往往是破题的关键跟踪演练3已知 an是首项为19，公差为 2 的等差数列，Sn为an的前n项和(1)求通项公式an及Sn；(2)设bnan是首项为1，公比为3 的等比数列，求数列解(1)因为 an 是首项为19，公差为2 的等差数列，所以bn的通项公式an 192(n1)2n21，Sn19nnn12（2)n20n，22即an 2n21，Snn20n.(2)因为 bnan是首项为1，公比为3 的等比数列，所以bnan3n1，即bn3n

9、1an3n12n21.1在等比数列an中，a28，a564，则公比q为(B 3D 8A2C4答案解析3352)A由aa q，得q8，所以q 2.)2在等比数列an中，an0，且a1a10 27，log3a2log3a9等于(B 6D.2A9C3答案解析3在1 与 2 之间插入6 个正数，使这C因为a2a9a1a1027，log3a2log3a9log327 3.8 个数成等比数列，则插入的6 个数的积为4/5_答案解析设这 8 个数组成的等比数列为an，则a11，a82.338插入的 6 个数的积为a2a3a4a5a6a7(a2a7)（a3a6)（a4a5)(a1a8)2 8.4已知an2 3，判断数列 an 是否是等比数列？解不是等比数列a12 3 5，a22 3 13，a32 3 35，a1a3a2，数列 an 不是等比数列112233nn1等比数列的判断或证明an 1(1)利用定义：q(与n无关的常数)an(2)利用等比中项：a2 n 1anan2(nN)2证明数列不是等比数列，可以通过找出三个连续项不成等比数列来证明3巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要5/5