2019年全国I卷理科数学高考真题.pdf

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1、2019 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合M x 4 x 2，N x x2 x6 0，则MAx 4 x 3N=Dx 2 x 3Bx 4 x 2Cx 2 x 22设复数 z 满足z

2、i=1，z 在复平面内对应的点为(x，y)，则A(x+1)y 122B(x1)y 1Cx(y 1)1Dx(y+1)1222222a log20.2，b 20.2，c 0.20.3，则3已知Aa b cBa c bCc a bDb c a4 古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5 15 10.618，（22称为黄金分割比例)，着名的“断臂维纳斯”便是如此此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是5 1若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为 105 cm，头顶至脖子下端的长2度为 26 cm，则其身高可能是A165 cm5函数 f(x)=B175

3、 cmC185 cmD190 cmsinx x在,的图像大致为cosx x2BACD6我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化每一“重卦”由从下到上排列的6 个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3 个阳爻的概率是A516B1132C2132D11167已知非零向量 a a，b b 满足|a a|2|b b|，且(a ab b)b b，则 a a 与 b b 的夹角为A6B3C23D568如图是求121212的程序框图，图中空白框中应填入AA=12 ABA=21ACA=112ADA=112A9记Sn为等差数列an的前 n 项和已知S4 0，a5

4、5，则Aan 2n5an 3n10B2CSn 2n 8nDSn12n 2n210已知椭圆 C 的焦点为F1(1,0)，F2(1,0)，过 F2的直线与 C 交于 A，B 两点若|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|，则 C 的方程为x2 y21A2x2y21B32x2y21C43x2y21D5411关于函数f(x)sin|x|sin x|有下述四个结论：f(x)是偶函数f(x)在区间（2，）单调递增f(x)在,有 4 个零点其中所有正确结论的编号是ABf(x)的最大值为 2CD12已知三棱锥 P?ABC 的四个顶点在球 O 的球面上，PA=PB=PC，ABC 是边长为 2 的正三角形，E，F

5、分别是 PA，AB 的中点，CEF=90，则球 O 的体积为A86B46C26D6二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13曲线y 3(x x)e在点(0，0)处的切线方程为_14记 Sn为等比数列an的前 n 项和若a1，a4 a6，则 S5=_15甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为 0.6，客场取胜的概率为 0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以41 获胜的概率是_2x132x2y216已知双曲线C：221(a 0,b 0)的左、右焦点分别

6、为F1，F2，过F1的直线与 C 的两条渐近线ab分别交于 A，B 两点若F1A AB，F1BF2B 0，则 C 的离心率为_三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17(12 分)ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，设(sin BsinC)2 sin2Asin BsinC（1）求 A；（2）若2ab 2c，求 sinC18（12 分）如图，直四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，BAD=60，E，M，N

7、 分别是 BC，BB1，A1D 的中点（1）证明：MN平面 C1DE；（2）求二面角 A?MA1?N 的正弦值19（12 分）已知抛物线 C：y2=3x 的焦点为 F，斜率为（1）若|AF|+|BF|=4，求 l 的方程；（2）若AP 3PB，求|AB|20（12 分）已知函数f(x)sin xln(1 x)，f(x)为f(x)的导数证明：3的直线 l 与 C 的交点为 A，B，与 x 轴的交点为 P2（1）f(x)在区间(1,)存在唯一极大值点；（2）f(x)有且仅有 2 个零点21（12 分）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验试验方案如下：每一轮

8、选取两只白鼠对药效进行对比试验对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 4 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1 分，乙药得1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1 分，甲药得1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 0 分甲、乙两种药的治愈率分别记为 和，一轮试验中甲药的得分记为X（1）求X的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4 分，pi(i 0,1,2,8)表示“甲药的累计得分

9、为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0 0，p81，pi api1bpicpi1(i 1,2,7)，其中a P(X 1)，b P(X 0)，c P(X 1)假设 0.5，0.8(i)证明：pi1 pi(i 0,1,2,7)为等比数列；(ii)求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）1t2x，21t在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为（t 为参数）以坐标原点 O 为极点，x 轴的y 4t1t2正半轴为极轴建立极坐标系，直线l

10、 的极坐标方程为2cos3sin11 0（1）求 C 和 l 的直角坐标方程；（2）求 C 上的点到 l 距离的最小值23选修 45：不等式选讲（10 分）已知 a，b，c 为正数，且满足 abc=1证明：（1）111 a2b2c2；abc333（2）(ab)(bc)(ca)242019 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学?参考答案一、选择题1C2C3B4B5D6A7B8A9A10B11C12D二、填空题13y=3x三、解答题17解：（1）由已知得sin2141213150.18162Bsin2Csin2AsinBsinC，故由正弦定理得b2c2a2bcb2c2a21由余弦定理得cos A

11、 2bc2因为0 A180，所以A60（2）由（1）知B120 C，由题设及正弦定理得2sin Asin120C 2sin C，即6312cosC sinC 2sin C，可得cosC 60 2222由于0 C 120，所以sinC 602，故26 2418解：（1）连结B1C，ME因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以MEB1C，且ME=1B1C21A1D2又因为N为A1D的中点，所以ND=由题设知A1B1DC，可得B1CA1D，故MEND，因此四边形MNDE为平行四边形，MNED又MN平面EDC1，所以MN平面C1DE（2）由已知可得DEDA以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如

12、图所示的空间直角坐标系D?xyz，则A(2,0,0)，A1(2，0，4)，M(1,3,2)，N(1,0,2)，A1A(0,0,4)，A1M (1,3,2)，A1N (1,0,2)，MN (0,3,0)m m A1M 0设m m(x,y,z)为平面A1MA的法向量，则，m m A1A 0 x3y 2z 0，所以可取m m (3,1,0)4z 0n nMN 0，n n(p,q,r)A MN设为平面1的法向量，则n n A1N 0 3q 0，所以可取n n(2,0,1)p 2r 0于是cosm m,n n m mn n2 315，|m m n n|2 55105所以二面角AMA1 N的正弦值为19解

13、：设直线l:y 3xt,Ax1,y1,Bx2,y22（1）由题设得F35 3,0，故|AF|BF|x1 x2，由题设可得x1 x22243y xt12(t 1)22x x 9x 12(t 1)x4t 0由，可得，则21292y 3x从而12(t 1)57，得t 928所以l的方程为y 37x28（2）由AP 3PB可得y1 3y23y xt2由，可得y 2y 2t 022y 3x所以y1 y2 2从而3y2 y2 2，故y2 1,y1 3代入C的方程得x13,x213故|AB|4 13320解：（1）设g(x)f(x)，则g(x)cosx11，g(x)sin x.2(1 x)1 x当x1,设为

14、.1,时，单调递减，而，可得在g(0)0,g()0g(x)g(x)有唯一零点，222则当x(1,)时，g(x)0；当x,时，g(x)0.2所以g(x)在(1,)单调递增，在,单调递减，故g(x)在1,存在唯一极大值点，22即f(x)在1,存在唯一极大值点.2（2）f(x)的定义域为(1,).（i）当x(1,0时，由（1）知，f(x)在(1,0)单调递增，而f(0)0，所以当x(1,0)时，f(x)0，故f(x)在(1,0)单调递减，又f(0)=0，从而x 0是f(x)在(1,0的唯一零点.（ii）当x0,时，由（1）知，f(x)在(0,)单调递增，在,单调递减，而f(0)=0，22 f 0，所

15、以存在,，使得f()0，且当x(0,)时，f(x)0；当x,222时，f(x)0.故f(x)在(0,)单调递增，在,单调递减.2 又f(0)=0，f1ln1 0，所以当x0,时，f(x)0.从而，f(x)在0,2222没有零点.（iii）当x,时，f(x)0，所以f(x)在,单调递减.而22 所以f(x)在,有唯一零点.2 f 0，f()0，2（iv）当x(,)时，ln(x1)1，所以f(x)0，从而f(x)在(,)没有零点.综上，f(x)有且仅有2个零点.21解：X 的所有可能取值为1,0,1.所以X的分布列为（2）（i）由（1）得a 0.4,b 0.5,c 0.1.因此pi=0.4pi1+

16、0.5 pi+0.1pi1，故0.1pi1 pi0.4pi pi1，即pi1 pi 4pi pi1.又因为p1 p0 p1 0，所以pi1 pi(i 0,1,2,（ii）由（i）可得,7)为公比为 4，首项为p1的等比数列p8 p8 p7 p7 p6由于p8=1，故p1 p1 p0 p0p8 p7p7 p6481p1 p0p1.33，所以481p4表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为 0.5，乙药治愈率为 0.8 时，认为甲药更有效的概率为p4常小，说明这种试验方案合理.1 0.0039，此时得出错误结论的概率非25721t4t2 y 1t 21，且x 22解：（1

17、）因为11，所以 C的直角坐标方程为22221t21t1t222y2x 1(x 1).42l的直角坐标方程为2x3y 11 0.（2）由（1）可设C的参数方程为x cos,（为参数，）.y 2sin4cos11|2cos2 3sin11|3C上的点到l的距离为.77当 2时，4cos11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为7.3322222223解：（1）因为a b 2ab,b c 2bc,c a 2ac，又abc 1，故有a2b2c2 abbcca 所以abbcca111.abcabc111 a2b2c2.abc（2）因为a,b,c为正数且abc 1，故有=24.所以(ab)(bc)(ca)24.333