2020届高考数学一轮复习通用版讲义等比数列及其前n项和.pdf

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1、第三节等比数列及其前第三节等比数列及其前 n n 项和项和一、基础知识批注一、基础知识批注理解深一点理解深一点1 1等比数列的有关概念等比数列的有关概念(1)(1)定义：如果一个数列从第定义：如果一个数列从第 2 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零不为零)，那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q q 表示，定义表示，定义a an n1 1的表达式为的表达式为a aq q.n n(2)(2)等比中项：如果等比中项：如果 a a，G G，b b 成

2、等比数列，那么成等比数列，那么 G G 叫做叫做 a a 与与 b b 的等比中项即的等比中项即 G G 是是 a a与与 b b 的等比中项的等比中项a a，G G，b b 成等比数列成等比数列G G2 2abab.只有当两个数同号且不为只有当两个数同号且不为0 0时，才有等比中项，且等比中项有两个时，才有等比中项，且等比中项有两个.2 2等比数列的有关公式等比数列的有关公式(1)(1)通项公式：通项公式：a an na a1 1q qn n 1 1.nana，q q1 1，1 1(2)(2)前前 n n 项和公式：项和公式：S Sn n a a1 1 1 1q qn n a a1 1a a

3、n nq q，q q1.1.1 1q q 1 1q q已知已知a a1 1，q q，n n，a an n，S Sn n中的任意三个，即可求得其余两个，这体现了方程思想中的任意三个，即可求得其余两个，这体现了方程思想.在等比数列求和时，要注意在等比数列求和时，要注意q q1 1和和q q1 1的讨论的讨论.3 3等比数列与指数型函数的关系等比数列与指数型函数的关系a a1 1n n当当 q q00 且且 q q1 1 时，时，a an nq q q q 可以看成函数可以看成函数 y ycqcqx x，其是一个不为，其是一个不为0 0 的常数与指数函数的常数与指数函数的乘积，因此数列的乘积，因此数

4、列 a an n 各项所对应的点都在函数各项所对应的点都在函数 y ycqcqx x的图象上；的图象上；a a1 1 1 1q qn n a a1 1n na a1 1对于非常数列的等比数列对于非常数列的等比数列 a an n 的前的前 n n 项和项和 S Sn nq q，若设，若设 a a1 1q q1 1q q1 1q qa a1 1，则，则 S Sn naqaqn na a(a a0 0，q q0 0，q q1)1)由此可知，数列由此可知，数列 S Sn n 的图象是函数的图象是函数 y yaqaqx x1 1q qa a 图象上一系列孤立的点图象上一系列孤立的点对于常数列的等比数列，

5、即对于常数列的等比数列，即q q1 1 时，因为时，因为 a a1 10 0，所以，所以S Sn nnana1 1.由此可知，数列由此可知，数列 S Sn n 的的图象是函数图象是函数 y ya a1 1x x 图象上一系列孤立的点图象上一系列孤立的点二、常用结论汇总二、常用结论汇总规律多一点规律多一点设数列设数列 a an n 是等比数列，是等比数列，S Sn n是其前是其前 n n 项和项和(1)(1)通项公式的推广：通项公式的推广：a an na am m q qn nm m(n n，m mN N*)(2)(2)若若 m mn np pq q，则，则 a am ma an na ap p

6、a aq q；若；若 2 2s sp pr r，则，则 a ap pa ar ra a2 2s s，其中，其中 m m，n n，p p，q q，s s，r rN N*.(3)(3)a ak k，a ak km m，a ak k2 2m m，仍是等比数列，公比为，仍是等比数列，公比为 q qm m(k k，m mN N*)第 1 页 共 12 页 papan n(4)(4)若数列若数列 a an n，b bn n 是两个项数相同的等比数列，则数列是两个项数相同的等比数列，则数列 baban n，papan n qbqbn n 和和 qbqb 也是等也是等 n n 比数列比数列(5)(5)若数列若

7、数列 a an n 的项数为的项数为 2 2n n，则，则三、基础小题强化三、基础小题强化功底牢一点功底牢一点 一一 判一判判一判 对的打“”，错的打“”对的打“”，错的打“”(1)(1)满足满足 a an n1 1qaqan n(n nN N*，q q 为常数为常数)的数列的数列 a an n 为等比数列为等比数列()(2)(2)三个数三个数 a a，b b，c c 成等比数列的充要条件是成等比数列的充要条件是 b b2 2acac.(.()(3)(3)如果数列如果数列 a an n 为等比数列，为等比数列，b bn na a2 2n n1 1a a2 2n n，则数列，则数列 b bn n

8、 也是等比数列也是等比数列()(4)(4)如果数列如果数列 a an n 为等比数列，则数列为等比数列，则数列lnln a an n 是等差数列是等差数列()答案答案：(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)(二二)选一选选一选1 1在等比数列在等比数列 a an n 中，中，a a1 11 1，a a3 32 2，则，则 a a7 7()A A8 8C C8 8 或或8 8B B8 8D D1616 或或1616S S偶偶S S奇奇a a1 1q q；若项数为；若项数为 2 2n n1 1，则，则q q.S S奇奇S S偶偶解析：解析：选选 B B设等比数列设等比数列 a an n

9、的公比为的公比为 q q，a a1 11 1，a a3 32 2，q q2 22 2，a a7 7a a3 3q q4 42 22 22 28.8.故选故选 B.B.2 2数列数列 a an n 满足满足 a a4 42727，a an n1 13 3a an n(n nN N*)，则，则 a a1 1()A A1 1C C1 1B B3 3D D3 3解析：解析：选选 C C由题意知数列由题意知数列 a an n 是以是以3 3 为公比的等比数列，为公比的等比数列，a a4 4a a1 1(3)3)3 32727，a a1 127271.1.故选故选 C.C.3 3 3 33 3已知等比数列

10、已知等比数列 a an n 的前的前 n n 项和为项和为 S Sn n，a a2 2a a5 52 2a a3,3,2 2a a4 44 4a a7 75 5，则，则 S S5 5()A A2929C C3333B B3131D D3636 a a1 1q q4 42 2a a1 1q q2 2，a a1 1q q 解解析析：选选 B B设设等等比比数数列列 a an n 的的公公比比为为 q q，由由题题意意知知 3 36 6 2 2a a1 1q q 4 4a a1 1q q 5 5，解解得得1 1 q q2 2，a a1 1 1 1q q5 5 所以所以 S S5 53131，故选，故

11、选 B.B.1 1q q a a1 11616，第 2 页 共 12 页(三三)填一填填一填4 4已知已知 S Sn n是各项均为正数的等比数列是各项均为正数的等比数列 a an n 的前的前 n n 项和，若项和，若 a a2 2 a a4 41616，S S3 37 7，则，则 q q_._.解析：解析：a a2 2 a a4 4a a2 23 31616，a a3 34(4(负值舍去负值舍去)，a a3 3a a3 3又又 S S3 3a a1 1a a2 2a a3 32 2q qa a3 37 7，q q2 2联立，得联立，得 3 3q q2 24 4q q4 40 0，解得，解得

12、q q 或或 q q2 2，3 3a an n00，q q2.2.答案答案：2 2a a2 25 5(2017(2017北京高考北京高考)若等差数列若等差数列 a an n 和等比数列和等比数列 b bn n 满足满足 a a1 1b b1 11 1，a a4 4b b4 48 8，则则b b2 2_._.解析：解析：设等差数列设等差数列 a an n 的公差为的公差为 d d，等比数列，等比数列 b bn n 的公比为的公比为 q q，则则 a a4 41 13 3d d8 8，解得，解得 d d3 3；b b4 41 1q q3 38 8，解得，解得 q q2.2.a a2 2所以所以 a

13、 a2 21 13 32 2，b b2 21 1(2)2)2 2，所以，所以1.1.b b2 2答案：答案：1 1考点一考点一等比数列的基本运算等比数列的基本运算 典例典例(2018(2018全国卷全国卷)等比数列等比数列 a an n 中，中，a a1 11 1，a a5 54 4a a3 3.(1)(1)求求 a an n 的通项公式；的通项公式；(2)(2)记记 S Sn n为为 a an n 的前的前 n n 项和若项和若 S Sm m6363，求，求 m m.解解(1)(1)设设 a an n 的公比为的公比为 q q，由题设得，由题设得 a an nq qn n 1 1.由已知得由

14、已知得 q q4 44 4q q2 2，解得，解得 q q0(0(舍去舍去)或或 q q2 2 或或 q q2.2.故故 a an n(2)2)n n1 1或或 a an n2 2n n 1 1.(2)(2)若若 a an n(2)2)n n1 11 1 2 2 n n，则，则 S Sn n.3 3由由 S Sm m6363，得，得(2)2)m m188188，此方程没有正整数解，此方程没有正整数解若若 a an n2 2n n1 11 12 2n nn n，则，则 S Sn n2 2 1.1.1 12 2由由 S Sm m6363，得，得 2 2m m6464，解得，解得 m m6.6.第

15、3 页 共 12 页综上，综上，m m6.6.解题技法解题技法 等比数列基本运算中的等比数列基本运算中的 2 2 种常用数学思想种常用数学思想方程思想方程思想等比数列中有五个量等比数列中有五个量 a a1 1，n n，q q，a an n，S Sn n，一般可以“知三求二”，通过列，一般可以“知三求二”，通过列方程方程(组组)求关键量求关键量 a a1 1和和 q q，问题可迎刃而解，问题可迎刃而解等比数列的前等比数列的前 n n 项和公式涉及对公比项和公式涉及对公比 q q 的分类讨论，当的分类讨论，当 q q1 1 时，时，a an n 的的分类讨论思想分类讨论思想a a1 1 1 1q

16、qn n a a1 1a an nq q前前 n n 项和项和 S Sn nnana1 1；当；当 q q1 1 时，时，a an n 的前的前 n n 项和项和 S Sn n1 1q q1 1q q 题组训练题组训练 5 51 1已知等比数列已知等比数列 a an n 单调递减，若单调递减，若 a a3 31 1，a a2 2a a4 4，则，则 a a1 1()2 2A A2 2C.C.2 2B B4 4D D2 2 2 25 5解析：解析：选选 B B由题意，由题意，设等比数列设等比数列 a an n 的公比为的公比为 q q，q q00，则则 a a2 23 3a a2 2a a4 4

17、1 1，又又 a a2 2a a4 4，2 2a a2 21 11 11 1且且 a an n 单调递减，所以单调递减，所以 a a2 22 2，a a4 4，则，则 q q2 2，q q，所以，所以 a a1 14.4.q q2 24 42 22 2(2019(2019长春质检长春质检)已知等比数列已知等比数列 a an n 的各项均为正数，其前的各项均为正数，其前 n n 项和为项和为 S Sn n，若，若 a a2 22 2，S S6 6S S4 46 6a a4 4，则，则 a a5 5()A A4 4C C1616B B1010D D3232解析：解析：选选 C C设公比为设公比为

18、q q(q q0)0)，S S6 6S S4 4a a5 5a a6 66 6a a4 4，因为因为 a a2 22 2，所以所以 2 2q q3 32 2q q4 41212q q2 2，即即 q q2 2q q6 60 0，所以，所以 q q2 2，则，则 a a5 52 22 23 316.16.7 763633 3(2017(2017江苏高考江苏高考)等比数列等比数列 a an n 的各项均为实数，的各项均为实数，其前其前 n n 项和为项和为 S Sn n.已知已知 S S3 3，S S6 6，4 44 4则则 a a8 8_._.解析：解析：设等比数列设等比数列 a an n 的公

19、比为的公比为 q q，则由，则由 S S6 62 2S S3 3，得，得 q q1 1，则则 a a 1 1q q 6363S S，4 4 1 1q q1 16 66 6a a1 1 1 1q q3 3 7 7S S3 3，4 41 1q qq q2 2，解得解得 1 1a a ，1 1 4 4 1 1则则 a a8 8a a1 1q q7 7 2 27 732.32.4 4答案：答案：3232考点二考点二等比数列的判定与证明等比数列的判定与证明第 4 页 共 12 页 典例典例 已知数列已知数列 a an n 的前的前 n n 项和为项和为 S Sn n，a a1 11 1，S Sn n1

20、14 4a an n2(2(n nN N*)，若若 b bn na an n1 12 2a an n，求证：求证：b bn n 是等比数列是等比数列 证明证明 因为因为 a an n2 2S Sn n2 2S Sn n1 14 4a an n1 12 24 4a an n2 24 4a an n1 14 4a an n，b bn n1 1a an n2 22 2a an n1 14 4a an n1 14 4a an n2 2a an n1 12 2a an n1 14 4a an n所以所以b b2.2.a an n1 12 2a an na an n1 12 2a an na an n1

21、12 2a an nn n因为因为 S S2 2a a1 1a a2 24 4a a1 12 2，所以，所以 a a2 25.5.所以所以 b b1 1a a2 22 2a a1 13.3.所以数列所以数列 b bn n 是首项为是首项为 3 3，公比为，公比为 2 2 的等比数列的等比数列 解题技法解题技法 1 1掌握等比数列的掌握等比数列的 4 4 种常用判定方法种常用判定方法a an n1 1a an n若若a aq q(q q 为非零常数，为非零常数，n nN N*)或或q q(q q 为非零常数且为非零常数且 n n2 2，n na an n1 1n nN N*)，则，则 a an

22、n 是等比数列是等比数列中项公式法中项公式法通项公式法通项公式法若数列若数列 a an n 中，中，a an n0 0 且且 a a2 2a an n2 2(n nN N*)，则数列，则数列 a an n 是等比数列是等比数列n n1 1a an n 若数列通项公式可写成若数列通项公式可写成 a an nc c q qn n 1 1(c c，q q 均是不为均是不为 0 0 的常数的常数，n nN N*)，定义法定义法则则 a an n 是等比数列是等比数列若数列若数列 a an n 的前的前 n n 项和项和 S Sn nk k q qn nk k(k k 为常数且为常数且 k k0 0，q

23、 q0,1)0,1)，则，则 a an n 是等比数列是等比数列前前 n n 项和公式法项和公式法2 2等比数列判定与证明的等比数列判定与证明的 2 2 点注意点注意(1)(1)等比数列的证明经常利用定义法和等比中项法，通项公式法、前等比数列的证明经常利用定义法和等比中项法，通项公式法、前 n n 项和公式法经常项和公式法经常在选择题、填空题中用来判断数列是否为等比数列在选择题、填空题中用来判断数列是否为等比数列(2)(2)证明一个数列证明一个数列 a an n 不是等比数列，不是等比数列，只需要说明前三项满足只需要说明前三项满足 a a2 2a a3 3，或者是存在一个或者是存在一个2 2a

24、 a1 1 正整数正整数 m m，使得，使得 a a2 2a am m2 2即可即可m m1 1a am m 题组训练题组训练 1 1数列数列 a an n 的前的前 n n 项和为项和为 S Sn n2 2a an n2 2n n，证明：，证明：a an n1 12 2a an n 是等比数列是等比数列证明：证明：因为因为 a a1 1S S1,1,2 2a a1 1S S1 12 2，所以所以 a a1 12 2，由，由 a a1 1a a2 22 2a a2 24 4 得得 a a2 26.6.由于由于 S Sn n2 2a an n2 2n n，故，故 S Sn n1 12 2a an

25、 n1 12 2n n 1 1，后式减去前式得，后式减去前式得 a an n1 12 2a an n1 12 2a an n2 2n n，即，即a an n1 12 2a an n2 2n n，所以所以 a an n2 22 2a an n1 12 2a an n1 12 2n n1 12(22(2a an n2 2n n)2(2(a an n1 12 2a an n)，又又 a a2 22 2a a1 16 62 22 22 2，第 5 页 共 12 页所以数列所以数列 a an n1 12 2a an n 是首项为是首项为 2 2、公比为、公比为 2 2 的等比数列的等比数列2 2(201

26、9(2019西宁月考西宁月考)已知在正项数列已知在正项数列 a an n 中，中，a a1 12 2，点，点 A An n(a an n，a an n1 1)在双曲线在双曲线 y y2 2x x2 21 11 1 上在数列上在数列 b bn n 中，点中，点(b bn n，T Tn n)在直线在直线 y y x x1 1 上，其中上，其中 T Tn n是数列是数列 b bn n 的前的前 n n 项和项和2 2(1)(1)求数列求数列 a an n 的通项公式；的通项公式；(2)(2)求证：数列求证：数列 b bn n 是等比数列是等比数列解：解：(1)(1)由已知点由已知点 A An n在在

27、 y y2 2x x2 21 1 上知，上知，a an n1 1a an n1.1.数列数列 a an n 是一个以是一个以 2 2 为首项，为首项，1 1 为公差的等差数列为公差的等差数列a an na a1 1(n n1)1)d d2 2n n1 1n n1.1.1 1(2)(2)证明：点证明：点(b bn n，T Tn n)在直线在直线 y y x x1 1 上，上，2 21 1T Tn n b bn n1.1.2 21 1T Tn n1 1 b bn n1 11(1(n n2)2)2 2两式相减，得两式相减，得1 11 1b bn n b bn n b bn n1 1(n n2)2)2

28、 22 23 31 11 1 b bn n b bn n1 1，b bn n b bn n1 1.2 22 23 31 12 2由，令由，令 n n1 1，得，得 b b1 1 b b1 11 1，b b1 1.2 23 32 21 1数列数列 b bn n 是以是以 为首项，为首项，为公比的等比数列为公比的等比数列3 33 3考点三考点三等比数列的性质等比数列的性质考法考法(一一)等比数列项的性质等比数列项的性质a a2 2a a1616 典例典例(1)(2019(1)(2019洛阳联考洛阳联考)在等比数列在等比数列 a an n 中，中，a a3 3，a a1515是方程是方程 x x2

29、26 6x x2 20 0的根，的根，则则a a9 9的值为的值为()A AC.C.2 22 2 2 22 2B B 2 2D D 2 2 或或 2 2(2)(2018(2)(2018河南四校联考河南四校联考)在等比数列在等比数列 a an n 中，中，a an n00，a a1 1a a2 2a a8 84 4，a a1 1a a2 2a a8 81616，1 11 11 1则则的值为的值为()a a1 1a a2 2a a8 8A A2 2C C8 8B B4 4D D1616 解析解析(1)(1)设等比数列设等比数列 a an n 的公比为的公比为 q q，因为，因为 a a3 3，a

30、a1515是方程是方程 x x2 26 6x x2 20 0 的根，所以的根，所以第 6 页 共 12 页a a3 3 a a1515a a2 29 92 2，a a3 3a a15156 6，所以，所以故选故选 B.B.a a2 2a a1616a a2 29 9a a3 300，a a1515000，a a4 4a a5 52 2，a a4 4a a5 5a a4 4a a5 51 11 11 12.2.故选故选 A.A.a a1 1a a2 2a a8 8 答案答案(1)B(1)B(2)A(2)A考法考法(二二)等比数列前等比数列前 n n 项和的性质项和的性质 典例典例 各项均为正数的

31、等比数列各项均为正数的等比数列 a an n 的前的前 n n 项和为项和为 S Sn n，若，若 S Sn n2 2，S S3 3n n1414，则，则 S S4 4n n等等于于()A A8080C C2626B B3030D D1616 解析解析 由题意知公比大于由题意知公比大于 0 0，由等比数列性质知，由等比数列性质知S Sn n，S S2 2n nS Sn n，S S3 3n nS S2 2n n，S S4 4n nS S3 3n n，仍为等比数列仍为等比数列设设 S S2 2n nx x，则，则 2 2，x x2,142,14x x 成等比数列成等比数列由由(x x2)2)2 2

32、2 2(14(14x x)，解得解得 x x6 6 或或 x x4(4(舍去舍去)S Sn n，S S2 2n nS Sn n，S S3 3n nS S2 2n n，S S4 4n nS S3 3n n，是首项为是首项为 2 2，公比为，公比为 2 2 的等比数列的等比数列又又S S3 3n n1414，S S4 4n n14142 22 23 330.30.答案答案 B B 解题技法解题技法 应用等比数列性质解题时的应用等比数列性质解题时的 2 2 个关注点个关注点(1)(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条

33、件，利用性质，特别是性质“若m mn np pq q，则，则 a am m a an na ap p a aq q”，可以减少运算量，提高解题速度”，可以减少运算量，提高解题速度(2)(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形此在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形此外，解题时注意设而不求思想的运用外，解题时注意设而不求思想的运用 题组训练题组训练 1 1(2019(2019郑州第二次质量预测郑州第二次质量预测)已知等比数列已知等比数列 a an n 中，中，a a2 2a a5 5a a8 88 8，S S3 3a a2 23 3

34、a a1 1，则，则 a a1 1()1 1A.A.2 21 1B B2 2第 7 页 共 12 页2 2C C9 91 1D D9 9a a3 3解析：解析：选选 B B设等比数列设等比数列 a an n 的公比为的公比为 q q(q q1)1)，因为，因为S S3 3a a1 1a a2 2a a3 3a a2 23 3a a1 1，所以，所以a a1 11 14 4q q2 22.2.因为因为 a a2 2a a5 5a a8 8a a3 35 58 8，所以，所以a a5 52 2，即，即a a1 1q q 2 2，所以，所以4 4a a1 12 2，所以，所以a a1 1，2 2故选

35、故选 B.B.2 2已知等比数列已知等比数列 a an n 共有共有 2 2n n 项，其和为项，其和为240240，且奇数项的和比偶数项的和大，且奇数项的和比偶数项的和大 8080，则，则公比公比 q q_._.S S奇奇S S偶偶240240，S S奇奇8080，S S偶偶160160 解析：解析：由题意，得由题意，得解得解得 所以所以 q q2.2.S S奇奇8080 S S奇奇S S偶偶8080，S S偶偶160160，答案答案：2 2 课时跟踪检测课时跟踪检测 A A 级级保大分专练保大分专练1 1(2019(2019合肥模拟合肥模拟)已知各项均为正数的等比数列已知各项均为正数的等比

36、数列 a an n 满足满足 a a1 1a a5 51616，a a2 22 2，则公比，则公比 q q()A A4 4C C2 25 5B.B.2 21 1D.D.2 2 a a1 1q q4 41616，a a1 1 a a1 11 1，a a1 11 1，解析：解析：选选 C C由题意，得由题意，得 解得解得 或或(舍去舍去)，故选，故选 a a q q2 2，q q2 2q q2 2 1 1 C.C.2 2(2019(2019辽宁五校协作体联考辽宁五校协作体联考)已知各项均为正数的等比数列已知各项均为正数的等比数列 a an n 中，中，a a4 4与与 a a1414的等比中的等比

37、中项为项为 2 2 2 2，则，则 loglog2 2a a7 7loglog2 2a a1111的值为的值为()A A1 1C C3 3B B2 2D D4 4解析：解析：选选C C由题意得由题意得 a a4 4a a1414(2(2 2)2)2 28 8，由等比数列的性质，由等比数列的性质，得得 a a4 4a a1414a a7 7a a11118 8，loglog2 2a a7 7loglog2 2a a1111loglog2 2(a a7 7a a1111)loglog2 28 83 3，故选，故选 C.C.3 3在等比数列在等比数列 a an n 中，中，a a2 2a a3 3a

38、 a4 48 8，a a7 78 8，则，则 a a1 1()A A1 1C C2 2B B 1 1D D 2 2解析：解析：选选 A A因为数列因为数列 a an n 是等比数列，是等比数列，所以所以 a a2 2a a3 3a a4 4a a3 3所以所以 a a3 32 2，所以所以 a a7 7a a3 3q q4 43 38 8，a a3 32 2q q4 48 8，所以，所以 q q2 22 2，则，则 a a1 12 21 1，故选，故选 A.A.q q1 14 4(2018(2018贵阳适应性考试贵阳适应性考试)已知等比数列已知等比数列 a an n 的前的前 n n 项和为项

39、和为 S Sn n，且，且 a a1 1，a a2 2a a6 68(8(a a4 42 2第 8 页 共 12 页2)2)，则，则 S S2 0192 019()1 1A A2 22 0182 0182 21 1C C2 22 0192 0192 21 1 2 0182 018B B1 1 2 2 1 1 2 0192 019D D1 1 2 2 2 2解析：解析：选选 A A由等比数列的性质及由等比数列的性质及 a a2 2a a6 68(8(a a4 42)2)，得，得 a a4 48 8a a4 41616，解得，解得 a a4 44.4.1 1 1 12 22 0192 019 2

40、21 11 1又又 a a4 4 q q3 3，故，故 q q2 2，所以，所以 S S2 0192 0192 22 0182 018，故选，故选 A.A.2 22 21 12 25 5在等比数列在等比数列 a an n 中，中，a a1 1a a3 3a a5 52121，a a2 2a a4 4a a6 64242，则，则 S S9 9()A A255255C C511511B B256256D D512512解析：解析：选选 C C设等比数列的公比为设等比数列的公比为 q q，由等比数列的定义可得，由等比数列的定义可得 a a2 2a a4 4a a6 6a a1 1q qa a3 3q

41、 qa a5 5q qq q(a a1 1a a3 3a a5 5)q q21214242，解得，解得 q q2.2.又又 a a1 1a a3 3a a5 5a a1 1(1(1q q2 2q q4 4)a a1 121212121，解，解a a1 1 1 1q q9 9 1 1 1 12 29 9 得得 a a1 11.1.所以所以 S S9 9511.511.故选故选 C.C.1 1q q1 12 26 6已知递增的等比数列已知递增的等比数列 a an n 的公比为的公比为 q q，其前，其前 n n 项和项和 S Sn n00，则，则()A Aa a1 10,00,0q q10,00,

42、0q q11B Ba a1 1011D Da a1 100，q q11解析：解析：选选 A AS Sn n00，a a1 10 a an n，且，且|a an n|a an n1 1|，则则a an n a an n1 100，则，则 q qa a1 10,00,0q q1.0)0)，由由 a a5 5a a1 1q q4 41616，a a1 11 1，得，得 1616q q4 4，解得，解得 q q2 2，a a1 1 1 1q q7 7 1 1 1 12 27 7 所以所以 S S7 7127.127.1 1q q1 12 2答案答案：1271278 8 在在 3 3 与与 192192

43、 中间插入两个数，中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为则这两个数为_解析：解析：设该数列的公比为设该数列的公比为 q q，由题意知，由题意知，1921923 3q q3 3，q q3 36464，所以，所以 q q4.4.所以插入的两个数分别为所以插入的两个数分别为 3 34 412,1212,124 448.48.答案：答案：12,4812,489 9(2018(2018江西师范大学附属中学期中江西师范大学附属中学期中)若等比数列若等比数列 a an n 满足满足 a a2 2a a4 4a a5 5，a a4 48 8，则数列则数列 a an

44、 n 的前的前 n n 项和项和 S Sn n_._.a an n1 1(0,1)(0,1)，a an n第 9 页 共 12 页解析：解析：设等比数列设等比数列 a an n 的公比为的公比为 q q，a a2 2a a4 4a a5 5，a a4 48 8，a a1 1q q3 3a a1 1q q4 4，a a1 1q q a a1 11 1，3 3解得解得 a a q q 8 8，q q2 2，1 1 1 1 1 12 2n n n nS Sn n2 2 1.1.1 12 2答案答案：2 2n n1 11010已知等比数列已知等比数列 a an n 为递减数列，且为递减数列，且a a2

45、 25 5a a10,10,2(2(a an na an n2 2)5 5a an n1 1，则数列，则数列 a an n 的通项公的通项公式式 a an n_._.解析：解析：设公比为设公比为 q q，由，由 a a2 25 5a a1010，得得(a a1 1q q4 4)2 2a a1 1 q q9 9，即，即 a a1 1q q.又由又由 2(2(a an na an n2 2)5 5a an n1 1，得得 2 2q q2 25 5q q2 20 0，1 1解得解得 q q(q q2 2舍去舍去)，2 21 1所以所以 a an na a1 1 q qn n1 1n n.2 21 1

46、答案：答案：n n2 2a an n1111(2018(2018全国卷全国卷)已知数列已知数列 a an n 满足满足 a a1 11 1，nanan n1 12(2(n n1)1)a an n.设设 b bn n.n n(1)(1)求求 b b1 1，b b2 2，b b3 3；(2)(2)判断数列判断数列 b bn n 是否为等比数列，并说明理由；是否为等比数列，并说明理由；(3)(3)求求 a an n 的通项公式的通项公式解：解：(1)(1)由条件可得由条件可得 a an n1 12 2 n n1 1 n na an n.将将 n n1 1 代入得，代入得，a a2 24 4a a1

47、1，而而 a a1 11 1，所以，所以 a a2 24.4.将将 n n2 2 代入得，代入得，a a3 33 3a a2 2，所以，所以 a a3 312.12.从而从而 b b1 11 1，b b2 22 2，b b3 34.4.(2)(2)数列数列 b bn n 是首项为是首项为 1 1，公比为，公比为 2 2 的等比数列的等比数列a an n1 12 2a an n由条件可得由条件可得，即，即 b bn n1 12 2b bn n，n n1 1n n又又 b b1 11 1，所以数列所以数列 b bn n 是首项为是首项为 1 1，公比为，公比为 2 2 的等比数列的等比数列a an

48、 n(3)(3)由由(2)(2)可得可得n n2 2n n1 1，所以，所以 a an nn n 2 2n n 1 1.1212(2019(2019甘肃诊断甘肃诊断)设数列设数列 a an n11是一个各项均为正数的等比数列，已知是一个各项均为正数的等比数列，已知a a3 37 7，a a7 7第 10 页 共 12 页127.127.(1)(1)求求 a a5 5的值；的值；(2)(2)求数列求数列 a an n 的前的前 n n 项和项和解：解：(1)(1)由题可知由题可知 a a3 31 18 8，a a7 71 1128128，则有则有(a a5 51)1)2 2(a a3 31)(1

49、)(a a7 71)1)8 81281281 0241 024，可得可得 a a5 51 13232，即，即 a a5 531.31.(2)(2)设数列设数列 a an n11的公比为的公比为 q q，a a3 31 1 a a1 11 1 q q2 2，a a1 11 12 2，由由(1)(1)知知 得得4 4 a a 1 1 a a 1 1 q q，q q2 2，5 5 1 1所以数列所以数列 a an n11是一个以是一个以 2 2 为首项，为首项，2 2 为公比的等比数列，所以为公比的等比数列，所以 a an n1 12 22 2n n 1 12 2n n，所以所以 a an n2 2

50、n n1 1，2 2 1 12 2n n 利用分组求和可得，数列利用分组求和可得，数列 a an n 的前的前 n n 项和项和 S Sn nn n2 2n n1 12 2n n.1 12 2B B 级级创高分自选创高分自选2 21 1在各项都为正数的数列在各项都为正数的数列 a an n 中，首项中，首项 a a1 12 2，且点，且点(a a2 2n n，a an n1 1)在直线在直线 x x9 9y y0 0 上，则上，则数列数列 a an n 的前的前 n n 项和项和 S Sn n等于等于()A A3 3 1 11 13 3n nC.C.2 2n n1 1 3 3 n nB.B.2