上海市三区联考(徐汇松江金山)高三数学二模试卷(含答案理科).pdf

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1、20122012 学年第二学期徐汇区高三年级数学学科学年第二学期徐汇区高三年级数学学科学习能力诊断卷学习能力诊断卷（理科试卷）（理科试卷）（考试时间：120 分钟，满分 150 分）2013.4一填空题（本大题满分一填空题（本大题满分 5656 分）本大题共有分）本大题共有 1414 题，考生应在答题纸相应编号的空格题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得内直接填写结果，每个空格填对得 4 4 分，否则一律得零分分，否则一律得零分.1 1若函数若函数f(x)ax(a 0,a 1)的反函数图像过点的反函数图像过点(2,1)，则，则a=.2 2 已知函数已知函数f(x)x,x

2、8,64的值域为的值域为A，集合集合B x|13x4x31x则则AB=.0，开 始4，则，则tan 2=_.=_.254 4已知圆锥的母线长为已知圆锥的母线长为5，侧面积为，侧面积为15，则此圆锥的体积为，则此圆锥的体积为3 3已知已知(,0)，且，且cos_（结果保留（结果保留）.5 5已知已知x 32i（i为虚数单位）是一元二次方程为虚数单位）是一元二次方程x ax b 0(a,b均为实数均为实数)的一个根，则的一个根，则a b=_.=_.2i=1,S=0否i 2013是S=S+输出 S结 束1116 6如图给出的是计算如图给出的是计算1的值的一个程序框图，图的值的一个程序框图，图3520

3、13中空白执行框内应填入中空白执行框内应填入i.7.7.在极坐标系中在极坐标系中,过圆过圆 6cos的圆心的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐且垂直于极轴的直线的极坐标方程是标方程是_._.1i第第 6 6 题图题图x 2sin8.8.将参数方程将参数方程（为参数，为参数，R）化为普通方程，）化为普通方程，2y 12cos所得方程是所得方程是_._.69.9.在在 二二 项项 式式(ax)(aR)的的 展展 开开 式式 中中，常常 数数 项项 的的 值值 是是20，则则3xlim(a a2a3nan)=.1010一质地均匀的正方体三个面标有数字一质地均匀的正方体三个面标有数字0，另外三个面标有数字

4、，另外三个面标有数字1.将此正方体连续抛掷两次，若将此正方体连续抛掷两次，若用随机变量用随机变量表示两次抛掷后向上面所标有的数字之积，则数学期望表示两次抛掷后向上面所标有的数字之积，则数学期望E=_.=_.x2y21内有两点内有两点A1,3,B3,0,P为椭圆上一点，则为椭圆上一点，则PA PB的最大值的最大值1111已知椭圆已知椭圆2516为为.12.12.如如 图图，O为为 直直 线线A A20132013A0A2013外外 一一 点点，若若A0,A1,A2,A3,A4,A5,A2013中中任意任意 相邻相邻 两点两点 的距的距 离相离相O OA A2 2A A1 1A A0 0第第121

5、2题图题图等，等，设设OA0 a,OA2013b，用用a,b表示表示OA0OA1OA2其结果为其结果为.OA2013，13.13.设函数设函数fx x x，将，将fx向左平移向左平移a(a 0)个单位得到函数个单位得到函数gx，将，将fx向上平移向上平移a(a 0)个单位得到函数个单位得到函数hx,若若gx的图像恒在的图像恒在hx的图像的上方，则正数的图像的上方，则正数a的取值范围的取值范围为为.14.14.如图，现将一张正方形纸片进行如下操作：第一步，将纸片以如图，现将一张正方形纸片进行如下操作：第一步，将纸片以D为顶点，任意向上翻折，折痕为顶点，任意向上翻折，折痕与与BC交于点交于点E1，

6、然后复原，然后复原，记记CDE11；第二步，第二步，将纸片以将纸片以D为顶点向下翻折，为顶点向下翻折，使使AD与与E1D重合，得到折痕重合，得到折痕E2D,然后复原，记然后复原，记ADE22；第三步，将纸片以；第三步，将纸片以D为顶点向上翻折，使为顶点向上翻折，使CD与与E2D重合，重合，得到折痕得到折痕E3D，然后复原，然后复原，记记CDE33；按此折法从第二步起重复以上步骤，按此折法从第二步起重复以上步骤，得到得到1,2,n,，则，则limn.n二选择题（本大题满分二选择题（本大题满分 2020 分）本大题共有分）本大题共有 4 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生题，每题有且只有一个正

7、确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 5 分，否则一律得零分，否则一律得零分分.1121515已知已知a,b为实数，命题甲：为实数，命题甲：ab b，命题乙：，命题乙：0，则甲是乙的（，则甲是乙的（）baA.A.充分不必要条件充分不必要条件B.B.必要不充分条件必要不充分条件C.C.充要条件充要条件D.D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件1,x 021616已知函数已知函数fx0,x 0，设，设F(x)x f(x)，则，则F(x)是是（）1,x 0A.A.奇函数，在奇函数，在(,)上单调递减上单调递

8、减B.B.奇函数，在奇函数，在(,)上单调递增上单调递增C.C.偶函数，在偶函数，在,0上递减，在上递减，在0,上递增上递增D.D.偶函数，在偶函数，在,0上递增，在上递增，在0,上递减上递减1717气象意义上从春季进入夏季的标志为：气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续“连续 5 5 天的日平均温度均不低于天的日平均温度均不低于 22(22(0 0C)C)”.现有甲、现有甲、乙、乙、丙三地连续丙三地连续 5 5 天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）：甲地：甲地：5 5 个数据的中位数为个数据的中位数为24，众数为，众数为22；乙地：乙

9、地：5 5 个数据的中位数为个数据的中位数为27，总体均值为，总体均值为24；丙地：丙地：5 5 个数据中有一个数据是个数据中有一个数据是32，总体均值为，总体均值为26，总体方差为，总体方差为10.8；则肯定进入夏季的地区有则肯定进入夏季的地区有()A.0A.0 个个B.1B.1 个个C.2C.2 个个D.3D.3 个个18.18.如图所示，向量如图所示，向量BC的模是向量的模是向量AB的模的的模的t倍，倍，AB与BC的夹角为的夹角为,那么我们称向量那么我们称向量AB经经n1过一次过一次t,变换得到向量变换得到向量BC.在直角坐标平面内，设起始向量在直角坐标平面内，设起始向量OA14,0，向

10、量，向量OA1经过经过次次 1 2,变变 换换 得得 到到 的的 向向 量量 为为An1AnnN*,n 1，其其 中中23C CAi,Ai1,Ai2(iN*)为逆时针排列，为逆时针排列，记记Ai坐标为坐标为ai,biiN*，则下列则下列命题中不正确命题中不正确的是（的是（）A.A.b23B.B.b3k1b3k 0kN*C.C.a3k1a3k1 0kN*D.D.8ak4ak3ak1ak 0kN*A A B B第第 1818 题图题图三解答题（本大题满分三解答题（本大题满分 7474 分）本大题共有分）本大题共有 5 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定

11、区域内写出必要的步骤号的规定区域内写出必要的步骤.1919(本题满分本题满分 1212 分分)在在ABC中中，a,b,c分分 别别 是是 角角A,B,C的的 对对 边边，且且sin AcosC cos AsinC 3,若若2b 7,ABC的面积的面积SABC33，求，求ac的值的值.42020(本题满分本题满分 1414 分分)本题共有本题共有 2 2 个小题，第个小题，第 1 1 小题满分小题满分 6 6 分，第分，第 2 2 小题满分小题满分 8 8 分分.某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比，比例系数为某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方

12、成正比，比例系数为k.轮船轮船的最大速度为的最大速度为15海里海里/小时小时.当船速为当船速为10海里海里/小时，它的燃料费是每小时小时，它的燃料费是每小时96元，其余航行运作费用元，其余航行运作费用（不论速度如何）总计是每小时（不论速度如何）总计是每小时150元元.假定运行过程中轮船以速度假定运行过程中轮船以速度v匀速航行匀速航行（1 1）求）求k的值；的值；（2 2）求该轮船航行）求该轮船航行100海里的总费用海里的总费用W（燃料费（燃料费+航行运作费用）的最小值航行运作费用）的最小值.2121(本题满分本题满分 1414 分分)本题共有本题共有 2 2 个小题，第个小题，第 1 1 小题

13、满分小题满分 6 6 分，分，第第 2 2 小题满分小题满分 8 8 分分.如图，如图，已知已知ABC A1B1C1是正三棱柱，是正三棱柱，它的底面边长和侧棱长都是它的底面边长和侧棱长都是2，C C1 1D DC CB B1 1B BD为侧棱为侧棱CC1的中点的中点（1 1）求异面直线）求异面直线A1D与与BC所成角的大小（结果用反三角函数值表示）所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2 2）求直线）求直线A1B1到平面到平面DAB的距离的距离.A A1 1A A第第 2121 题图题图2222(本题满分本题满分 1616 分分)本题共有本题共有 3 3 个小题，第个小题，第 1 1 小题

14、满分小题满分 4 4 分，第分，第 2 2 小题满分小题满分 6 6 分分，第第 3 3 小题满分小题满分6 6 分分.已知数列已知数列an(nN*)的前的前n项和为项和为Sn,数列数列（1 1）求数列）求数列an的通项公式；的通项公式；（2 2）设）设bn1Sn是首项为是首项为0，公差为，公差为的等差数列的等差数列.2n4a2n(nN*)，对任意的正整数，对任意的正整数k，将集合，将集合b2k1,b2k,b2k1中的三个元素排中的三个元素排15成一个递增的等差数列，其公差为成一个递增的等差数列，其公差为dk，求证：数列，求证：数列dk为等比数列；为等比数列；（3 3）对（）对（2 2）题中的

15、）题中的dk，求集合，求集合x dk x dk1,xZ的元素个数的元素个数.2323(本题满分本题满分 1818 分分)本题共有本题共有 3 3 个小题，第个小题，第 1 1 小题满分小题满分 4 4 分，第分，第 2 2 小题满分小题满分 6 6 分分，第第 3 3 小题有三小题有三个问题情形，每位考生只能选择一个作答，若多答，只对所答情形中最前面的一个记分，情形一、个问题情形，每位考生只能选择一个作答，若多答，只对所答情形中最前面的一个记分，情形一、二、三满分依次为二、三满分依次为 5 5 分、分、6 6 分、分、8 8 分分.已知双曲线已知双曲线C的中心在原点，的中心在原点，D1,0是它

16、的一个顶点，是它的一个顶点，d(1,2)是它的一条渐近线的一个是它的一条渐近线的一个方向向量方向向量.(1)(1)求双曲线求双曲线C的方程；的方程；(2)(2)若过点若过点(3,0)任意作一条直线与双曲线任意作一条直线与双曲线C交于交于A,B两点两点(A,B都不同于点都不同于点D)，求证：求证：DADB为定值；为定值；x2y2(3)(3)对于双曲线对于双曲线:221(a 0,b 0,a b)，E为它的右顶点，为它的右顶点，M,N为双曲线为双曲线上的两点上的两点ab(都不同于点都不同于点E)，且，且EM EN，那么直线，那么直线MN是否过定点？若是，请求出此定点的坐标；是否过定点？若是，请求出此

17、定点的坐标；若不是，说明理由若不是，说明理由.然后在以下三个情形中选择一个，写出类似结论（不要求书写求解或证明然后在以下三个情形中选择一个，写出类似结论（不要求书写求解或证明过程）过程）.x2y2情形一：双曲线情形一：双曲线221(a 0,b 0,a b)及它的左顶点；及它的左顶点；ab情形二：抛物线情形二：抛物线y 2px(p 0)及它的顶点；及它的顶点；2x2y2情形三：椭圆情形三：椭圆221(a b 0)及它的顶点及它的顶点.ab（理）参考答案（理）参考答案一填空题一填空题:(:(本题共有本题共有 1414 题，每小题题，每小题 4 4 分分)1242.2,33.4.125.196i 2

18、7.cos 327118.y x23(2 x 2)9.10.11.1512.1007(ab)4413.a 214.61二选择题：二选择题：（本题共有（本题共有 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分）分）15.B16.B17.C18.D三解答题三解答题1919（本题（本题 1212 分）分）解：由条件可得sin(AC)3，2 分2即sinB SABC3，4 分213acsin B 3.ac 3.6 分24222由余弦定理b a c 2accos B,得b2(ac)22ac2accosB,8 分112，则7 (ac)23(1).a c 4，10 分22112若cosB ，则7 (ac)23

19、(1).ac 10，经检验，不成立（舍）11 分22故a c 412 分若cosB 20.20.（本题（本题 1414 分）本题共有分）本题共有 2 2 小题，第（小题，第（1 1）小题）小题 6 6 分，第（分，第（2 2）小题）小题 8 8 分分.解：（1）由题意得燃料费W1 kv，2 分把v=10，W196代入得k 0.96.6 分2（2）W 0.96v 2100100150，9 分vv15000 2 1440000 2400，11 分=96vv1500015000时成立，解得v 12.5 15，13 分v96所以，该轮船航行100海里的总费用W的最小值为 2400（元）.14 分其中等

20、号当且仅当96v 2121（本题（本题 1414 分）本题共有分）本题共有 2 2 题，第题，第(1)(1)小题小题 6 6 分分,第第(2)(2)小题小题 8 8 分分.解：（1）方法一：以A1B1中点O为坐标原点，如图建立空间直角坐标系.1 分由题意得B B1 1B BC C1 1z zD DC CA11,0,0,D 0,1,3,B1,2,0,C 0,2,3则A1D 1,1,3,BC 1,0,3.3 分y yO OA A1 1x xA A设为向量A 与BC的夹角，则1Dcos(1)2121332 12325，.5 分5C C1 1D DC CB B1 1E EBC所成角的大小为 arcco

21、s5异面直线A.6 分1D与5方法二：取B1B中点E，连结A1E,DE.DE/CB.2 分B BA A1 1A AA1DE（或其补角）为异面直线A1D与BC所成的角.3 分由题意得:在RtA1B1E中，A11D中，A1E 5;在RtAC1D 5;4 分DE52cosADE 在等腰三角形A中，.DE11A1D55 分z zC C1 1D DC CBC所成角的大小为arccos所以异面直线A.6 分1D与A A1 1O O55B B1 1B By y（2）方法一：由题意可得A1B1/平面ABD,A Ax x所以，A1B1到平面DAB的距离即为A1到平面DAB的距离，设为h.8 分设平面ABD的法向

22、量为n，n x,y,1,由A1(1,0,0),A1,2,0,D 0,1,3,B1,2,0得1AB 2，0，0，AD 1，1，3，AD 1,1,3,11 分x 0ABn 02x 0 x y 3 0y 3,ADn 0即n 0,3,1.12 分所以故直线A1B1到平面DAB的距离为3.14 分方法二：由题意可得A1B1/平面ABD,所以，A1B1到平面DAB的距离即为A1到平面DAB的距离，设为h.8 分由题意得A1D AD BD5,AB 2，等腰ADB底边AB上的高为51 2，h nA1Dn03 323,1则SAA1B 2，S22 2,ABD2且D到平面ABB1A1的距离为3，12 分由VA1AB

23、DVDA1AB得13 分11SABDh SA1AB 333，则h 3，所以，直线A1B1到平面DAB的距离为3.14 分2222(本题满分本题满分 1616 分分)本题共有本题共有 3 3 个小题，第（个小题，第（1 1）小题满分小题满分 4 4 分，第（分，第（2 2）小题满分小题满分 6 6 分分,第（第（3 3）小题小题满分满分 6 6 分分.解：(1)由条件得Sn1n 0(n1)，即Sn(n1),.2 分n22所以，an n1(nN*).4 分4(2)n1(nN*)154444(2)2k222k2，b2k(2)2k1 22k1,所以，b2k11515151544b2k1(2)2k22k

24、，.7 分1515(2)由（1）可知bn由2b2k1b2kb2k1及b2kb2k1b2k1得b2k,b2k1,b2k1依次成递增的等差数列,.8 分42k42k24k22所以dk b2k1b2k1，.9 分15155满足dk1 4为常数，所以数列dk为等比数列.10 分dk（3）当k为奇数时，1k15Ck25k24k(51)k5kCkdk5551k2 5k1Ck5Ck25k3(1)k，.12 分1Ckk150(1)k154k1(51)k11k12k2 5kCk5C5同样，可得dk11k1551Ckk150(1)k,515所以，集合x dk x dk1,xZ的元素个数为(dk1)(dk)1153

25、3(4k1)dk1dk；.13 分553(4k1)当k为偶数时，同理可得集合x dk x dk1,xZ的元素个数为.16 分52323(本题满分本题满分 1818 分分)本题共有本题共有 3 3 个小题，第个小题，第1 1 小题满分小题满分 4 4 分，第分，第2 2 小题满分小题满分 6 6 分分，第第 3 3 小题有三个问小题有三个问题情形，每位考生只能选择一个作答，若多答，只对所答情形中最前面的一个记分，情形一、二、三题情形，每位考生只能选择一个作答，若多答，只对所答情形中最前面的一个记分，情形一、二、三满分依次为满分依次为 5 5 分、分、7 7 分、分、8 8 分。分。x2y2解：(

26、1)设双曲线 C 的方程为221(a 0,b 0)，则a 1，.2 分abby221.4 分又2，得b 2，所以，双曲线 C 的方程为x a2(2)当直线AB垂直于x轴时，其方程为x 3，A,B的坐标为(3,4)、(3,4)，DA(4,4),DB (4,4)，得DADB=0.6 分y k(x3)当直线AB不与x轴垂直时，设此直线方程为y k(x3)，由2得22x y 2(2k2)x26k2x9k22 0.6k29k22设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1 x2,x1x2，.8 分2k22k2故DADB(x11)(x21)y1y2(x11)(x21)k2(x13)(x23)(k21)x1

27、x2(3k21)(x1 x2)9k21.9 分9k226k222(k 1)(3k 1)9k 1=0.综上，DADB=0 为定值.10 分222k2k2(3)当M,N满足EM EN时，取M,N关于x轴的对称点M、N，由对称性知EM EN，此时MN与M N所在直线关于x轴对称，若直线MN过定点，则定点必在x轴上.11 分设直线MN的方程为：x my t，x myt22222222由22，得(b m a)y 2b mtyb(t a)02222b x a y a b2b2mtb2(t2a2)设M(x1,y1),N(x2,y2)，则y1 y222,y1y222，22b m ab m a由EM EN，得(

28、x1a)(x2a)y1y2 0，(my1t a)(my2t a)y1y2 0，即(1m)y1y2m(t a)(y1 y2)(t a)0，22b2(t2a2)2b2mt2(1m)22m(t a)(t a)0，2222b m ab m a2a(a2b2)化简得，t 或t a(舍)，.13 分a2b2a(a2b2)所以，直线MN过定点(,0).14 分22a bx2y2情形一：在双曲线：221(a 0,b 0,a b)中，若E为它的左顶点，M,N为双曲线上aba(a2b2)的两点(都不同于点E)，且EM EN，则直线MN过定点(,0).15 分22a b情形二：在抛物线y2 2px(p 0)中，若M

29、,N为抛物线上的两点(都不同于原点O)，且OM ON，则直线MN过定点(2p,0).16 分x2y2情形三：（1）在椭圆221(a b 0)中，若E为它的右顶点，M,N为椭圆上的两点(都不同aba(a2b2)于点E),且EM EN，则直线MN过定点(,0)；.15 分a2b2x2y2（2）在椭圆221(a b 0)中，若E为它的左顶点，M,N为椭圆上的两点(都不同于点E)，aba(b2a2)且EM EN，则直线MN过定点(,0)；.16 分a2b2x2y2（3）在椭圆221(a b 0)中，若F为它的上顶点，M,N为椭圆上的两点(都不同于点F),且abb(b2a2)FM FN，则直线MN过定点(0,2)；.17 分a b2x2y2M,N为椭圆上的两点(都不同于点F),且（4）在椭圆221(a b 0)中，若F为它的下顶点，abb(a2b2)FM FN，则直线MN过定点(0,2).18 分2a b