人教版高中数学必修2立体几何知识点.pdf

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1、高中数学高中数学 必修必修 2 2 知识点知识点第一章第一章空间几何体空间几何体1.11.1 柱、锥、台、球的结构特征柱、锥、台、球的结构特征(略略)棱柱：棱柱：棱锥：棱锥：棱台：棱台：圆柱：圆柱：圆锥：圆锥：圆台：圆台：球：球：1.21.2 空间几何体的三视图和直观图空间几何体的三视图和直观图1 三视图：正视图：从前往后侧视图：从左往右俯视图：从上往下2 画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等3 直观图：斜二测画法4 斜二测画法的步骤：（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；（2）.平行于 y 轴的线长度变半，平行于 x，z 轴的线长度不变；（3）.画法要写好。5 用斜二测画法画出长方体的

2、步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图1.31.3 空间几何体的表面积与体积空间几何体的表面积与体积（一）空间几何体的表面积1 棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和S2 圆柱的表面积 2rl 2 r3 圆锥的表面积S2rl r2222S rl r Rl R4 圆台的表面积5 球的表面积S 4R6 扇形的面积公式S扇形nR21lr（其中l表示弧长，r表示半径）3602（二）空间几何体的体积11 柱体的体积V S底h2 锥体的体积V S底h313 台体的体积V （S上3S上S下 S下)h4 球体的体积V 4R33第二章第二章 直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系2.12.1 空间点、

3、直线、平面之间的位置关系空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.11 平面含义：平面是无限延展的,无大小，无厚薄。2 平面的画法及表示（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的 2 倍长（2）平面通常用希腊字母、等表示，如平面、平面等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面 AC、平面 ABCD 等。3三个公理：（1）公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内Al Bl符号表示为 l AB公理 1 作用：判断直线是否在平面内（2）公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。符

4、号表示为：A、B、C 三点不共线有且只有一个平面，使 A、B、C。公理 2 作用：确定一个平面的依据。补充 3 个推论：推论 1：经过一条直线与直线外一点，有且只有一个平面。推论 2：经过两条平行直线，有且只有一个平面。推论 3：经过两条相交直线，有且只有一个平面。（3）公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示为：pl,且pl公理 3 作用：判定两个平面是否相交的依据2.1.22.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系空间中直线与直线之间的位置关系1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；共面直线平行直线：同一

5、平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。2 公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。a/b符号表示为：设 a、b、c 是三条直线，a/cc/b强调：公理 4 实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理 4 作用：判断空间两条直线平行的依据。3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等.4 异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线符号表示：A,B,l,Bl 直线AB与直线l异面。5 注

6、意点：异面直线a1与b1所成的角的大小只由它们的相互位置来确定，与选择的位置无关，为简便一般取在两直线中的一条上；0两条异面直线所成的角:0,90 0 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作 ab；两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。2.1.32.1.3 2.1.42.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系：（1）直线在平面内 有无数个公共点（2）直线与平面相交 有且只有一个公共点（3）直线在平面平行 没有公共

7、点特别指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a 来表示a a=A a2 2.2.2.直线、平面平行的判定及其性质直线、平面平行的判定及其性质2.2.12.2.1 直线与平面平行的判定直线与平面平行的判定1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。简记为：线线平行，则线面平行。a 符号表示：b a/a/b2.2.22.2.2 平面与平面平行的判定平面与平面平行的判定1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。ab符号表示：ab A/简记为：线线平行，则面面平行。a/b/2、判断两平面平行的

8、方法有三种：（1）用定义；（2）判定定理；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。符号表示为：a,a/2.2.32.2.3 2.2.42.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质直线与平面、平面与平面平行的性质1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。简记为：线面平行，则线线平行。符号表示：a a/b ba/作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。/符号表示：a a/b，简记为：面面平行，则线线平行 b作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行3、两个平面平行具有如下的一些性质：如果两个平

9、面平行，那么在一个平面内的所有直线都与另一个平面平行如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行.如果一条直线和两个平行平面中的一个相交，那么它也和另一个平面相交夹在两个平行平面间的所有平行线段相等2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.12.3.1 直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定1、定义:如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直，记作l，直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面。直线与平面垂直时,它们唯一公共点 P，点 P 叫做垂足。2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。符号表示：l a,l b,

10、a,b,a垂直。注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。3、补充性质：a/b,a b 4、直线与平面所成的角的范围为：0,90 00b A l，简记为：线线垂直，则线面2.3.22.3.2 平面与平面垂直的判定平面与平面垂直的判定1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形A梭 lB2、二面角的记法：二面角-l-或-AB-,平面之间二面角范围是00,18003、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。符号表示：l,l,，简记为：线面垂直，则面面垂直。4、线面

11、角的求法，在直线上任找一点作平面的垂线，则直线和射影所成的角就是了。2.3.32.3.3 2.3.42.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质直线与平面、平面与平面垂直的性质1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。符号表示：a补充性质：(1)a,b,a b,b/a b，(2)a,b/a b，(3)a,a,/，(4)a,/,a 2 性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。符号表示：a,本章知识结构框图本章知识结构框图第三章第三章直线与方程直线与方程3.13.1 直线的倾斜角和斜率直线的倾斜角和斜率3.13.1 倾斜角和斜率倾斜角和斜率1、直线的倾斜角的概念：当直

12、线 l 与 x 轴相交时,取 x 轴作为基准,x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角叫做直线 l 的倾斜角.特别地,当直线 l 与 x 轴平行或重合时,规定=0.2、倾斜角的取值范围：0180.当直线 l 与 x 轴垂直时,=90.3、直线的斜率:一条直线的倾斜角(90)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母 k 表示,也就是 k=tan当直线 l 与 x 轴平行或重合时,=0,k=tan0=0;当直线 l 与 x 轴垂直时,=90,k 不存在.由此可知,一条直线 l 的倾斜角一定存在,但是斜率 k 不一定存在.4、直线的斜率公式:给定两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),x

13、1x2,用两点的坐标来表示直线 P1P2 的斜率：直线与直线的位置关系直线与平面的位置关系平面与平面的位置关系平面（公理1、公理2、公理 3、公理 4）空间直线、平面的位置关系l,a,al,a，面面垂直，则线面垂直。斜率公式斜率公式:k=y2-y1/x2-x1:k=y2-y1/x2-x13.1.23.1.2 两条直线的平行与垂直两条直线的平行与垂直1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即注意:上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不PP12x2 x2y2 y122成立即如果 k1=k2,那

14、么一定有 L1L22、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即3.2.13.2.1直线的点斜式方程直线的点斜式方程1、直线的点斜式点斜式方程：直线l经过点P0(x0,y0)，且斜率为ky y0 k(x x0)2、直线的斜截式斜截式方程：已知直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0,b)y kx b3.2.23.2.2直线的两点式方程直线的两点式方程1、直 线 的 两 点 式 方 程：已 知 两 点P1(x1,x2),P2(x2,y2)其 中(x1 x2,y1 y2)y-y1/y-y2=x-x1/x-x2y-y1/y-y2=

15、x-x1/x-x22、直线的截距式方程：已知直线l与x轴的交点为 A(a,0)，与y轴的交点为 B(0,b)，其中a 0,b 03.2.33.2.3直线的一般式方程直线的一般式方程1、直线的一般式方程：关于x,y的二元一次方程Ax By C 0（A，B 不同时为 0）2、各种直线方程之间的互化。3.33.3 直线的交点坐标与距离公式直线的交点坐标与距离公式3.3.13.3.1 两直线的交点坐标两直线的交点坐标1、给出例题：两直线交点坐标L1：解：解方程组得 x=-2，y=2所以 L1 与 L2 的交点坐标为 M（-2，2）3.3.23.3.2两点间距离两点间距离两点间的距离公式3.3.33.3

16、.3点到直线的距离公式点到直线的距离公式3x+4y-2=0L1：2x+y+2=03x4y2 02x2y2 01点到直线距离公式：点P(xAx0 By0C0,y0)到直线l:Ax By C 0的距离为：d A2 B22 2、两平行线间的距离公式：已知两条平行线直线l1和l2的一般式方程为l1：Ax By C1 0，l2：Ax By C2 0，则l1与l2的距离为d C1C2A2 B2第四章第四章圆与方程圆与方程4.1.14.1.1 圆的标准方程圆的标准方程1、圆的标准方程：(xa)2(y b)2 r2圆心为 A(a,b),半径为 r 的圆的方程2、点M(x0,y0)与圆(xa)2(y b)2 r

17、2的关系的判断方法：（1）(x0a)2(y0b)2r2，点在圆外（2）(x0a)2(y0b)2=r2，点在圆上（3）(x0a)2(y0b)2r2，点在圆内4.1.24.1.2圆的一般方程圆的一般方程1、圆的一般方程：x2 y2 Dx Ey F 02、圆的一般方程的特点：(1)x2 和 y2 的系数相同，不等于 0没有 xy 这样的二次项(2)圆的一般方程中有三个特定的系数 D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。4.2.14.2.1 圆与圆的位置关系圆与圆

18、的位置关系1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系设直线l：ax by c 0，圆C：x2 y2 Dx Ey F 0，圆的半径为r，圆心(D2,到直线的距离为d，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当d r时，直线l与圆C相离；（2）当d r时，直线l与圆C相切；（3）当d r时，直线l与圆C相交；4.2.24.2.2圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系E2)两圆的位置关系设两圆的连心线长为l，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当l r1 r2时，圆C1与圆C2相离；（2）当l r1 r2时，圆C1与圆C2外切；（3）当|r1 r2|l r1 r2时，圆C1与圆C2相交

19、；（4）当l|r1 r2|时，圆C1与圆C2内切；（5）当l|r1 r2|时，圆C1与圆C2内含；4.2.34.2.3直线与圆的方程的应用直线与圆的方程的应用1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；2、过程与方法用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论4.3.14.3.1 空间直角坐标系空间直角坐标系1、点 M 对应着唯一确定的有序实数组(x,y,z)，x、y、z分别是 P、Q、R 在x、y、z轴上的坐标2、有序实数组(x,y,z)，对应着空间直角坐标系中的一点3、空间中任意点 M 的坐标都可以用有序实数组(x,y,z)来表示，该数组叫做点 M 在此空间直角坐标系中的坐标，记 M(x,y,z)，x叫做点 M 的横坐标，y叫做点M 的纵坐标，z叫做点 M 的竖坐标。4.3.24.3.2 空间两点间的距离公式空间两点间的距离公式1、空间中任意一点P1(x1,y1,z1)到点P2(x2,y2,z2)之间的距离公式zxOPRMQMyP1OP2P1P2(x1 x2)(y1 y2)(z1 z2)222N1xM1MM2HN2yN