抛物线焦点弦的弦长公式.pdf

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1、关于抛物线焦点弦的弦长公式在高中教材第八章中有关于已知倾斜角的焦点弦，求焦点弦的弦长的问题，其中只介绍了开口向右时的焦点弦的长度计算问题：(1)已知：抛物线的方程为y2 2px(p 0)，过焦点 F 的弦 AB 交抛物线于 A B两点，且弦 AB 的倾斜角为，求弦 AB 的长。解：由题意可设直线 AB 的方程为y k(x p)()将其代入抛物线方程整理得：224k2x2(4pk8p)x 12pk122 0，且k tanp 2 p，k2x1x22设 A,B 两点的坐标为(x,y),(x,y)则：x x221p422k|AB|1k当2(x1x2)2 4x1x22 p(sin)22时，斜率不存在，s

2、in1，|AB|=2p.即为通径而如果抛物线的焦点位置发生变化，则以上弦长公式成立吗？这只能代表开口向右时的弦长计算公式，其他几种情况不尽相同。现在我们来探讨这个问题。(2)已知：抛物线的方程为x2 2py(p 0)，过焦点的弦 AB 交抛物线于 A,B 两点，直线 AB 倾斜角为，求弦 AB 的长。解：设 A,B 的坐标为(故 AB 的方程为y p(k tan)，斜率为 k，而焦点坐标为(0,)，,),(,)x1y1x2y22p kx，将其代入抛物线的方程整理得：22x2 2pkx p 0,从而x1x2 2pk,x1x2 p2，弦长为：|AB|1k2(x1x2)4x1x222p(cos)2

3、0,cos1,|AB|2p，即为通径。而y2 2px与（1）的结果一样，x 2py与（2）的结果一样，但是（1）与（2）2的两种表达式不一样，为了统一这两种不同的表达式，只须作很小的改动即可。现将改动陈述于下：（3）已知：抛物线的方程为y2 2px(p 0)，过焦点F 的弦 AB 交抛物线于 A，B两点，且弦 AB 与抛物线的对称轴的夹角为，求弦 AB 的长。解：由题意可设直线AB 的方程为y k(x p)()将其代入抛物线方程整理得：224k若倾斜角若倾斜角2x2(4pk8p)x 2pk22 0，2，则,k tan tan；2,则,k tan tan()。设 A,B 两点的坐标为(2x,y)

4、,(x,y)1122则：x x12p 2 p，k2x1x2p42k|AB|1 k2(x1x2)22 4xx12421 (tan2 p)(pk 2 p)k2pk24(sin)2而sin sin,sin()sin，故|AB|2p(sin)2；当而2时，sin1，|AB|=2p.即为通径。y2 2px与（3）的结果一样同理：（4）已知：抛物线的方程为x22 2py(p 0)，过焦点的弦AB 交抛物线于 A,B两点，直线 AB 与抛物线的对称轴的夹角为，求弦 AB 的长。解：设 A,B 的坐标为(x,y),(x,y)，若倾斜角为，斜率为 k，112则k tan，而焦点坐标为(0,故 AB 的方程为y

5、p)，2p kx，将其代入抛物线的方程整理得：2x2 2pkx p2 0,从而x1x2 2pk,x1x2 p2，弦长为：|AB|1k2(x1x2)4x1x222p(cos)2当倾斜角2，则,cos cos()sin；22当倾斜角所以|AB|2,则2p2,cos cos()sin22(sin)恒成立。当而2时，sin1，|AB|=2p.即为通径。x2 2py与（4）的结果一样。2p故只要直线 AB 与抛物线的对称轴的夹角为，那么不论抛物线的开口向上，向下，向左还是向右，过焦点的弦的弦长都可以用一个公式表示，即|AB|(sin)2。这个公式包含了抛物线的四种开口形式，没有了因为开口不同而导致的公式不同，便于记忆，便于应用，是一个很好的弦长公式，这里推荐给大家使用。