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1、课课题题:2.4.12.4.1 反函数(一)反函数(一)教学目的:教学目的:掌握反函数的概念和表示法,会求一个函数的反函数教学重点:教学重点:反函数的定义和求法教学难点:教学难点:反函数的定义和求法授课类型:授课类型:新授课课时安排:课时安排:1 课时教教具具:多媒体、实物投影仪教材分析:教材分析:反函数是数学中的一个很重要的概念,它是我们以后进一步研究具体函数类即五大类基本初等函数的一个不可缺少的重要组成部分本节是一节概念课,关键在于反函数概念的建立 反函数是函数中的一个特殊现象,对反函数概念的讨论研究是对函数概念和函数性质在认识上的进一步深化和提高 反函数概念的建立,关键在于让学生能从两个
2、函数关系的角度去认识它,从而深化对函数概念的认识本节是反函数的第一节课围绕如何理解反函数概念这个重难点展开由于函数是一种对应关系,这个概念本身不好理解,而反函数又是函数中的一种特殊现象,它是两个函数之间的关系 所以弄清函数与其反函数的关系,是正确理解反函数概念必不可少的重要环节 教学设计中,通过对具体例子的求解,不但使学生掌握求反函数的方法步骤,并有意识地阐明函数与反函数的关系深化了对概念的理解和掌握教学过程教学过程:一、复习引入:一、复习引入:我们知道,物体作匀速直线运动的位移s 是时间 t 的函数,即s=vt,其中速度 v 是常量,定义域 t0,值域 s0;反过来,也可以由位移 s 和速度
3、 v(常量)确定物体作匀速直线运动的时间,即t s,这时,位移 s 是自变v量,时间 t 是位移 s 的函数,定义域 s0,值域 t0.又如,在函数y 2x 6中,x 是自变量,y 是 x 的函数,定义域 xR,值域 yR.我们从函数y 2x 6中解出 x,就可以得到式子x 样,对于 y 在 R 中任何一个值,通过式子x y3.这2y3,x 在 R 中都有唯一的2值和它对应.因此,它也确定了一个函数:y 为自变量,x 为 y 的函数,定义域是 yR,值域是 xR.综合上述,我们由函数s=vt 得出了函数t s;由函数y 2x 6得出v第 1页(共5页)了函数x y3,不难看出,这两对函数中,每
4、一对中两函数之间都存在2着必然的联系:它们的对应法则是互逆的;它们的定义域和值域相反:即前者的值域是后者的定义域,而前者的定义域是后者的值域.我们称这样的每一对函数是互为反函数.二、讲解新课:二、讲解新课:反函数的定义一般地,设函数y f(x)(x A)的值域是 C,根据这个函数中 x,y 的关系,用 y 把 x 表示出,得到 x=(y).若对于 y 在 C 中的任何一个值,通过x=(y),x 在 A 中都有唯一的值和它对应,那么,x=(y)就表示 y 是自变量,x 是自变量 y 的函数,这样的函数 x=(y)(yC)叫做函数y f(x)(x A)的反函数,记作x f1(y),习惯上改写成y
5、f1(x)开始的两个例子:s=vt 记为f(t)vt,则它的反函数就可以写为f1(t)t,同样y 2x 6记为f(x)2x 6,则它的反函数为:vf1(x)x3.2探讨 1:所有函数都有反函数吗?为什么?反函数也是函数,因为它符合函数的定义,从反函数的定义可知,对于任意一个函数y f(x)来说,不一定有反函数,如y x2,只有“一一映射”确定的函数才有反函数,y x2,x0,)有反函数是y x探讨 2:互为反函数定义域、值域的关系从映射的定义可知,函数y f(x)是定义域 A 到值域 C 的映射,而它的反函数y f1(x)是集合 C 到集合 A 的映射,因此,函数y f(x)的定1义域正好是它
6、的反函数y f反函数y f定义域值 域1函数y f(x)的值域正好是它的(x)的值域;1(x)的定义域f f函数y f(x)AC1(x)x,f1 f(x)x(如下表):反函数y fCA1(x)探讨 3:y f(x)的反函数是?第 2页(共5页)若函数y f(x)有反函数y f1(x),那么函数y f1(x)的反函数就1是y f(x),这就是说,函数y f(x)与y f三、讲解例题:例 1求下列函数的反函数:(x)互为反函数y 3x 1(xR);y x 1(x R);y 3x 1(x 0);y 2x3(xR,且x 1).x1解:由y 3x 1解得x y 13x 1(xR),3函数y 3x 1(x
7、R)的反函数是y 由y x 1(x R)解得 x=3y 1,3函数y x 1(x R)的反函数是y 3x 1(xR)2由 y=x+1 解得 x=(y 1),3x0,y1.函数y 由y x 1(x 0)的反函数是 x=(y 1)2(x1);y 32x 3解得x y 2x 1xxR|x1,yyR|y2函数y 2x3x3(xR,且x 1)的反函数是y(xR,x 2)x1x2小结:求反函数的一般步骤分三步,一解、二换、三注明反函数的定义域由原来函数的值域得到,而不能由反函数的解析式得到求反函数前先判断一下决定这个函数是否有反函数,即判断映射是否是一一映射例 2求函数y 3x 2(xR)的反函数,并画出
8、原来的函数和它的反函数的图像解:由y 3x 2解得x y 23第 3页(共5页)函数y 3x 2(xR)的反函数是y x 2(xR),3y=3x-2它们的图像为:例 3 求函数y 1 1 x(1x0)的反函数x+2y=32y=x2解:1x00 x101 x 1 0 1 x2 10 y 1由:y 1 1 x2解得:x 2y y2(1 x 0)y 1 1 x2(1x 0)的反函数是:y 2x x2(0 x1)2例 4 已知f(x)=x-2x(x2),求f12(x).24 4y解法 1:令 y=x-2x,解此关于 x 的方程得x,22x2,x 24 4y,即 x=1+1 y-,2x2,由式知1 y1
9、,y0-,由得f1(x)=1+1 x(x0,xR);222解法 2:令 y=x-2x=(x 1)-1,(x 1)=1+y,x2,x-11,x-1=1 y-,即 x=1+1 y,x2,由式知1 y1,y0,2函数f(x)=x-2x(x2)的反函数是f1(x)=1+1 x(x0);说明:二次函数在指定区间上的反函数可以用求根公式反求x,也可以用配方法求 x,但开方时必须注意原来函数的定义域.第 4页(共5页)四、课堂练习:四、课堂练习:课本 P63 练习:已知函数y f(x),求它的反函数y f(1)y 2x 3(xR)(2)y (3)y x41(x)2(xR,且 x0)xx5(x0)(4)y(xR,且 x)3x 53五、小结五、小结本节课学习了以下内容:反函数的定义及其注意点、求法步骤六、课后作业六、课后作业:课本第 64 习题 2.4:1七、板书设计七、板书设计(略)八、课后记:八、课后记:第 5页(共5页)
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