阿波罗尼斯圆问题(最新整理).pdf

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1、阿波罗尼斯圆问题阿波罗尼斯圆问题一【问题背景】一【问题背景】苏教版数学必修 2P.112 第 12 题：已知点M(x,y)与两个定点O(0,0),A(3,0)的距离之比为什么关系？画出满足条件的点M所构成的曲线1，那么点M的坐标应满足2二、二、【阿波罗尼斯圆】【阿波罗尼斯圆】公元前 3 世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯（Apollonius）在平面轨迹一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆如图，点A,B为两定点，动点P满足PA PB，P PA A则1时，动点P的轨迹为直线；当1时，动点P的轨迹

2、为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆阿波罗尼斯圆证：证：设AB 2m（m 0）,PA PB以AB中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则A（m，0），B（m，0）又设C（x，y），则由PA PB得(x m)y22222B B(x m)2 y2，2222两边平方并化简整理得，（1）x 2m（1）x （1）y m（1）当1时，x 0，轨迹为线段AB的垂直平分线；2m21212242m2当1时，(x 2，轨迹为以点为圆心，(m,0)m)y 221211(1)2长为半径的圆上述课本习题的一般化情形就是阿波罗尼斯定理三、三、【范例】【范例】例例 1 1满足条件AB 2,AC 2BC的三角形ABC的面积的

3、最大值是解：解：以AB中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则A（1，0），22）y22 （x 1）y2，设C（x，y），由AC 2BC得（x 1B（1，0）1平方化简整理得y x 6x 1 （x 3）8 8，y 2 2，则222SABC12 y 2 2，SABC的最大值是2 22变式变式 在ABC中，边BC的中点为D，若AB 2,BC 最大值是2AD，则ABC的面积的解解：以AB中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则A（1，0），B（1，0）由BD CD,BC 2AD知，AD 2BD，D的轨迹为阿波罗尼斯圆，方程为x 1 y,)，所以点C的轨迹方程为222（x 3）y2 8

4、，设C(x,y)，BC的中点为D得D(（x 1y223）()2 8，即（x 5）y2 32，221SABC2 y y 32 4 2，故SABC的最大值是4 22例例2 2在平面直角坐标系xOy中，设点A(1,0),B(3,0),C(0,a),D(0,a2)，若存在点P，使得PA 2PB,PC PD，则实数a的取值范围是22解：解：设P(x,y)，则(x1)y 222(x3)2 y2，整理得(x5)y 8，即动点P在以(5,0)为圆心，2 2为半径的圆上运动另一方面，由PC PD知动点P在线段CD的垂直平分线y a1上运动，因而问题就转化为直线y a1与圆(x5)y 8有交点，所以a1 2 2，

5、故实数a的取值范围是2 2 1,2 2 1例例 3 3在平面直角坐标系xOy中，点A0,3，直线l：y 2x 4.设圆的半径为1，圆心在l上.若圆C上存在点M，使MA 2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围.解：解：设Ca,2a4，则圆方程为xay2a41又设M(x0,y0)，MA 2MOx0y03 4x04y0，即22222222x02y01 4这说明M既在圆xay2a41上，又在圆x y1 4上，因而这222222两个圆必有交点，即两圆相交或相切，21解得0 a a02a4(1)22 21，1212，即a的取值范围是0,5522例例 4 4已知O:x y 1和点M(4,2).（1）过点M向O

6、引切线l，求直线l的方程；（2）求以点M为圆心，且被直线y 2x1截得的弦长为 4 的M的方程；（3）设P为（2）中M上任一点，过点P向O引切线，切点为 Q.试探究：平面内是否存在一定点R，使得请说明理由.解：解：（1）设切线l方程为y 2 k(x 4)，易得PQ为定值？若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，PR|4k 2|k211，解得k 8 19，15切线l方程为y2 8 19(x4)15222（2）圆心到直线y 2x 1的距离为5，设圆的半径为r，则r 2 (5)9M的方程为(x 4)(y 2)9（3）假设存在这样的点R(a,b)，点P的坐标为(x,y)，相应的定值为，2222

7、根据题意可得PQ 222x y 1，22x2 y21(x a)(y b)2222，即x y 1(x y 2ax 2by a b)（*），又点P在圆上(x 4)(y 2)9，即x y 8x 4y 11，代入（*）式得：22228x 4y 12 2(8 2a)x (4 2b)y (a2b211)2(8 2a)82若系数对应相等，则等式恒成立，(4 2b)4，2(a2b211)12解得a 2,b 1,2或a 2110，,b,5533可以找到这样的定点R，使得PQ为定值.如点R的坐标为(2,1)时，比值为2；PR点R的坐标为(,)时，比值为2 15 5103四、四、【练习】【练习】1如图，在等腰ABC

8、中，已知AB AC，B(1,0)，y yA AAC边的中点为D(2,0)，点C的轨迹所包围的图形的面积等于解：解：AB 2AD，所以点A的轨迹是阿波罗尼斯圆，易知其方程为(x 3)y 4，22B BO OC CD Dx x设C(x,y)，由AC边的中点为D(2,0)知A(4 x,y)，所以C的轨迹方程为(4 x 3)(y)4，即(x 1)y 4，面积为42如图，已知平面平面，A、B是平面与平面的交线上的两个定点，DA,CB，且DA，CB，AD 4，BC 8，AB 6，在平面上有一个动点P，使得APD BPC，求PAB的面积的最大值解：解：将空间几何体中的线、面、角的关系转化2222 A AP

9、PB BC C D D为平面内点P所满足的几何条件DA DA PA,在RtPAD中,tanAPD 同理tanBPC AD4，APAPBC8，BPBPAPD BPCBP 2AP，这样就转化为题 3 的题型在平面上,以线段AB的中点为原点,AB所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系，则A(3,0),B(3,0)，设P(x,y)则有(x3)2 y2 2(x3)2 y2(y 0)化简得:(x 5)y 16，y 16(x5)16，|y|4，2222PAB的面积为SPAB1|y|AB|3|y|12，当且仅当x 5,y 4等号取得，则2PAB的面积的最大值是1243圆O1与圆O2的半径都是1，O1O2 4，过

10、动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM,PN（M,N分别为切点），使得PM 2PN试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程.解解：以O1，O2的中点 O 为原点，O1，O2所在直线为 x 轴，建立如图所示平面直角坐标系，yMNO1则O1(2,0)，O2(2,0)，由已知PM 2POO2x2PN得PM2 2PN2，2因为两圆的半径都为 1,所以有：PO11 2(PO21)，设 P（x,y），222222则(x 2)y 1 2(x 2)y 1，即(x 6)y 33，此即 P 的轨迹方程.4已知定点O(0,0)，点M是圆(x 1)y 4上任意一点，请问是否存在不同于22O的定点A使都为说明理由MO常数？若存在，试求出所有满足条件的点A的坐标,若不存在，请MAMO 0MA解：解：假设存在满足条件的点A(m,n)，设M(x,y)，则x2 y2(x m)2(y n)222，又M(x,y)满足(x 1)2 y2 4，2222联立两式得(2m 2 2)x 2y 3(m n 3)0，2m2 22 2 021由M的任意性知2y 0，解得A(3,0)，232(m2 n23)05