高中数学不等式性质.pdf

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1、不等式性质高考要求要求层次a bab2重难点用基本不等式解决简单的最大（小）值问题不等式基本不等式：C（a,b0）（一）知识内容，)表示不等关系的式子叫做不等式1用不等号(，2对于任意两个实数a和b，在a b,a b,a b三种关系中，有且仅有一种关系成立3两个实数的大小比较：对于任意两个实数a,b，对应数轴上的两点，右边的点对应的实数比左边点对应的实数大作差比较法：a b 0 a b；a b 0 a b；a b 0 a b其中符号表示它的左边与右边能够互相推出4不等式的性质：性质 1：（对称性）如果a b，那么b a；如果b a，那么a b性质 2：（传递性）如果a b，且b c，则a c性

2、质 3：如果a b，则a c b c推论 1：（移项法则）不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边推论 2：如果a b,c d，则a c b d我们把a b和c d（或a b和c d）这类不等号方向相同的不等式，叫做同向不等式推论 2 说明：同向不等式的两边可以分别相加，所得的不等式与原不等式同向推广：几个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向性质 4：如果a b，c 0，则ac bc；如果a b，c 0，则ac bcaa实数大小的作商比较法：当b 0时，若1，且b 0，则a b；若1，且b 0，则a bbb推论 1：如果a b 0,c d

3、0，则ac bd推广：几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向推论 2：如果a b 0，则an bn(nN N,n 1)推论 3：如果a b 0，则na nb(nN N,n 1)1.对于任意两个实数a,b，有a b 0 a b；a b 0 a b；a b 0 a b，这几个等价符号的左边反映的是实数的运算性质，右边反映的是实数的大小顺序由此知：比较两个实数的大小，可以归结为判断它们的差的符号这是不等式这一章的理论基础，是不等式性质的证明，证明不等式和解不等式的主要依据在学习了不等式的性质后，比较两个实数的大小还可以用作商法，与1比较，但这时要注意分母的正负情况2

4、比较两个代数式的大小关系，实际上是比较它们的值的大小，又归结为判断它们的差的符号，要引导学生意识到比较法是不等式证明的基本方法它有两个基本步骤：先作差，再变形判断正负号，难点是后者这里的代数式的字母是有范围的，省略不写时就表示取值范围是实数集，它的主要变形方法有两种，一是因式分解法，二是配方法，变形时要尽量避免讨论，让依据尽量简便3可以介绍异向不等式，并提醒学生注意什么样的不等式可以相加相减对于不等式的性质与推论，可以根据学生的情况适当进行推导（比如性质的推论可以用反证法证明），让学生知道这些定理的来龙去脉，在不等式的证明中减少想当然，对数学证明的严格化有一定的认识（三）典例分析：1.比较法【

5、例1】比较下列代数式的大小：x23x与x2；x61与x4x2；【变式】比较下列代数式的大小：x4x3y与xy3y4；3x3y与3xy（其中xy0，且xy）xxyy与xyyx（其中x0,y0,xy）2.不等式性质证明【例2】a、b、c、d均为正实数，且ab，将babcad、与按从小到大的顺序进行排列abacbd【点评】本题也可用“糖水加糖”问题来解释，b克糖水中有a克糖(ba0)，若再加入m克糖(m0)，ama则糖水更甜了，将这个事实用一个不等式表示为bmba【例3】比较大小：loga、logab与logba（其中a2ba1）bcd【例4】已知a、b、c、d均为实数，且ab0，则下列各式恒成立的

6、是（）abababA bcadBbcadCD cdcd【变式】当abc时，下列不等式恒成立的是（）A abacBa cb cCabbc D(ab)cb0cd【例5】已知三个不等式：ab 0，bc ad 0，0（其中a、b、c、d均为实数）用其中两ab个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是（）A0B1【变式】已知：a b,C2D311，求证：a 0,b 0abdc若a b 0，c d 0，求证：ab【例6】设aR R，则a 1是11的（）aA充分但不必要条件B必要但不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件b 0，那么，下列不等式中正确的是（）【例7】如

7、果a 0，A11Ba bCa2 b2D|a|b|ab【解析】设a,bR R，若a|b|0，则下列不等式中正确的是（）Ab a 011 0，则下列结论不正确的是（）abbaAa2 b2 Bab b2 C 2 D|a|b|a b|abBa3b3 0Ca2b2 0Db a 0若若a b 0，则下列结论中正确的命题是（）1111A和均不能成立ab|a|b|B1111均不能成立和a ba|a|b|2211 11C不等式和a b 均不能成立baa ba1111 D不等式和a b 均不能成立|a|b|ba22【变式】若111，则下列结论中不正确的是（）abAlogab logbaB|logab logba|

8、2C(logba)21D|logab|logba|logab logba|【变式】设a，bR R，且ba b 1 0，ba b1 0，则（）Aa 1Ba 1 C1 a 1 Da 1【例8】判断下列各命题的真假，并说明理由11若ac2 bc2，则a b.若a b，则.ab若a b,c d，则a c b d.若a b,mN，则am bm.【点评】在利用不等式的性质解题时，一定要注意性质定理成立的条件要说明一个命题是假命题可通过举反例111【例9】已知 a 0，试将下列各数按大小顺序排列：A 1 a2，B 1 a2，C，D 21 a1a【例10】实数a、b、c、d满足条件：a b,c d；a cb

9、c 0；a db d 0，则有（）Aa c d bBc a b dCa c b dDc a d b3.不等式性质与函数11【例11】已知实数a、b满足等式，下列五个关系式23ab0 b aa b 00 a bb a 0a b其中不可能成立的关系式有（）A1 个B2 个C3 个D4 个【例12】设f(x)1 logx3，g(x)2logx2，其中x 0且x1试比较f(x)与g(x)的大小1【变式】若a log23，b log32，c log12，d log2，则a,b,c,d的大小关系是（）33Aa b c d Bd b c a Cd c b aDc d a b4.关于取值范围【例13】若1 a

10、 2，2 b 1，则ab 的取值范围是已知1 a b1；1 a b3，求：3a b的取值范围【点评】此题的一种典型错误做法如下：1 a b1，1 a b3，同向不等式得：0 2a 4，即：0 a 2，又1a b1,3b a1，同向不等式相加得：4 2b0，即2b 0，03a6,0b2，故03a b8错误原因是1a b10a2与不等价，后者范围比前者大，在学习了简单的线性2b01a b3规划后能对错误原因看得更清楚a【变式】已知3 a 2 b 1，求a b,a b,b2a,ab,各自的取值范围b【变式】【变式】已知集合D x1，x2|x1 0，x2 0，x1 x2 k(其中k为正常数).设u x1x2，求u的取值范围；1 1 k2 求证：当k 1时不等式 x1 x2对任意x1，x2D恒成立；x1x22k 1 1 k2 求使不等式 x1 x2对任意x1，x2D恒成立的k2的范围.x1x22k22