《数学分析》教案微分概念.doc

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1、 5 微分一. 微分概念:由导数定义 利用第三章讲过的极限与无穷小量之间的关系，上式可写为即函数在 处的改变量可表示成两部分：的线性部分 与 的高阶无穷小部分 。当 充分小时，函数的改变量可由第一部分近似代替 例 正方形面积的测问题。设正方形的实际边长为 ，由于测量不可能绝对准确，设边长测量的最大误差为 ，试问由于边长测量不准造成的面积误差最多有多大？即面积误差由两部分组成：第一部分 是 的线性部分;第二部分 是 的高阶无穷小，所以 二 微分定义Th ( 可微与可导的关系 ).由微分的定义 当 充分小时 即 这后一式中的近似号若换成等号就是过 点的切线方程，所以这种近似计算的实质是“以直代曲”

2、。用这种方法近似计算时，要注意它的前提： 应充分小！这一点可以从图（d52）看得很清楚。三 微分的几何意义 MN）T P 例1 求 和 二. 微分运算法则: 法则14 只证2.一阶微分形式不变性. 利用微分求导数. 微商.例2 求 和 例3 求 和 四 微分的应用:1. 建立近似公式: 原理: 即特别当 时, 有近似公式 具体的近似公式如: 等.2. 作近似计算: 原理: 例 求 的近似提问：这里能用度作单位近似计算吗？为什么?例 求 和 的近似值. 3 估计误差： 绝对误差估计： 相对误差估计： 例2 设已测得一根圆轴的直径为，并知在测量中绝误差不超过 . 试求以此数据计算圆轴的横截面面积时

3、所产生的误差.4 求速度: 原理: 例7 球半径以的速度匀速增大. 求时, 球体积增大的 速度. 在初等数学中“直”就是“直”，“曲”就是“曲”，二者是不会等同的，微分概念的建立冲破了初等数学的狭隘界限，在“直”和“曲”之间架起了一个桥梁。但是，并不是任何直线和曲线都可以无条件转化的。我们知道，任何一条割线与曲线的联系都是个别的，特殊的，只有切线与曲线的联系才是一般的、本质的。微分学中正是利用切线的“直”去代替“曲”的，反映到数量上，就是用函数改变量的线性主要部分代替函数的改变量。恩格斯指出：“高等数学的主要基础之一是这样一个矛盾：在一定条件下直线和曲线应当是一回事”。“一定条件”那就是“细分”，细分的一定程度，它们之间的差是一个高阶无穷小，“直”和“曲”可以“等同”起来。但“直”和“曲”的等同是在相差一个高阶无穷小意义下的等同，是有差别的等同，而不是无条件的等同，这正是“直”和“曲”等同这一辨证思想的核心。五 高阶微分：高阶微分的定义： 阶微分定义为 阶微分的微分， 即 注意区分符号 的意义. 例7 求 以例7为例, 说明高阶微分不具有形式不变性:在例7中, 倘若以 求二阶微分, 然后代入 , 就有 倘若先把 代入, 再求二阶微分, 得到可见上述两种结果并不相等. 这说明二阶微分已经不具有形式不变性. 一般地, 高阶微分不具有形式不变性.