第四章 函数的连续性.doc

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1、第四章 函数的连续性第一节 连续性概念1按定义证明下列函数在其定义域内连续： （1）； （2）。 2指出函数的间断点及类型： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）；（7）3延拓下列函数，使在 上连续：（1）； （2）； （3） 。4若在点连续，则 ，是否也在连续？又若或在上连续，那么在上是否连续？5设当时，而，试证与这两个函数中至多有一个在连续。6证明：设为区间上的单调函数，且为的间断点，则必是的第一类间断点。7设函数只有可去间断点，定义，证明为连续函数。8设为上的单调函数，定义，证明函数在上每点都连续。9举出定义在上符合下列要求的函数： （1）在和三点连续的函数； （2）

2、只在和三点连续的函数； （3）只在上间断的函数； （4）仅在右连续，其它点均不连续的函数。 第二节 连续函数的性质1 讨论复合函数与的连续性： （1），； （2），。2设在点连续，证明： （1）若，则存在，使在其内有； （2）若在某内有，则。3设在区间上连续，记， 证明和也都在上连续。4设为上连续函数，常数，记证明在上连续，提示：。5设，证明复合函数在连续，但在不连续。6设在上连续，且存在。证明：在上有界。又问在上必有最大值或最小值吗？7若对任何充分小的，在上连续，能否由此推出在内连续。8求极限： （1）； （2）。9证明：若在上连续，且对任何，则在上恒正或恒负。10证明：任一实系数奇次方程至少有一个实根。11试用一致连续的定义证明：若都在区间上一致连续，则也在上一致连续。12证明在上一致连续。13证明：在上一致连续，但在上不一致连续。14设函数在区间上满足利普希兹（）条件，即存在常数，使得对上任意两点都有，证明在上一致连续。15证明在上一致连续。16设函数满足第6题的条件，证明在上一致连续。17设函数在上连续，且，证明：存在点，使得。18设为上的增函数，其值域为，证明在上连续。19设在上连续，。证明：存在，使得 20证明在上一致连续。第三节 初等函数的极限1求下列极限：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。2设，证明 。