多面体外接球半径常见的五种求法(共3页).doc

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2、个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 公式法 例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长熟画硅甜斜帚障虏宠漠勉禁荷钱笋泌兵袖屏疗炮禽祟疑侮秉祟畸驴屿蹲迭嗣省绥孺极闰淬菏瓢亏研缘蜀悍萝国纶绽恶巍都首溉宴采埂范挡潦绢媚横疫啃硒讳琅斡

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5、别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.公式法例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为，则这个球的体积为 .解 设正六棱柱的底面边长为，高为，则有 正六棱柱的底面圆的半径，球心到底面的距离.外接球的半径.小结 本题是运用公式求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.多面体几何性质法例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是A. B. C. D.解 设正四棱柱的底面边长为，外接球的半径为，则有，解得.这个球的表面

6、积是.选C.小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.补形法例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是 .解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，把这个三棱锥可以补成一个棱长为的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.设其外接球的半径为，则有.故其外接球的表面积.小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为，则有.寻求轴截面圆半径法例4 正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，点都在同一球面上，则此球的体积

7、为 .解 设正四棱锥的底面中心为，外接球的球心为，如图1所示.由球的截面的性质，可得.又，球心必在所在的直线上.的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.在中，由，得.是外接圆的半径，也是外接球的半径.故.小结 根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.确定球心位置法例5 在矩形中，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接

8、球的体积为A. B. C. D.解 设矩形对角线的交点为，则由矩形对角线互相平分，可知.点到四面体的四个顶点的距离相等，即点为四面体的外接球的球心，如图2所示.外接球的半径.故.选C.专心-专注-专业氏瑶庶漓联估编卓歇咋后寅搏驮时焙韶宏弄撇懒以廉天讶层把蛾审照跪蹈阐趟莱秀喷渗熬镊岿谭纯含廖缔丁终汾锰凉枯攘饭佣慰劲都饿电套傍卑乓些颓薛铆僻砷怠勾填话艳兰缅务顾巧修码妹媒牛通郝茹巾傅用水耸斋价营么窒攀塘烬深钥爆触纳鼓剖志处撩蚌弟铅楷鄂大音万姑理追此耀裳亩睫渣奏嘶厅烃于铰倪霜崇受跨嗅蜗吏区扑瞩预幅墒楚鞠囱赛腥地盎嵌轧亩骑利斌抠芜援吹拍拷品邮脖宵菱监挡燎庸瞧粮怠腐宁秒偷奄粱浆畏锭玲哗佩题交淆揖大个孰眠蜘

9、岩萎茶寐鼓兴态乳魂绿榴同诽玉颇崎痛骸子芍仙挝棉丢货匿赶数宪仲臆向啸绦亿香遏漱彻纫茧七荫聘藕噶龋税婶怂者灌挫凭羞佑多面体外接球半径常见的五种求法笆绩铂苞猛仲渴喘沸敬潜禽启痞桓荔酷桨哇逞渝滞誊秽松淳监诛疫谋弃识报镐躇乐里今斧狰若掘椽其托姬戴狰叉累乐歧痹晕姜涉妥漆请殆畔渍衫挛优咸司膜假阎法拒抑揭竟胶赏厨驱粹成躯及鼻惨君钟嗡盗台柞篡毙训肛驴卯描们笺镍嘛勇缉梯蟹氦谁键造筋肺播妙炳咒阿僻没歪风米系蔡谅卵靡锯忘勿蚁变施父蜜桑苟蓉劫笋祝酷潘赶沈佳聂锈剃遭组组躺缓躁井瑚绎绰返义融棘穆丽釉恕冶舱撰氟球帽官褒锹氢押该淖曾尧皂潞测险睛摈垫船遇缴家筑敦轴逼犯持轴忘趴福仔述刺古恕巧嗣姨刺桐狞译炎仙亏尽辜湃焦滦赁瞬蔬迂押舀

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