等差等比数列的通项及求和.doc

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1、本资料来源于七彩教育网7.2 等差 等比数列的通项及求和【知识网络】1、等差数列的通项公式：；前n项和；其变形； 2、等比数列的通项公式：；前n项和；3、在五个基本量中，已知三个量求出另外两个量；4、由错项相减，裂项法等来求数列前n项的和。【典型例题】例1：（1）设Sn是等差数列an的前n项和，若，则 （ )（A） （B） （C） （D）答案： A 。解析：根据等差数列的性质成等差数列，即可得解。 （2）设是等差数列的前项和，则等于 （ ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18答案： D。解析：由得，再由。（3）在等差数列中，且，则中最大的负数为 （ ） A. B. C. D. 答案

2、：C。解析：。（4）在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个乒乓球；第2、3、4、堆最底层（第一层）分别按图所示方式固定摆放.从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以表示第n堆的乒乓球总数，则 ； （答案用n表示） .答案：10，解析：，由题可知，下一堆的个数是上一堆的个数加上其第一层个数，即，再累加即可得。 （5）等差数列共有项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则中间项为_.答案： 29。解析：S奇S偶=29=a中。例2：有固定项的数列的前项和，现从中抽取某一项（

3、不包括首相、末项）后，余下的项的平均值是79. （1）求数列的通项； （2）求这个数列的项数，抽取的是第几项。答案： 解：（1）由得，当时，显然满足， ，数列是公差为4的递增等差数列. （2）设抽取的是第项，则，. 由， 由. 故数列共有39项，抽取的是第20项.例3：已知等差数列an的首项a11，公差d0，且第二项，第五项，第十四项分别是等比数列bn的第二项，第三项，第四项求数列an与bn的通项公式；设数列cn对任意正整数n，均有，求c1c2c3c2007的值答案：由题意得（a1d）(a113d)(a14d)2(d0) 解得d2，an2n1，bn3n1 当n1时，c13 当n2时， 故 例4

4、：已知数列中，是公比为（）的等比数列，又设。()求数列的通项及前n项和Sn；()假设对任意n1都有Snbn,求r 的取值范围。答案：解：（）是公比为的等比数列， 分别是首项为与，公比均为的等比数列， （）对任意的，当时， ，当时， ， 故当时，均有 当时 则因此，对任意，使的取值范围是【课内练习】1在等差数列an中，若 =12,Sn是数列an的前n项和，则的值为 ( )A.48 B.54 C.60 D.66答案：A。解析：由2 an是实数构成的等比数列，是其前n项和，则数列 中 （ ）A任一项均不为0 B必有一项为0C至多有一项为0 D或无一项为0，或无穷多项为0答案：D。解析：若数列为，则中

5、有无穷多项为0，否则无一项为0。3设，则等于 ( )A.B.C.D.答案： B.解析：。 4 等差数列前项和为，已知为_时，最大.答案： 7。解析：由，则，由是一递减数列，即S7最大。5若abc，bca，cab，abc依次成等比数列，公比为q，则q3q2q 答案：q3q2q1。解析：设xabc，则bcaxq，cabxq2，abcxq3，xqxq2xq3x(x0) q3q2q16已知数列满足，则该数列前26项的和为 。答案：10。解析：的各项的值具有周期性。7已知正项数列，其前项和满足且成等比数列，求数列的通项答案：解析: 10Sn=an2+5an+6, 10a1=a12+5a1+6,解之得a1

6、=2或a1=3. 又10Sn1=an12+5an1+6(n2), 由得 10an=(an2an12)+5(anan1),即(an+an1)(anan15)=0 an+an10 , anan1=5 (n2). 当a1=3时,a3=13,a15=73. a1, a3,a15不成等比数列a13;当a1=2时, a3=12, a15=72, 有 a32=a1a15 , a1=2, an=5n3.8 已知数列2n-1an 的前n项和求数列an的通项公式；设，求数列的前n项和答案： (1) 时，；时，（2）时，；时，。9已知数列的首项为=3，通项与前n项和之间满足2=（n2）。(1)求证：是等差数列，并求

7、公差；(2)求数列的通项公式。答案：解析： (1)2（）=是等差数列，且公差为(2)当n=1时，a1=3当n2时，an=SSn-1=10已知等差数列的第二项为8，前10项和为185。（1）求数列的通项公式；（2）若从数列中，依次取出第2项，第4项，第8项，第项，按原来顺序组成一个新数列，试求数列的通项公式和前n项的和 答案：解：（1）依题意 解得 （2）由（1）得 【作业本】A组1设等差数列的前项和为，且，则等于（ ） A. 168 B. 286 C. 78 D. 152答案： B。解析：由已知得，则S13=286。2在等差数列中，公差为，且，则等于 （ ） A. B. 8 C. D. 4答案

8、： C。解析：，即。 3 an是等差数列，则使的最小的n值是 （ ）A5 B C7 D8答案：B。解析：由，则，由，则，使的最小的n值为6。4已知数列an中，对任意正整数n都成立，且，则 答案： 1。解析：由已知得，5已知集合，则A6中各元素的和为 答案：891。解析：令n6得 故各元素之和为6已知=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，（1）证明数列lg(1+an)是等比数列；（2）设Tn=(1+a1) (1+a2) (1+an)，求Tn 。 解析：由，即是等比数列 ，7若数列满足前n项之和，求：（1）bn ； (2) 的前n项和Tn。答案：解：当n=

9、1时，=当时， 即 又 两式相减得 8正数列an的前n项和为Sn，且2(1) 试求数列an的通项公式；(2)设bn，bn的前n项和为Tn，求证：Tn0，则当n2时，即，而an0，又（2） B组1在等比数列中，则等于 （ ） A. B. C. D. 答案： A。解析：。2 已知数列，都是公差为1的等差数列，其首项分别为，且，设，则数列的前10项和等于 （ ） A.55 B.70 C. 85 D. 100答案：C。解析：。3两等差数列an、bn的前n项和的比，则的值是 （ ）A B C D答案：B 。解析：。4若数列为等差数列，则数列 也为等差数列，类比上述性质，相应地，若数列cn是等比数列且，则

10、有数列dn (nN)也是等比数列答案： 。解析：等比、等差性质的类比是一种常见的题型。5已知 我们把使乘积a1a2a3an为整数的数n叫做“劣数”，则在区间（1，2007）内的所有劣数的和为 答案：2026。解析：n22k，由n2k2(1，2007)有2k10(kZ)故所有劣数的和为（2223210）291820266已知数列an是等差数列，且求数列an的通项公式；令，求数列bn前n项和的公式答案： (1) 由， (2) ，当x=1时， 当x1时， 综上所述7已知数列an为等差数列，公差，an的部分项组成的数列恰为等比数列，其中，求答案：由成等比数列，。8设实数，数列是首项为，公比为的等比数列，记，求证：当时，对任意自然数都有=答案： 。记+得本资料来源于七彩教育网