直线与平面平行垂直的判定与性质.doc

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1、15.2 直线与平面平行、垂直的判定与性质【考纲要求】1. 了解直线与平面的位置关系；了解直线与平面的距离；了解斜线在平面内的射影及直线与平面夹角的概念；2. 掌握直线与平面平行、垂直的判定定理与性质定理；【命题规律】本节内容是高考考查的重点内容，主要以考查线面平行、线面垂直和线面角为主，试题主要分两大类，一类是空间中线面平行、线面垂直的判断与证明；另一类是求线面角。题型包括填空题和解答题，试题主要以棱柱、棱锥、棱台为背景设计，有时也会以平面图形的折叠为设计背景。难度适中。【知识回顾】一.直线与平面的位置关系图1A图2图3二直线与平面平行1.直线与平面平行的定义：直线与平面没有公共点，则称此直

2、线与平面平行，记作.2.直线与平面平行的判定定理（不要求证明）文字语言图形语言符号语言如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行（简记为“线线平行线面平行”）3.直线与平面平行的性质定理文字语言图形语言符号语言如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行（简记为“线面平行线线平行”）问：若一条直线与一个平面平行，这条直线是否与这个平面内任一条直线都平行？三直线与平面垂直1.线面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的所有直线都垂直，则称直线与平面垂直，记作. 其中，直线称为平面的垂线，平面称为直线的垂面，直线与平面的交点称

3、为垂足. 重要结论：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直. 过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.2.直线与平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言（1）如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面（简记为“线线垂直线面垂直”）A（2）重要结论：如果两条平行直线中有一条与平面垂直，则另一条也垂直于该平面.3.直线与平面垂直的性质定理文字语言图形语言符号语言（1）如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线垂直于平面内的任意一条直线平行（简记为“线面垂直线线垂直”）（2）如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行.四空间距离问题1.点到平面的距离：过平面处一点引平

4、面的垂线，这个点与垂足之间的距离称为点到平面的距离. 显然，点到平面的距离是该点与平面内任意一点之间距离的最小值2.直线到平面的距离：（1）定义：直线与平面平行时，直线上任意一点到这个平面的距离就是这条直线到这个平面的距离.（2）如果直线与平面平行，那么夹在此直线与平面之间的平行线段是相等的.（如图1） （3）如果直线与平面平行，那么这条直线上的点到该平面的距离是处处相等的.（如图2） AB图1AB图23.平面到平面的距离：（下一节说明）Q斜线段垂线段垂足斜足直线与平面的夹角斜线段在平面内的投影五平面的斜线、线面角1.平面的斜线：如果一条直线与一个平面相交，但不垂直，则这条直线叫做这个平面的斜

5、线，斜线与平面的交点叫做斜足，斜线上一点与斜足间的线段叫做点到平面的斜线段，垂足与斜足间的距离称为斜线在平面内的投影.2.斜线与平面的夹角（即线面角）：定义：斜线与斜线在平面内的投影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.注:直线与平面所成角的范围是 斜线与平面所成角的范围是当一条直线垂直于平面时，规定它们所成的角是，当一条直线和平面平行或在平面内时，规定它们所成的角为斜线和它在平面内的射影所成的角，是斜线和这个平面内的所有直线所成角中最小的角.平面外一点到这个平面的垂线段有且只有一条，而该点到这个平面的斜线有无数条.【例题精讲】题型一：线线平行【例1】已知四边形ABCD是空间四边形,E、

6、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点.求证:四边形EFGH是平行四边形.证明 如图,连接BD.EH是ABD的中位线,EHBD,EH=BD.又FG是CBD的中位线,FGBD,FG=BD,FGEH,且FG=EH,四边形EFGH是平行四边形.题型二：线面平行【例2】如图,在正方体中,侧面对角线上分别有两点E,F,且.求证:EF平面ABCD.分析:要证EF平面ABCD,方法有两种:一是利用线面平行的判定定理,即在平面ABCD内确定EF的平行线;二是利用面面平行的性质定理,即过EF作与平面ABCD平行的平面.证明 方法一:过E作EMAB于M,过F作FNBC于N,连接MN(如图),则,EMFN.

7、,AE=BF,EM=FN,四边形EMNF是平行四边形,EFMN.又,EF平面ABCD.方法二: 连接,并延长交BC的延长线于点P,连接AP(如图).,AE=BF,.又EF平面ABCD.方法三:过点E作于点H,连接FH(如图),则EHAB,.又,.EHFH=H,平面EFH平面ABCD.,EF平面ABCD.学后反思 判断或证明线面平行的常用方法有:(1)利用线面平行的定义(无公共点);(2)利用线面平行的判定定理();(3)利用面面平行的性质定理();(4)利用面面平行的性质().【例3】如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为正方形,E为PC中点.求证:PA面EDB证明:连接AC交BD于O,连

8、接EO.四边形ABCD为正方形,O为AC的中点.E为PC的中点,EO为PAC的中位线,故EOPA.又，且,PA面EDB.【例4】如图所示，在直四棱柱中，已知 设E是DC的中点.求证：证明：连接BE，则四边形DABE为正方形，,且四边形为平行四边形，.又【例5】已知PAO所在的平面，AB是O的直径，C是O上任意一点，过A点作AEPC于点E，求证：AE平面PBC 证明：PA平面ABC，PABC又AB是O的直径，BCAC而PCAC=C，BC平面PAC又AE在平面PAC内，BCAEPCAE，且PCBC=C，AE平面PBC点评：证明直线与平面垂直的常用方法有：利用线面垂直的定义；利用线面垂直的判定定理；

9、利用“若直线a直线b，直线a平面，则直线b平面”【例6】如下图，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，MAC，NFB且AM=FN，求证：MN平面BCE证法一：过M作MPBC，NQBE，P、Q为垂足，连结PQMPAB，NQAB，MPNQ又NQ= BN=CM=MP，MPQN是平行四边形MNPQ，PQ平面BCE而MN平面BCE，MN平面BCE证法二：过M作MGBC，交AB于点G（如下图），连结NGMGBC，BC平面BCE，MG平面BCE，MG平面BCE又=，GNAFBE，同样可证明GN平面BCE又面MGNG=G，平面MNG平面BCE又MN平面BCE点评：证明直线和平面的平行通常采用如

10、下两种方法：利用直线和平面平行的判定定理，通过“线线”平行，证得“线面”平行；利用两平面平行的性质定理，通过“面面”平行，证得“线面”平行 【例7】如下图，正方体ABCDA1B1C1D1中，侧面对角线AB1、BC1上分别有两点E、F，且B1E=C1F求证：EF平面ABCD 证法一：分别过E、F作EMAB于点M，FNBC于点N，连结MNBB1平面ABCD，BB1AB，BB1BC，EMBB1，FNBB1EMFN，又B1E=C1F，EM=FN，故四边形MNFE是平行四边形EFMN又MN在平面ABCD中，EF平面ABCD证法二：过E作EGAB交BB1于点G，连结GF，则=B1E=C1F，B1A=C1B

11、，=FGB1C1BC又EGFG=G，ABBC=B，平面EFG平面ABCD，而EF在平面EFG中，EF平面ABCD点评：证明线面平行的常用方法是：证明直线平行于平面内的一条直线；证明直线所在的平面与已知平面平行【例8】如下图，设a、b是异面直线，AB是a、b的公垂线，过AB的中点O作平面与a、b分别平行，M、N分别是a、b上的任意两点，MN与交于点P，求证：P是MN的中点证明：连结AN，交平面于点Q，连结PQb，b平面ABN，平面ABN=OQ，bOQ又O为AB的中点，Q为AN的中点 a，且平面AMN=PQ，aPQP为MN的中点点评：本题重点考查直线与平面平行的性质【例9】 在直三棱柱ABCA1B

12、1C1中，AB1BC1，AB=CC1=a，BC=b（1）设E、F分别为AB1、BC1的中点，求证：EF平面ABC；（2）求证：A1C1AB；（3）求点B1到平面ABC1的距离证明：（1）E、F分别为AB1、BC1的中点，EFA1C1A1C1AC，EFACEF平面ABC （2）证明：AB=CC1，AB=BB1又三棱柱为直三棱柱，四边形ABB1A1为正方形连结A1B，则A1BAB1又AB1BC1，AB1平面A1BC1AB1A1C1又A1C1AA1，A1C1平面A1ABB1A1C1AB（3）解：A1B1AB，A1B1平面ABC1A1到平面ABC1的距离等于B1到平面ABC1的距离过A1作A1GAC1于点G，AB平面ACC1A1，ABA1G从而A1G平面ABC1，故A1G即为所求的距离，即A1G=评述：本题（3）也可用等体积变换法或向量法求解