汽车行驶的路程.doc

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1、1.5.2汽车行驶的路程教材分析本节内容是数学选修2-2第一章 导数及其应用 第五节的第二课时，是在学习了求曲边梯形面积的知识后，对定积分的概念再学习，本节又可作为定积分概念引入的铺垫课，对后续内容的学习起着奠基的作用，本课题的重点是以匀速代变速及无穷逼近的思想的运用，掌握过程步骤：分割、近似代替、求和、逼近（取极限），难点是对以上“四步曲”的过程的理解通过探究变速直线运动的路程问题，可以很好地培养学生分析问题、解决问题的能力，要求学生有意识地运用特殊与一般思想、数形结合思想，在解决新问题的过程中，又要自觉的运用化归与转化思想，体现解决数学问题的一般思路与方法.课时分配 本节内容用1课时的时间

2、完成，主要讲解变速直线运动的路程的求解问题.教学目标重点: 掌握过程步骤：分割、近似代替、求和、取极限.难点：对以上“四步曲”这一过程的理解知识点：会运用“分割、近似代替、求和、取极限”这四步求变速运动的路程问题.能力点：如何探寻将变速问题转化为小区间上的匀速问题，“以不变代变”和“无穷逼近”的数学思想的运用.教育点：经历由特殊到一般的研究数学问题的过程，体会探究的乐趣，激发学生的学习热情.自主探究点：如何运用每个小区间上的任一点处的速度代替整个小区间上的速度.考试点：分割、近似代替、求和、取极限这“四步曲”的运用.易错易混点：近似代替时部分学生对任意一点都可代替理解不是很清楚.拓展点：由求变

3、速直线运动的路程问题探寻定积分的概念教具准备 多媒体课件课堂模式 学案导学一、引入新课 利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关系，求物体运动速度”的问题反之，如果已知物体的速度与时间的关系，如何求其在一定时间内经过的路程呢？首先我们来复习一下上节课所学习的求曲边梯形的面积的基本思想和步骤：（1）分割、（2）近似代替、（3）求和、（4）取极限我们是按照以上四步通过“以直代曲”和“无穷逼近”的思想求解出了曲边梯形的面积，那么类比以上的过程，我们能否根据物体的速度与时间的关系求其在一定时间内经过的路程呢？问题：汽车以速度做匀速直线运动时，经过时间所行驶的路程为如果汽车作变速直线运动，在时刻的

4、速度为（单位：/），那么它在(单位：)这段时间内行驶的路程（单位：）是多少？ 【设计意图】通过让学生回顾上节课学过的内容，类比两类问题的异同得出也要分四步去完成求解做变速直线运动的汽车行驶的路程的问题.二、探究新知分析：与求曲边梯形面积类似，采取“以不变代变”的方法，把求变速直线运动的路程问题，化归为匀速直线运动的路程问题把区间分成个小区间，在每个小区间上，由于的变化很小，可以近似的看作汽车作于速直线运动，从而求得汽车在每个小区间上行驶路程的近似值，在求和得（单位：km）的近似值，最后让趋紧于无穷大就得到（单位：km）的精确值（思想：用化归为各个小区间上匀速直线运动路程和无限逼近的思想方法求出

5、变速直线运动的路程）1分割在时间区间上等间隔地插入个点，将区间等分成个小区间： ， 记第个区间为，其长度为把汽车在时间段，上行驶的路程分别记作： ， ，显然，（2）近似代替当很大，即很小时，在区间上，可以认为函数的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点处的函数值，从物理意义上看，即使汽车在时间段上的速度变化很小，不妨认为它近似地以时刻处的速度作匀速直线运动，即在局部小范围内“以匀速代变速”，于是的用小矩形的面积近似的代替，即在局部范围内“以直代曲”，则有 （3）求和由，=从而得到的近似值 （4）取极限当趋向于无穷大时，即趋向于0时，趋向于，从而有 思考1：将上述过程中近似代

6、替中的左端点处的速度换成在右端点处的速度值或小时间间隔内的任意一点处的速度值去代替求出来的结果会有什么变化？由于每一个小时间间隔当趋于无穷大时是非常小的，可以近似的认为在该时间间隔上的速度是不变的，因此选择哪一点作为近似代替的量都能求出相同的结果.思考2：结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程与由直线和曲线所围成的曲边梯形的面积有什么关系？结合上述求解过程可知，汽车行驶的路程在数据上等于由直线和曲线所围成的曲边梯形的面积结论：一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为，那么我们也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，利用“以不变代变”的方法及“无限逼近”的思想，求出它在内所作的位

7、移【设计意图】以上过程与推导曲边梯形面积的过程类似，让学生进一步体会分割、近似代替、求和、取极限的方法，体会“以不变代变”和“无限逼近”的思想.三、理解新知分析并理解解体的过程，体会分割、近似代替、求和、取极限这四步当中的每一步所体现的数学思想，体会“以不变代变”和“无限逼近”的思想.【设计意图】为准确地运用新知，作必要的铺垫.四、运用新知例1.一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，设汽车在时刻的速度为（的单位为：，的单位为：/），试计算这辆汽车在这段时间内汽车行驶的路程（单位为：）解：1分割在时间区间上等间隔地插入个点，将区间等分成个小区间： ， 记第个区间为，其长度为把汽车在时间段，上行驶的路程

8、分别记作： ， ，显然，（2）近似代替当很大，即很小时，在区间上，可以认为函数的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点处的函数值；从物理意义上看，即使汽车在时间段上的速度变化很小，不妨认为它近似地以时刻处的速度作匀速直线运动，即在局部小范围内“以匀速代变速”，于是的用小矩形的面积近似的代替，即在局部范围内“以直代曲”，则有（3）求和由，=从而得到的近似值 （4）取极限当趋向于无穷大时，即趋向于0时，趋向于，从而有 所以：汽车在这段时间内行驶的路程为.【设计意图】本例题为的解答可以让学生模仿新课的讲授过程自己完成，主要向让学生体会分割、近似代替、求和、取极限这四个步骤.【变式

9、1】在此例的解答过程中第二步的“近似代替”如果认为在每个小时间间隔上，汽车近似的以时刻处的速度做匀速运动，从而得到汽车行驶的总路程的近似值，用这种方法能求出的值吗？若能求出，这个值也是吗？【变式2】一质点做直线运动，速度（单位：/）与时间(单位：)满足关系.试求质点在前内所经过的路程.【设计意图】通过这两个变式主要是想让学生进一步体会“近似代替”和“无穷逼近”的数学思想.五、课堂小结 教师提问：本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？学生作答：1知识：采用分割、近似代替、求和、取极限的步骤求解变速运动的物体的路程问题2思想：“近似代替”和“无穷逼近”的数学思想教师总结: 在以“匀速代

10、变速”的过程实际上是和第一节讲的求曲边梯形面积时“以直代曲”的过程是类似的，提醒学生: 在学习新知时，也要经常复习前面学过的内容,“温故而知新”在应用中增强对知识的理解，及时查缺补漏,从而更好地运用知识,解题要有目的性，加强对数学知识、思想方法的认识与自觉运用【设计意图】 加强对学生学习方法的指导，做到“授人以渔”六、布置作业 1阅读教材P4244；2.书面作业 必做题： P50 习题1.5 A组 1、2选做题：1.质点运动的速度/，则质点由开始运动到停止运动所经过的路程是_.2. 如果物体沿与变力相同的方向移动，那么从位置到变力所作的功_.3课外思考：对于函数，和式的极限值是否是趋于常数的呢

11、？设计意图设计作业1,2，是引导学生先复习，再作业，培养学生良好的学习习惯.书面作业的布置，是为了让学生能够分割、近似代替、求和、取极限的步骤去解决简单的数学问题；课外思考的安排，是让学生在理解的基础上，从而让学生深刻地体会“近似代替”和“无穷逼近”的数学思想，培养学生用整体的观点看问题，起到承上启下的作用 七、教后反思 1.本教案的亮点是变式训练.在例1的教学中，让学生自己动手去做，变式既注重了与原问题的联系，又在不知不觉中提高了难度，提高了学生的解题能力2.由于各校的情况不同，建议教师在使用本教案时灵活掌握，但必须在分割、近似代替、求和、取极限这四步的探寻上下足功夫.3.本节课的弱项是由于整堂课课堂容量较大，在课堂上没有充分暴露学生的思维过程，并给予针对性地诊断与分析.八、板书设计152 汽车行驶的路程引入: 探究新知1、 分割2、 近似代替3、 求和4、 取极限例1变式1变式2课堂小结布置作业