二次函数数学资料.doc

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1、二次函数知识点1 二次函数的概念、图像及解析式1、二次函数的概念一般地，如果，那么y叫做x 的二次函数。2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征：有开口方向；有对称轴；有顶点。3、二次函数的解析式有三种形式：口诀- 一般 两根 三顶点（1）一般 一般式：（2）两根 当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根和存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。（3）三顶点 顶点式：如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，。4、最值

2、如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当时，当时，；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当时，当时，。例题分析例1 如图，已知中，BC=8，BC上的高，D为BC上一点，交AB于点E，交AC于点F（EF不过A、B），设E到BC的距离为，则的面积关于的函数的图象大致为（ ）例2 若抛物线的最低点在轴上，则的值为 。课堂练习1、抛物线yx22x2的顶点坐标是 （ ）A.（2，2） B.（1，2） C.（1，3） D.（1，3）2、如图，一次函数与二次函数的大致图

3、像是（ ） A B C D3、二次函数的最小值是（ ） A2 B1 C3 D 知识点2 二次函数的性质1、二次函数的性质函数二次函数图像a0a0 y y性质（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；（2）对称轴是x=，顶点坐标是（，）；（3）在对称轴的左侧，即当x时，y随x的增大而增大，简记左减右增；（4）抛物线有最低点，当x=时，y有最小值，（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；（2）对称轴是x=，顶点坐标是（，）；（3）在对称轴的左侧，即当x时，y随x的增大而减小，简记左增右减；（4）抛物线有最高点，当x=时，y有最大值，2、二次函数中，的含义：表示开口方向：0时，抛物线开口向上 0时，图像与

4、x轴有两个交点；当=0时，图像与x轴有一个交点；当0时，图像与x轴没有交点。4、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法） y如图：点A坐标为（x1，y1）点B坐标为（x2，y2）则AB间的距离，即线段AB的长度为 AB 0 例题分析例1 已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）ab0，c0ab0，c0ab0，c0ab0，c0第1，2题图 例2 已抛物线（为实数）。（1）为何值时，抛物线与轴有两个交点？（2）如果抛物线与轴相交于A、B两点，与轴交于点C，且ABC的面积为2，求该抛物线的解析式。例3 已知抛物线。（1）求证：不论为任何实数，抛物线与轴有

5、两个不同的交点，且这两个点都在轴的正半轴上；（2）设抛物线与轴交于点A，与轴交于B、C两点，当ABC的面积为48平方单位时，求的值。（3）在（2）的条件下，以BC为直径作M，问M是否经过抛物线的顶点P？课堂练习一、选择题：1、二次函数的图像如图所示，OAOC，则下列结论： 0； ； ； 。其中正确的有（ ） A、2个 B、3个 C、4个 D、5个 2、二次函数，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大。则当时，的值是 。3、已知抛物线的对称轴是，且它的最高点在直线上，则它的顶点为 ， 。知识点4 二次函数图象的平移1、将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；2、保持抛物线的形状不变，将其

6、顶点平移到处，具体平移方法如下：3、平移规律在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”函数平移图像大致位置规律 说明a 函数中ab值同号，图像顶点在y轴左侧同左，a b值异号，图像顶点必在Y轴右侧异右b 向左向上移动为加左上加，向右向下移动为减右下减c 直线斜率： b为直线在y轴上的截距4、直线方程：两点 由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两式: 此公式有多种变形 点斜 斜截 直线的斜截式方程，简称斜截式: ykxb(k0)截距 由直线在轴和轴上的截距确定的直线的截距式方程，简称截距式：牢记 口诀 -两点斜截距-两点 点斜 斜截 截距5、设两条直线分别为，： ： 若，则有且

7、。 若6、点P（x0，y0）到直线y=kx+b(即：kx-y+b=0) 的距离: 例题分析例1 将函数的图象向右平移a个单位，得到函数的图象，则a的值为 （ ）A1B2C3 D4 例2 已知，0，把抛物线向下平移1个单位，再向左平移5个单位所得到的新抛物线的顶点是（2，0），求原抛物线的解析式。课堂练习1、二次函数的图像向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到函数图像的解析式为，则与分别等于（ ） A、6、4 B、8、14 C、4、6 D、8、142、在平面直角坐标系中，先将抛物线关于轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ）ABCD课

8、后练习一、选择题：1、已知抛物线与轴两交点在轴同侧，它们的距离的平方等于，则的值为（ ） A、2 B、12 C、24 D、2或242、已知二次函数（0）与一次函数（0）的图像交于点A（2，4），B（8，2），如图所示，则能使成立的的取值范围是（ ） A、 B、 C、 D、或 3、如图，抛物线与两坐标轴的交点分别是A、B、E，且ABE是等腰直角三角形，AEBE，则下列关系：；其中正确的有（ ） A、4个 B、3个 C、2个 D、1个4、设函数的图像如图所示，它与轴交于A、B两点，线段OA与OB的比为13，则的值为（ ） A、或2 B、 C、1 D、2二、填空题：1、已知抛物线与轴交于两点A（，0

9、），B（，0），且，则 。2、抛物线与轴的两交点坐标分别是A（，0），B（，0），且，则的值为 。3、若抛物线交轴于A、B两点，交轴于点C，且ACB900，则 。4、已知二次函数与轴交点的横坐标为、，则对于下列结论：当时，；当时，；方程0有两个不相等的实数根、；，；，其中所有正确的结论是 （只填写顺号）。三、解答题：1、已知函数的图像过点（1，15），设其图像与轴交于点A、B，点C在图像上，且，求点C的坐标。2、抛物线，和直线（0）分别交于A、B两点，已知AOB900。（1）求过原点O，把AOB面积两等分的直线解析式；（2）为使直线与线段AB相交，那么值应是怎样的范围才适合？3、已知二次函数（

10、0）的图像过点E（2，3），对称轴为，它的图像与轴交于两点A（，0），B（，0），且，。（1）求这个二次函数的解析式；（2）在（1）中抛物线上是否存在点P，使POA的面积等于EOB的面积？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。4、已知抛物线与轴交于点A（，0），B（，0）两点，与轴交于点C，且，若点A关于轴的对称点是点D。（1）求过点C、B、D的抛物线解析式；（2）若P是（1）中所求抛物线的顶点，H是这条抛物线上异于点C的另一点，且HBD与CBD的面积相等，求直线PH的解析式； 5、已知：RtABC的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB与x轴

11、重合（其中OA0，n0），连接DP交BC于点E。当BDE是等腰三角形时，直接写出此时点E的坐标。又连接CD、CP，CDP是否有最大面积？若有，求出CDP的最大面的最大面积和此时点P的坐标；若没有，请说明理由。 知识点1 例1、D 例2、2 课堂练习1、D 2、C 3、A知识点2 例1 C 例2 已抛物线（为实数）。（1）为何值时，抛物线与轴有两个交点？（2）如果抛物线与轴相交于A、B两点，与轴交于点C，且ABC的面积为2，求该抛物线的解析式。分析：抛物线与轴有两个交点，则对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，将问题转化为求一元二次方程有两个不相等的实数根应满足的条件。略解：（1）由已知有，解

12、得且 （2）由得C（0，1）又 或或例3 已知抛物线。（1）求证：不论为任何实数，抛物线与轴有两个不同的交点，且这两个点都在轴的正半轴上；（2）设抛物线与轴交于点A，与轴交于B、C两点，当ABC的面积为48平方单位时，求的值。（3）在（2）的条件下，以BC为直径作M，问M是否经过抛物线的顶点P？解（1），由，可得证。（2） 又 解得或（舍去） （3），顶点（5，9）， M不经过抛物线的顶点P。评注：二次函数与二次方程有着深刻的内在联系，因此，善于促成二次函数问题与二次方程问题的相互转化，是解相关问题的常用技巧。课堂练习1、B 2、7； 3、（2，2），；知识点3例2 已知，0，把抛物线向下平移

13、1个单位，再向左平移5个单位所得到的新抛物线的顶点是（2，0），求原抛物线的解析式。分析：由可知：原抛物线的图像经过点（1，0）；新抛物线向右平移5个单位，再向上平移1个单位即得原抛物线。解：可设新抛物线的解析式为，则原抛物线的解析式为，又易知原抛物线过点（1，0），解得原抛物线的解析式为：评注：解这类题的关键是深刻理解平移前后两抛物线间的关系，以及所对应的解析式间的联系，并注意逆向思维的应用。另外，还可关注抛物线的顶点发生了怎样的移动，常见的几种变动方式有：开口反向（或旋转1800），此时顶点坐标不变，只是反号；两抛物线关于轴对称，此时顶点关于轴对称，反号；两抛物线关于轴对称，此时顶点关于轴对称；课堂练习 1、C 2、课后练习 1、C（，1）或（，1）、（3，1）2、（1）；（2）30