“消元──二元一次方程组的解法”教学设计.doc

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1、“消元二元一次方程组的解法”教学设计北京五中分校曹自由摘要：明确概念的核心，以“使学生体会概念、方法的生成过程”为主导思想，设计教学过程。学生自主的运用所学过的等式性质，把没学过的方程组问题转化为学过的一元一次方程来解决，体会消元思想、转化思想。学生经历观察发现问题、类比解决问题、归纳形成方法这一过程，思维发而不散，更好的感悟数学。关键词：转化思想；消元思想；程序化思想一、内容和内容解析本节主要内容为二元一次方程组的解法，“消元”是解二元一次方程组的基本思路，代入消元和加减消元是“消元”的最基本的方法探究解二元一次方程组的通解通法，即把解法程序化也是本节应渗透的内容。（1）初中代数研究的中心问

2、题是各类方程，初中代数中的函数是初步的，它只起到一个启蒙的作用对函数较全面、深入的研究还有待于在高中进行。可以说，中学代数中，初中以方程为主，高中以函数为主，但初中的教学必须为高中进一步研究函数打好基础而二元一次方程组恰恰是联系方程和函数的一个很好的纽带，二元方程就刻画了两个变量之间的函数关系，而待定系数法求函数解析式、函数的交点问题等，又需要利用解方程组来进行计算在近代数学数值计算和工程应用中，求解线性方程组是重要的课题，以Gauss消元法为首的各种消元法的程序化仍然是大家不断研究的重点内容因此，学好二元一次方程组的解法，体会消元、转化思想，是学生完善认知的必要支柱，也是本节课的教学重点（2

3、）解方程组过程中蕴含的化归思想，不仅在解方程组过程中具有指导作用，更贯穿了数学学习、研究的始终；不仅应用于数学解题，而且是一种最基本的思维策略在研究和解决有关问题时，如何将复杂问题转化为简单问题；将难解的问题转化为容易求解的问题；将未解决的问题转化为已解决的问题，正是数学课所要教给学生的基本思考方法在本章的教学和学习中，不能仅着眼于具体题目的具体解题过程，而应不断加深对以上思想方法的领会，从整体上认识问题的本质数学思想方法是通过数学知识的载体来体现的，对于它们的认识需要一个较长的过程，既需要教材的渗透，也需要教师的点拨，还需要学生自身的感受和理解如果认识了消元思想，那么学生对于代入法、加减法的

4、具体步骤就不会仅是死记硬背，而能够顺势自然地理解，并能够灵活运用从而确立方程、不等式、函数这一结构体系中重要的一环这种思想的逐步形成也恰恰体现了“学习数学使人聪明”因此，化归思想是本节课教学中所要重点突出的数学思想（3）算法是一个全新的课题，已经成为计算机科学的核心，它在科学技术和社会发展中起着越来越重要的作用学习算法的基本思想和初步知识，也成为高中必修课程中的内容算法一方面具有具体化、程序化、机械化的特点，同时又具有高度的抽象性、概括性和精确性算法学习使我们更加全面地理解运算能力，还能够发展逻辑思维能力本节课在对二元一次方程组解法的探究过程中，可以很好地体现上述内容一方面引导学生探究解二元一

5、次方程的步骤，进而体会解二元一次方程组的通解通法，并通过框图初步感受程序化的思想；同时又在各个具体步骤中，关注某些细节，如“变形后的方程应代入哪一个方程才能继续求解”、“对比先消哪一个未知数使运算更加简洁”等培养学生的思维能力学生的认知水平有限，还不能完全理解程序化的思想，对二元一次方程组解法的探究，也还只能停留在解给定具体系数的方程组，还不能探究公式化的解法，对同解方程的理解也只能停留在满足等式性质，不能全面地思考方程组有唯一确定解所满足的条件，因此只能定位在渗透程序化思想上，而不应把算法的学习作为本节课的重点二、目标和目标解析教学目标（1）理解解二元一次方程组的基本思路“消元”，经历从未知

6、向已知转化的过程，培养观察分析能力，体会化归思想；初步体会解方程组过程中体现的程序化思想； （2）能用代入消元法、加减消元法解简单的二元一次方程组，会根据方程组特征选择适当的方法，体会简化思想，培养运算能力；（3）在探究过程中，培养合作交流意识与探究精神，增强学习兴趣，感受数学美教学重点理解解二元一次方程组的基本思路“消元”，会用代入、加减消元法解简单的二元一次方程组教学难点学生探究并理解为什么能通过代入、加减消元把二元一次方程组转化为一元一次方程首先，这是二元一次方程组解法的第一节课，学生初次接触方程组的解法，同时思维的重点也集中在如何把未知问题转化为已知问题，把二元问题转化为一元问题。因此

7、，教学的重点是对转化思想、消元方法的理解，而不是对解法的熟练运用，故在目标中设定为“能用代入、加减消元法解简单的二元一次方程组”其次，程序化思想虽然重要，但学生在本节课接触的例题还比较少，缺少大量积累后的感悟，同时又没有探讨二元一次方程组的标准方程的解法（即二元一次方程组的求解公式），所以只能在几个主要步骤环节让学生“初步体会解方程组过程中体现的程序化思想”最后，化归思想是化难为易、化繁为简、化未知为已知代入、加减是方法，消元是目的，转化是本质所以本节课探究利用代入、加减消元法解二元一次方程组的基本步骤，立足于化归思想的逐步形成三、教学问题诊断分析（1）学生对代数思想的认识不够，缺乏用字母表示

8、数的意识，发现式的变形和依据的能力不强如用代入法解二元一次方程组时，需要先把其中一个方程变形成用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，再利用整体代换的方式替换出一元这其中所蕴含的式的变形及整体代入思想，都是需要学生理解的（2）学生对解法的关注点往往集中在不同的方法上，而忽视相同的思想；集中在不同的变形技巧上，而忽视相同的程序化过程；集中在答案的对与错，而忽视解题过程的简与繁因此，在本节课的教学过程设计中，时刻注意引导学生思维聚焦的方向，通过合理设置有梯度的承接性问题，激发学生的思维，深化学生的思考并且及时进行阶段性小结，不断完善学生的认知结构，力争做到使学生的思维“发而不散”四、教学过程

9、设计先行组织者：在上一节课，我们通过对一道与篮球比赛得分有关的实际问题的研究，学习了二元一次方程组，以及二元一次方程组的解当我们列出二元一次方程组后，所关心的就是如何求出这个方程组的解在此之前,我们学习了如何解一元一次方程，解一元一次方程的主要依据是等式性质今天我们就来共同探究，能否利用等式性质和一元一次方程的相关知识，解二元一次方程组（一）探究新知例题在上一节课，通过对实际问题的分析，我们列出了二元一次方程组你会解这个方程组吗？ （教师不加任何解释和引导，让学生自主探究方程组的解法）预案1解：由得 把代入，得解这个方程，得（这时教师可以提出问题：为什么可以代入？代入可不可以？得到的方程是什么

10、方程？）把代入，得（这时教师可以提出问题：代入或行不行？好不好？）所以原方程组的解为（1）提出问题：在这种解法中，哪一步是最关键的？为什么？【设计意图】引导学生理解等量代换在代入消元法解方程组过程中的应用体会解二元一次方程组的关键是把二元一次方程组转化为一元一次方程（在“为什么可以代入”这一问题的解决过程中，引导学生回顾二元一次方程组的定义，和二元一次方程组的解的定义，再一次理解定义中的“相同未知数”、“公共解”）（2）引申问题：有没有办法得到关于的一元一次方程？解：由得 把代入，得解这个方程，得 （这时教师可以提出问题：代入可不可以？） 把代入，得（这时教师可以提出问题：代入或可不可以？）所

11、以原方程组的解是（3）小结：这种解二元一次方程组的方法，我们称之为代入消元法问题1：你认为哪一步是最重要的？为什么?（“代入”，把二元一次方程组转化为一元一次方程）问题2：应用代入消元法前，需要先做的准备工作是什么？（用含一个未知数的式子表示另一个未知数）问题3：除了代入法，还有没有其他方法来实现消元这一目的呢（引入预案2）？预案2解：由-，得 （这时教师可以提出问题：这一步的依据是什么？）把代入，得 （这时教师可以提出问题：代入可以吗？）所以原方程组的解是（1）提出问题：在这种解法中，哪一步是最关键的？为什么？【设计意图】引导学生理解等式性质在加减消元法解方程组过程中的应用，体会解二元一次方

12、程组的关键是把二元一次方程组转化为一元一次方程（2）引申问题：能不能先消？解：2，得 -，得 （这时教师可以提出问题：-可以吗？好吗？）把代入，得所以原方程组的解是（3）小结：这种解二元一次方程组的方法我们称之为加减消元法问题1：你认为哪一步是最重要的？为什么?（“加减”，把二元一次方程组转化为一元一次方程）问题2：应用加减消元法前，方程组中的两个方程要先具备什么特征？（两方程中某个相同未知数的系数相等或互为相反数）问题3：除了加减法，还有没有其他方法来实现消元这一目的呢（引入预案1）？ 对比预案1、预案2，进行总结问题1：两种方法的共同点（共同目的）是什么？（通过消元，使二元问题先转化为一元

13、问题，求出一个未知数后再求另一个）问题2：两种方法的不同点是什么？（消元的方法不同，一个是“代入”，一个是“加减”） 问题3：哪一种方法更简单？（根据方程组特征，具体问题具体分析）预案3解：把方程变形成把代入，得 （后续步骤略） 【说明】整体代入也实现了“消元”这一目的。（二）运用新知练习： 答案： （学生分组解答，然后汇报、交流不同的解法注意纠正学生解题步骤中的细节问题）（三）归纳总结思考：这节课我们学习了什么？问题1：这节课我们研究的主要内容是什么？（代入、加减消元法解二元一次方程组。）问题2：解法的主要步骤是什么？ （变形、代入（加减）、求解、回代、结论。）我们以练习、练习为例，通过框图

14、（如图1、图2），再次回顾解二元一次方程组的基本步骤 代入消元法解方程组的基本步骤 图1代入消元法解二元一次方程组的几个关键步骤是什么？变形：将其中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的式子表示代入：将变形后的方程代入另一个方程中，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程求解：求出一元一次方程的解回代：将其代入到变形后的方程中，求出另一个未知数的解结论：写出方程组的解 加减消元法解方程组的基本步骤 图2加减消元法解二元一次方程组的几个关键步骤是什么？变形：使两个方程中某个相同未知数的系数相等或互为相反数加减：将两个方程相加减，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程求解：求出一元

15、一次方程的解回代：将其代入到变形后的方程中，求出另一个未知数的解结论：写出方程组的解问题3：你觉得其中最关键的一步是什么？为什么？体现了什么思想？（代入消元，把二元一次方程组转化为一元一次方程，转化思想。）问题4：在解题过程中我们还应注意哪些问题？（分析如何消元能简化运算等。）（四）布置作业教材P107页练习2、32用代入法解下列方程组：(1) (2) 3张翔从学校出发骑自行车去县城，中途因道路施工步行一段路，15小时后到达县城他骑车的平均速度是15千米/时，步行的平均速度是5千米/时，路程全长20千米他骑车与步行各用多少时间？教材P111页练习11用加减法解下列方程组：(1) (2) 选做题

16、1已知2已知是方程组的解，求a、b的值【说明】教材上的作业既是对代入法的一次练习，同时也是对代入法适合情况的一次理解；思考题作业是对方程组问题的一次提高练习，有一定的思维难度五、目标检测设计1解下列方程组。（1） （2） （3） （4） 2有48个队520名运动员参加篮、排球比赛，其中每支篮球队10人，每支排球队12人，每名运动员只参加一项比赛篮、排球队各有多少队参赛？ 注：本文指导：北京东城教师研修中心：吴晓燕、雷晓莉；北京22中：张玉梅；北京宏志中学：王芝平。北京课题组成员：张韬，沈秀玉，马岳，宫颖，范方兵，杨哲赢，靳荷艳，王志明，李红晶等。参考文献：曹才翰，章建跃. 教师教育心理学M. 北京：北京师范大学出版社，2006. 本文发表于中国数学教育初中版2011年第1、2期