《计算机算法基础》第三版_课后习题答案.doc

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1、上机实验书上121页5。25。3书上1516。16。36。6他说搞懂这几题和实验就没问题了 4.2在下列情况下求解递归关系式 T(n)= 当n=2k g(n)= O(1)和f(n)= O(n)； n=2k g(n)= O(1)和f(n)= O(1)。解: T(n)=T(2k)=2 T(2k-1)+f(2k)=2(2 T(2k-2)+f(2k-1) +f(2k) =22T(2k-2)+21 f(2k-1)+ f(2k) = =2kT(1)+2k-1f(2)+2k-2f(22)+20f(2k) =2kg(n)+ 2k-1f(2)+2k-2f(22)+20f(2k) 当g(n)= O(1)和f(n)

2、= O(n)时，不妨设g(n)=a，f(n)=bn，a，b为正常数。则 T(n)=T(2k)= 2ka+ 2k-1*2b+2k-2*22b+20*2kb =2ka+kb2k =an+bnlog2n= O(nlog2n) 当g(n)= O(1)和f(n)= O(1)时，不妨设g(n)=c，f(n)=d，c，d为正常数。则 T(n)=T(2k)=c2k+ 2k-1d+2k-2d+20d=c2k+d(2k-1)=(c+d)n-d= O(n)4.3根据教材中所给出的二分检索策略，写一个二分检索的递归过程。Procedure BINSRCH(A, low, high, x, j)integer midi

3、f lowhigh then mid if x=A(mid) then jmid; endifif xA(mid) then BINSRCH(A, mid+1, high, x, j); endifif xA(mid) then BINSRCH(A, low, mid-1, x, j); endifelse j0; endifend BINSRCH4.5作一个“三分”检索算法。它首先检查n/3处的元素是否等于某个x的值，然后检查2n/3处的元素；这样，或者找到x，或者把集合缩小到原来的1/3。分析此算法在各种情况下的计算复杂度。 Procedure ThriSearch(A, x, n, j)

4、integer low, high, p1, p2low1; highnwhile lowhigh do p1 ; p2 case :x=A(p1): jp1; return :x=A(p2): jp2; return :xA(p2): lowp2+1:else: lowp1+1; highp2-1 end caserepeatj0end ThriSearchT(n)= g(n)= O(1) f(n)= O(1)成功:O(1),O(log3(n),O(log3(n)最好，平均， 最坏失败: O(log3(n),O(log3(n),O(log3(n)最好，平均， 最坏4.6对于含有n个内部结点的

5、二元树，证明E=I+2n，其中，E，I分别为外部和内部路径长度。证明：数学归纳法当n=1时，易知E=2，I=0，所以E=I+2n成立；假设nk(k0)时，E=I+2n成立；则当n=k+1时，不妨假定找到某个内结点x为叶结点（根据二元扩展树的定义，一定存在这样的结点x，且设该结点的层数为h），将结点x及其左右子结点（外结点）从原树中摘除，生成新二元扩展树。此时新二元扩展树内部结点为k个，则满足Ek=Ik+2k，考察原树的外部路径长度为Ek+1= Ek-（h-1）+2h，内部路径长度为Ik+1=Ik+（h-1），所以Ek+1= Ik+2k+h+1= Ik+1+2k+2= Ik+1+2(k+1)，综

6、合知命题成立。4.10过程MERGESORT的最坏情况时间是O(nlogn)，它的最好情况时间是什么？能说归并分类的时间是(nlogn)吗？最好情况：是对有序文件进行排序。分析：在此情况下归并的次数不会发生变化-log(n)次归并中比较的次数会发生变化（两个长n/2序列归并）最坏情况两个序列交错大小，需要比较n-1次最好情况一个序列完全大于/小于另一个序列，比较n/2次差异都是线性的，不改变复杂性的阶因此最好情况也是nlogn, 平均复杂度nlogn。可以说归并分类的时间是(nlogn)5.2 求以下情况背包问题的最优解，n=7，m=15，=(10,5,15,7,6,18,3)和=(2,3,5

7、,7,1,4,1)。 将以上数据情况的背包问题记为I。设FG(I)是物品按的非增次序输入时由GREEDY-KNAPSACK所生成的解，FO(I)是一个最优解。问FO(I)/ FG(I)是多少? 当物品按的非降次序输入时，重复的讨论。解： 按照/的非增序可得(/，/，/，/，/，/，/)= (6,5,9/2,3,3,5/3,1) W的次序为(1,2,4,5,1,3,7),解为(1,1,1,1,1,2/3,0) 所以最优解为：（1,2/3,1,0,1,1,1）FO(I)=166/3 按照Pi的非增次序输入时得到(,)= (18,15,10,7,6,5,3)，对应的(,)= (4,5,2,7,1,3

8、,1)解为(1,1,1,4/7,0,0,0)所以FG(I)的解为（1,0,1,4/7,0,1,0）FG(I)=47，所以FO(I)/ FG(I)=166/141. 按照的非降次序输入时得到(,)=(1,1,2,3,4,5,7)相应的(,)=(6,3,10,5,18,15,7) 解为(1,1,1,1,1,4/5,0)则FW(I)的解为（1,1,4/5,0,1,1,1）FW(I)=54，所以FO(I)/ FW(I)=83/81.5.3（0/1背包问题）如果将5.3节讨论的背包问题修改成 极大化 约束条件 xi=0或1 1in这种背包问题称为0/1背包问题。它要求物品或者整件装入背包或者整件不装入。

9、求解此问题的一种贪心策略是：按/的非增次序考虑这些物品，只要正被考虑的物品能装进的就将其装入背包。证明这种策略不一定能得到最优解。证明：当按照/的非增次序考虑物品存放背包时，如果所装入的物品恰能装满背包时，易证为最优解，否则未必是最优解。可举例如下：设n=3，M=6，（, , ）=(3,4,8)，（, , ）=(1,2,5)，按照/的非增序得到（/, /, /）=(3,2,1.6)，则其解为（1,1,0），而事实上最优解是(1,0,1)，问题得证。5.11 证明如果一棵树的所有内部节点的度都为k，则外部节点数n满足n mod (k-1)=1. 证明对于满足 n mod (k-1)=1的正整数n

10、，存在一棵具有n个外部节点的k元树T(在一棵k元树中，每个节点的度至多为k)。进而证明T中所有内部节点的度为k.证明： 设某棵树内部节点的个数是m，外部结点的个数是n，边的条数是e，则有 e=m+n-1和 e=mkmk=m+n-1 (k-1)m=n-1 n mod (k-1)=1 利用数学归纳法。当n=1时，存在外部结点数目为1的k元树T，并且T中内部结点的度为k；假设当 nm，且满足n mod (k-1)=1时，存在一棵具有n个外部结点的k元树T，且所有内部结点的度为k；我们将外部结点数为n(n为满足nm，且n mod (k-1)=1的最大值)的符合上述性质的树T中某个外部结点用内部结点a替

11、代，且结点a生出k个外部结点，易知新生成的树T中外部结点的数目为n+(k-1)，显然n为满足n mod (k-1)=1，且比m大的最小整数，而树T每个内结点的度为k，即存在符合性质的树。综合上述结果可知,命题成立。6.2修改过程ALL_PATHS，使其输出每对结点（i,j）间的最短路径，这个新算法的时间和空间复杂度是多少？ Procedure ShortestPath(COST, n, A, Max)integer i , j, kreal COST(n, n), A(n, n), Path(n, n), Maxfor i1 to n do for j1 to n do A(i ,j)COST

12、(i ,j) if ij and A(i, j)Max then Path(i, j )j else Path(i, j)0 endif repeatrepeatfor k1 to n do for i1 to n do for j1 to n do if A(i,j)A(i,k)+A(k,j)then A(i,j)A(i,k)+A(k,j) Path(i,j)Path(i,k)endif repeat repeatrepeatfor i1 to n do for j1 to n do print(“the path of i to j is ” i ) kpath(i, j) while k

13、0 do print( ,k) kpath(k, j) repeat repeatrepeat end ShortestPath时间复杂度O(n3)，空间复杂度O(n2) 6.4证明算法OBST的计算时间是O(n2)。 在已知根R(i, j)，0i j4的情况下写一个构造最优二分检索树T的算法。证明这样的树能在O(n)时间内构造出来。解： 将C中元素的加法看做基本运算，则算法OBST的时间复杂性为： O(n2) Procedure BuildTree(m, n, R, Root)integer R(n,n), kTreeNode Root, LR, RRkR(m,n)if k0 then da

14、ta(Root)k, BuileTree(m, k-1, R, LR), BuileTree(k, n, R, RR) left(Root)LR, right(Root)RRelse data(Root)m, left(Root)null, right(Root)null, endif end BuildTree时间复杂性分析：T(n)=c+T(k)+T(n-k-1)，此递推式保证算法的时间复杂性为O(n)，也可从递归的角度出发，递归的次数正是结点的个数，而每次递归时间复杂性为常数，所以算法的时间复杂度也为O(n)。6.8给出一个使得DKNAP(算法6.7)出现最坏情况的例子，它使得|Si|=2i, 0in。还要求对n的任意取值都适用。解：取(P1,P2,Pi,)=(W1,W2,Wi,)=(20,21,2i-1,)P和W取值相同，使支配原则成立，也就是说不会因为支配原则而删除元素；只要说明不会出现相同元素被删除一个的情形，即可知是最坏的情况。可用归纳法证明此结论。