第二章章末复习小结.doc

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1、第二章 点、直线、平面之间的位置关系章末复习教学目标重点：空间直线、平面的位置关系，直线、平面平行的判定定理和性质定理，直线、平面垂直的判定定理和性质定理难点：空间中平行关系、垂直关系、平行与垂直关系之间的转化能力点：在认识空间点、直线、平面位置关系的过程中，进一步提高学生的空间想象能力，发展推理能力 教育点：提高学生的认知水平，为学生塑造良好的数学认识结构自主探究点：例题及变式的解题思路的探寻易错点：(1)异面直线所成角、直线与平面所成角及二面角的平面角的取值范围；(2)使用有关判定定理和性质定理时忽视相应条件学法与教具1学法：讲授法、讨论法 2教具：投影仪一、【知识结构】 空间点、直线、平

2、面之间的位置关系直线、平面平行的判定及其性质性质平面与平面平行直线与平面平行平面与平面平行直线与平面平行判定直线、平面垂直的判定及其性质性质平面与平面垂直直线与平面垂直平面与平面垂直直线与平面垂直判定平面(公理1、公理2公理3、公理4)空间直线、平面之间的位置关系异面直线所成的角直线与平面所成的角二面角的平面角直线与平面的位置关系直线与直线的位置关系平面与平面的位置关系点直线平面之间的位置关系二、【知识梳理】1.四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面推论2

3、：经过两条相交直线，有且只有一个平面推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行 四个公理的作用：(1)公理1：检验平面；判断直线在平面内；由直线在平面内判断直线上的点在平面内(2)公理2：公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法(3)公理3：判定两平面相交；作两平面相交的交线；证明多点共线(4)公理4：证明线线平行2.直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类(2)异面直线所成的角定义：已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，把与所成的锐角（或直角）叫做异面直线

4、与所成的角(或夹角)范围：思考探究：如果两条直线没有任何公共点，则两条直线为异面直线，此说法正确吗？提示：不正确 如果两条直线没有公共点，则两条直线平行或异面 3.等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4.直线与平面的位置关系(1)位置关系的分类(2)直线和平面平行的判定定义：直线和平面没有公共点，则称直线平行于平面；判定定理：；其他判定方法： (3)直线和平面平行的性质定理：(4)直线与平面垂直的判定定义法；利用判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直；推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面

5、思考探究：能否将直线与平面垂直的定义中的“任意一条直线”改为“无数条直线”？提示：不可以当这无数条直线平行时，直线有可能在平面内，或者与平面相交但不垂直(5)直线和平面垂直的性质直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线垂直于同一个平面的两条直线平行垂直于同一直线的两平面平行(6)直线和平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角当直线与平面垂直和平行(含直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为和思考探究：如果两直线与一个平面所成的角相等，则这两直线一定平行吗？提示：不一定这两直线的位置关系可能平行、相交或异面5平面与平面的位置关系(1)位置关系的分类

6、(2)两个平面平行的判定定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行；判定定理：；推论：思考探究：如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，则这两个平面一定平行吗？提示：不一定平行如果这无数条直线互相平行，则这两个平面就可能相交(3)两个平面平行的性质定理；思考探究：垂直于同一平面的两平面是否平行？提示：不一定两平面可能平行，也可能相交(4)平面与平面垂直的判定定义法；利用判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直(5)平面与平面垂直的性质如果两平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面(6)二面角的有关概念二面角：从一条直线出发的两个半平面所组

7、成的图形叫做二面角二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角三、【范例导航】例1.如图，正方体中，分别是和的中点求证： (1)四点共面；(2)三线共点 图1【分析】对于(1)由可得四点共面；对于(2)先证 与相交于，再证即可得到三线共点【解答】(1)如图1，连接，分别是的中点，又，四点共面(2)，与必相交，设交点为，则由，得同理又平面平面，直线，三线共点【点评】平面的基本性质是研究立体几何的基础，公理3是将立体几何图形问题转化为平面几何图形问题的理论依据，在这里判断和证明点、线共面问题就显得十分重要了 变式训练1 (

8、课本P53，B组2)如图，在平面外， ，求证：三点共线答案：因为，所以，所以在平面与平面的交线上同理可以证明均在这条交线上所以三点共线例2(2012四川文14)如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成的角的大小是_【分析】将异面直线通过平行线“平移”为相交直线，则可以找到异面直线所成的角，再通过解三角形求解即可【解答】过作交棱于点，连结，则就是异面直线与所成的角(或其补角)，设正方体的棱长为，可以求得， ，那么，所以是直角三角形，所以，即异面直线与所成的角是【点评】求异面直线所成的角， 关键是将其中一条直线平移到某个位置使其与另一条直线相交， 或将两条直线同时平移到某个位置， 使其

9、相交 平移直线的方法有：(1)直接平移；(2)中位线平移；(3)补形平移 变式训练2在正方体中， (1)求与所成角的大小； (2)若、分别为、的中点， 求与所成角的大小 答案：（1）；（2）例3 (学生自主学习丛书数学P148例3)如图，矩形所在的平面，、分别是、的中点，(1)求证：平面；(2)求证：；(3)若二面角大小为，求证：平面平面【分析】(1)取中点，连接、，转化为证四边形为平行四边形即用线线平行来推导线面平行(2)先证平面，再利用可得结论(3)先由平面，所以，和，为中点再由证出平面【解答】(1)取中点，连接、，则，故四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面(2)因为平面，

10、所以，又因为，所以平面，所以，又因为，所以(3) 因为平面，所以，所以就是二面角的平面角，即，由平面，所以，那么为等腰直角三角形，因为是的中点，所以，又，所以，根据(2)的结论，且，所以平面，又平面， 所以平面平面【点评】本题综合考查了面面垂直的判定、线面垂直的判定线线垂直的证明以及线面平行的判定，是对立体几何知识的综合考查培养了学生的平面与空间及线线关系、线面关系、面面关系的转化能力变式训练3(2012山东文19) 如图，几何体是四棱锥，为正三角形，(1)求证：；(2)若，为线段的中点，求证：平面答案：(1)取中点为，连接，则由知，又，所以平面所以，即是的垂直平分线，所以(2)取中点，连接，

11、因为是的中点，所以，又平面，平面，所以平面又因为是等边三角形，所以又，可知，所以，又平面，平面，所以平面又所以平面平面，又平面，所以平面四、【解法小结】1.点共线或线共点问题的证明， 关键是转化为证明点在直线上，也就是利用公理3，即证点在两个平面的交线上或者选择其中两点确定一直线，然后证明另一点也在直线上；证明点共面或线共面问题，一般先由公理2或其推论确定平面经过某些元素，再由公理1或公理3证明其他元素也在平面内2.求异面直线所成角、直线与平面所成的角、二面角的平面角等空间角的一般步骤：一找，即找出相关的角；二证，即证明找出的角即为所求的角；三计算，即通过解三角形的方法求出所求角3.证明直线与

12、平面平行或垂直、平面与平面平行或垂直的常用方法此部分在知识梳理部分中已做了详细了介绍，这里就不在赘述五、【布置作业】必做题：1.(2012浙江文5)设是直线，是两个不同的平面( )A若，则 B若，则C若，则 D若，则2.如右图，在空间四边形中，若，则与平面的位置关系是 3.如图，在四面体中，已知， ，是线段上一点，点在线段上，且证明平面图1 图24.(2012北京改编)如图1，在中，分别为，的中点，点为线段上的一点，将沿折起到的位置，使，如图2(1)求证：平面；(2)求证：；必做题答案：(1)B；(2)平面；(3) 因为，所以是以为直角的直角三角形，同理可证是以为直角的三角形， 是以为直角的三

13、角形，故平面又因为，而故又已知，所以平面(4)证明：(1)因为，分别为，的中点，所以；，又因为平面，平面，所以平面，(2)由已知且，所以，所以，所以平面而平面，所以，又因为，所以平面，所以选做题：1.(2012四川文6)下列命题正确的是（ ）A若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行2学生自主学习丛书数学P153，21选做题答案：(1)C；(2)参考学生自主学习丛书数学六、【教后反思】1本教案的亮点是：(1)用结构图呈现本章知识，直观简明；(2)知识梳理部分十分详实且分类明晰；(3)例题具有典型性且解法总结到位，变式练习有效，讲练结合教学效果明显，；(4)在作业的布置上，选择了部分高考题，对学生理解、巩固知识能够起到良好的作用2本教案的弱项是：(1)本节重点介绍了异面直线所成角，但直线与平面所成角以及二面角的平面角部分没有专项训练；(2)本教案例3综合性较强，在讲评时会耗时过多，(3)对于线、面平行或垂直的证明类题目相对较少