相对论习题课.doc

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1、狭义相对论一、基本要求1理解爱因斯坦狭义相对论的两个基本假没。2理解洛仑兹坐标变换。了解狭义相对论中同时性的相对性，以及长度收缩和时问膨胀的概念。 了解牛顿力学中的时空观和狭义相对论中的时空观以及二者的差异。3理解狭义相对论中质量和速度的关系、质量和能量的关系，并能用以分析、计算有关的简单问题。二、内容提要1经典力学的绝对时空观 伽里略相对性原理 一切彼此相对作匀速直线运动的诸惯性系中的力学规律都是一样的。即力学规律的数学形式都是相同的。 伽里略变换 设想两个作相对匀速运动的惯性系（参照系），各以直角坐标系和表示，两者的坐标轴分别相互平行，而且轴和轴重合在一起。坐标系相对于坐标系沿轴方向以速度

2、运动。设想在坐标系和坐标系，当原点重合时，两个坐标系内的时钟校准为零，即时，。 同一点在坐标系和坐标系中的坐标和有如下的关系： 或 这就是伽利略坐标变换公式。它完全体现了绝对时空观，是绝对时空观的数学表述。经典力学的绝对时空观 经典力学的时空观认为，时间和空间是相互独立的，对时间间隔和空间间隔的测量不会因为参考系的运动而改变。根据上述位置变换关系及速度的定义，可导出质点运动速度在二惯性系之间的变换关系 （、）加速度变换关系 （、）因此，在诸惯性系中，牛顿第二定律可表示为，牛顿第二定律相对于伽里略变换是不变的。2狭义相对论的基本假设 爱因斯坦相对性原理 一切彼此相对作匀速直线运动的诸惯性系都是平

3、权的，其中物理规律都一样。 光速不变原理 在任何一个惯性系中测得的真空中的光速都相等。3洛仑兹变换 设想两个作相对匀速运动的惯性系（参照系），各以直角坐标系和表示，两者的坐标轴分别相互平行，而且轴和轴重合在一起。坐标系相对于坐标系沿轴方向以速度运动。设想在坐标系和坐标系，当原点重合时，两个坐标系内的时钟校准为零，即时，。 同一点在坐标系和坐标系中的坐标和有如下的关系： 4狭义相对论的时空观“同时性”的相对性 在一个惯性系测得是同时发生的两事件，在另一个惯性系中测量可能不是同时发生的。坐标系相对于坐标系沿轴方向以速度运动。在坐标系中不同空间地点同时发生两个事件和 ，即，自坐标系中测量，这两事件不

4、是同时发生的。如果在坐标系中不同空间地点同时发生两个事件和， 即，在坐标系中，这两事件也是不会同时发生的。时间膨胀 在一个惯性系中观测，另一个做匀速直线运动的惯性系中同地发生的两个事件的时间间隔变大。这称为时间延缓效应。设两个事件在系中发生在同一空间地点，即、，那么，在系中，这两个事件是发生在、。也就是说，系跟随事件，或者说，事件的发生在系是静止的 （为原时， 为测时）如果设两个事件在系中发生在同一空间地点，即、，那么，在系中，这两个事件是发生在、， （为原时，为测时）长度收缩 在不同的惯性系中测量物体的长度是不同的。在与物体静止的惯性系中测量物体的长度（原长）最长；在与物体有相对运动的惯性系

5、中测量物体的长度（测长）总要比原长短一些。这种效应称为长度收缩效应。棒静止于系中，在系中测量棒的两个端点坐标的两个事件：、，在系中测量棒的两个端点坐标的两个事件：、， （原长，测长）如果棒静止于系中，在系中测量棒的两个端点坐标的两个事件：、，在系中测量棒的两个端点坐标的两个事件：、， （原长，测长）5洛仑兹速度变换公式一质点，在系测得其运动速度为在系测得其运动速度为 若坐标系相对于坐标系沿轴方向以速度运动。则速度变换关系为 6狭义相对论质点动力学相对论质量 若在一相对静止的惯性系测得物体的质量为，则在相对物体以的速度运动的另一惯性系测得其质量为， （为静止质量）相对论动量相对论动能相对论能量运

6、动能量：静止能量：相对论能量守恒相对论动量能量关系二、问题讨论1、根据爱因斯坦的时空观，讨论（1）在一惯性系中观测，两个事件同时不同地发生，则在其他惯性系中观测，这两个事件是否可能同时发生？是否可能同地发生？（2）在一惯性系中观测，两个事件同地不同时发生，则在其他惯性系中观测，这两个事件是否可能同地发生？是否可能同时发生？ （3）在一惯性系中观测，两个事件同时同地发生，则在其他惯性系中观测，这两个事件是否可能同时发生？是否可能同地发生？答：爱因斯坦相对时空观的数学表述为罗伦兹变换 （1）在系中观测，两个事件同时不同地发生，即事件，在系中观测，事件，则即：在一惯性系中观测，两个事件同时不同地发生

7、，则在其他惯性系中观测，这两个事件不可能同时发生，也不可能同地发生。（2）在系中观测，两个事件同地不同时发生，即事件，在系中观测，事件，则即：在一惯性系中观测，两个事件同地不同时发生，则在其他惯性系中观测，这两个事件不可能同地发生，也不可能同时发生。（3）在系中观测，两个事件同地同时发生，即事件，在系中观测，事件，则即：在一惯性系中观测，两个事件同地同时发生，则在其他惯性系中观测，这两个事件一定同地发生，也一定同时发生。2、如图所示，在地面上M点固定一光源，在离光源等距的两点A和B固定有两个光接收器。今使光源发出一闪光，在地面参考系中观测，两个接收器是否同时接收到两个光信号?在沿A B方向高速

8、运行的火车参考系中观测，哪个接收器先接收到光信号。答：是；不能，接收器先接收到光信号。设在地面坐标系中，、接收到信号的事件为；高速运行的火车参考系中，、接收到信号的事件为，如图所示。在 系中，事件、的发生是静止的，而且是的中点，两个事件必定同时发生。注意：不同地点（）。由于、是在系中不同地点同时发生的两件事，根据同时性的相对性，在系中必定是不同时发生的。根据罗伦兹变换所以，在系中观测，事件先于事件发生，即在系中观测，接收器先接收到光信号。3、 一观察者为测量相对自己运动的物体的长度而测量物体两端坐标，对该观察者而言，测量两端坐标这两个事件的最低要求是什么？如果他实施了正确测量，他测得的物体沿运

9、动方向的长度是长于还是短于该物体沿该方向的静止长度。答：通过测量运动物体两端坐标的办法来测量物体的长度，必须同时测量两端坐标；根据“长度收缩”原理，运动物体的长度要短于该物体沿该方向的静止长度。4、 如果我们说，在一个惯性系中测得某两个事件的时间间隔是它的固有时间，这就意味着，在该惯性系中观测，这两个事件发生在同一地点；若在其他惯性系中观测，它们是发生在同一地点吗？时间间隔是长于还是短于固有时间？答：设两个事件在系中发生在同一空间地点，即、，在系中，这两个事件是发生在、。由于两个事件在系中是静止的，所以，两个事件的时间坐标之差就是固有时间根据罗伦兹变换，得到可见，在系中观测，这两件事发生在不同

10、地点。由于是固有时间，根据时间膨胀原理，固有时间最短，在其他惯性系中测量同样的两件事的时间间隔都比固有时间长。根据罗伦兹变换在系中观测，这两件事发生的时间间隔为5、如果、是在系中互为因果关系的两个事件（是的原因，先于发生）。问：是否能找到一个惯性系，在该系中测得先于发生，出现时间顺序颠倒的现象？答：不可能。设、在系中的时空坐标分别为、，在系中的时空坐标分别为。由罗伦兹变换，有可见，在的条件下，可能出现两种情况：（1）如果，则必有，即只要在系中测得先于发生，则在系中测得也是先于发生。（2）如果，则从数学上有可能。但这只是数学上的，在物理上是不可能的。如果物理上事件是事件原因，则处的影响必以某种物

11、质运动方式，以速度 （因为）传递到处，则根据狭义相对论的理论：，所以，因此，只要，必有。由此得出结论，互为因果关系的两事件，在任何惯性系中都不会出现时序颠倒的情况。这也说明，不会因为相对论效应，而改变客观事件的因果规律。或者说狭义相对论是自洽的。甚至可以说，只有在狭义相对论下，客观物质世界的因果关系才不会颠倒，狭义相对论是反映客观规律的正确理论。四、解题指导例1 两个惯性系、沿轴相对运动，当两坐标原点、重合时计时开始。若在系中测得某两个事件的时空坐标分别为，；，而在系中测得两个事件同时发生，试问：（1）系相对系的速度如何？（2）系中测得这两个事件的空间间隔是多少？解题分析：由于两个惯性系是相对

12、运动的，在两个坐标系中测得的同一事件的时空坐标不同。它们之间的关系由罗伦兹变换联系在一起。 两个事件在某坐标系中的时间的间隔，就是这两个事件在该坐标系中的时间坐标之差；两个事件在某坐标系中的空间的间隔，就是这两个事件在该坐标系中的空间坐标之差。解：（1）设系相对系的速度为，由罗伦兹变换，在系中测得两个事件的时间坐标分别为由题意，即这说明系沿系轴正方向运动。（2）设系中测得这两个事件的空间坐标分别为、，由罗伦兹变换，由于，得到系中测得这两个事件的空间间隔讨论：（1）这两个事件在系和系中都不是发生在同一地点，因此两个事件在系和系中的时间坐标之差都不是原时（固有时间）。无法应用时间膨胀的概念。（2）

13、这两个事件在系中的发生是静止的，所以这两个事件的空间坐标之差可以看作“原长”；这两个事件在系中虽然是运动的，但在系中这两个事件是同时发生的，因此在系中这两个事件的空间坐标之差可以看作测长。可以应用长度收缩的概念。（3）在系中同时发生的两个事件，由于发生的地点不同，则在另一个惯性系系中不是同时发生的。这就是“同时性的相对性”。例2 在惯性系系中，测得某两个事件发生在同一地点，时间间隔为；在另一个惯性系系中，测得这两个事件发生的时间间隔为。求在系中，这两个事件的空间间隔。解题分析：在同一地点先后发生两个事件的时间间隔为固有时间（原时），所以在系中测得的是固有时间。在另一个惯性系系中，这两个事件不可

14、能发生在同一地点，测得这两个事件发生的时间间隔为，是由于相对论时间膨胀效应的结果。解：由相对论时间膨胀效应，根据罗伦兹变换，在系中，测得这两个事件的空间坐标为由于在惯性系系中，这两个事件发生在同一地点，所以在系中，这两个事件的空间间隔为讨论：由于在系中，两个事件的空间坐标不是同时测量的，不是测长，无法应用长度收缩的概念。例3 一静止长度为的火箭，以速率相对地飞行，现自其尾端发射一个光信号。试根据罗伦兹变换计算，在地面系中观测，光信号自火箭尾端到前端所经历的位移、时间、速度。分析：设光信号自火箭尾端发射为“事件1”，光信号到达火箭前端为“事件2”。在火箭系（）中，测量火箭的长度是原长，光信号是以

15、传送的，所以，在系中，光信号自火箭尾端到前端所经历的时间为。解：根据罗伦兹变换，在地面系（）中，测得的光信号自火箭尾端到前端所经历的位移为在地面系（）中，测得的光信号自火箭尾端到前端所经历的时间为在地面系中观测，光信号自火箭尾端到前端的速度为讨论：（1）光信号在火箭系和地面系中的传递速率都为。这完全满足“光速不变原理”。（2）在火箭系（）中，光信号自火箭尾端发射的“事件1”，和光信号到达火箭前端的“事件2”不是发生在同一地点，因此，不是原时。例4 在地球月球系中测得地月距离为，一火箭以的速率沿着从地球到月球的方向飞行，先经过地球，后经过月球。问在地球月球系和火箭系中观测，火箭由地球飞向月球各需

16、多少时间？分析：在火箭看来，火箭与地球相遇和火箭与月球相遇这两件事是在同一地点发生的，这两件事的时间间隔是原时。可以用时间膨胀效应求解。解：设地月系为系，火箭与地球相遇为“事件1” ：，火箭与月球相遇为“事件2” ：。设火箭系为系，火箭与地球相遇为“事件1”：，火箭与月球相遇为“事件2”：。在系中，两个事件发生的空间间隔为所以，在系中，两个事件发生的时间间隔为由于在系中，两个事件是在同一地点发生的，所以，两个事件的时间间隔是原时。在系中，两个事件的时间间隔是测时。则讨论：也可以用罗伦兹变换和长度收缩效应求解。（1）用罗伦兹变换求解（2）用长度收缩效应求解在系中，地球和月球是“静止的”，它们之间

17、的距离是原长。而在系中，地球和月球是“运动的”，它们之间的距离是测长，则在系中（火箭），地球和月球运动速度也是，所以，系测得的时间间隔为例5 一静止面积为，面密度为的正方形板，当观测者以的速度沿其对角线运动。求（1）所测得图形的形状和面积；（2）面密度之比分析：该“正方形”也是沿着其对角线相对观测者运动的。长度收缩只发生在运动方向上，在垂直于运动方向上不发生长度收缩。因此，观测者测得的图形是一个菱形。 还要考虑到，观测者测得的“质量”是“运动质量“。解：（1）根据相对论长度收缩效应，观测者测得沿运动方向平行的对角线收缩为垂直于运动方向的对角线仍然为，所以，观测者测得图形的形状为菱形，面积为（2

18、）板的静止质量为板的运动质量为所以，观测者测得的面密度为例6 离地面的高空大气中，产生一介子，以速度飞向地球。假定介子在自身参照系中的平均寿命为，根据相对论理论，试问：（1）地球上的观测者判断介子能否到达地球？（2）与介子一起运动的参照系中观测者的判断结果又如何？解：（1）介子在自身参照系中是静止的，因此，在介子自身参照系中，介子的产生和消失这两个事件的时间间隔（平均寿命），是固有时间。地球上的观测者，由于时间膨胀效应，测得介子的平均寿命为即在地球上的观测者看来，介子一生可以飞行的距离为所以判断介子能够到达地球。（2）在与介子一起运动的参照系中，介子是静止的，但地球以速率接近介子。从地面到介子

19、产生处为是在地球上测得的。由于空间收缩效应，在与介子一起运动的参照系中，这段距离应为在与介子一起运动的参照系中，在其一生地球的行程为所以判断地球能够在介子消失前赶到，即介子能够到达地球。讨论：实际上，介子能够到达地球，这是客观事实，不会因为参考系的不同而改变。例7 把静止质量为的电子从的速度加速到，需要的能量是多少？这时电子的质量增加了多少？分析：高速运动的电子，必须要考虑相对论效应。高速运动的电子的动能是其运动能量与电子的静止能量之差。解：加速电子所需要的能量，等于电子动能的增加即需要对电子做的功。讨论：如果把电子从的速度加速到，可以计算，需要做的功。可见，电子的速度越高，加速越困难。尤其是

20、在接近光速时，加速电子需要付出巨大的能量。实际上，不可能将电子加速到光速。例8 求一个质子和一个中子结合成一个氘核时放出的能量。已知它们的静止质量分别为质子 中子 氘核 分析：核反应前后有静止质量亏损，与静止质量亏损对应的是静止能量亏损，也就是一次核反应所释放的能量。解：例9 太阳的辐射能来自其内部的核聚变反应。太阳每秒钟向周围空间辐射出的能量约为，由于这个原因，太阳每秒钟减少多少质量？解：太阳每秒钟减少多少质量为 讨论：太阳每秒钟燃烧月吨。太阳目前的质量约为。如果太阳质量全部燃烧，还能燃烧 这相当于10000亿年（每年约秒）。当然，太阳的寿命计算，不会全部燃烧。例10 氢弹利用了聚变反应，在该反应中，各氢原子核的中子聚变成质量较大的核，每用氢，约损失静止质量。求在这种反应中释放出来的能量与同量的氢燃烧成水时释放出来的能量的比值。已知氢被燃烧时，氢释放的能量。解：每用氢释放出来的能量为与同量的氢燃烧成水时释放出来的能量的比值为