工程数学-线性代数（第五版）（同济）释疑解难.pdf

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1、释释 疑疑 解解 难难 答答 矩阵是线性代数中最重要的部分矩阵是线性代数中最重要的部分,它是线它是线性代数的有力工具性代数的有力工具. 它是根据实际需要提出的它是根据实际需要提出的, 大大量的问题借助它可以得到解决量的问题借助它可以得到解决. 譬如譬如, 一般线性方一般线性方程组有解的充要条件是用矩阵的秩表示的程组有解的充要条件是用矩阵的秩表示的; 作为作为解线性方程组基础的克拉默法则也可以用矩阵运解线性方程组基础的克拉默法则也可以用矩阵运算导出算导出. 二次型的研究可以转化为对称矩阵的研二次型的研究可以转化为对称矩阵的研1. 为什么要研究矩阵为什么要研究矩阵?究究; 化二次型为标准形化二次型

2、为标准形,实际上就是化对称矩阵为合实际上就是化对称矩阵为合同对角形与合同标准形同对角形与合同标准形; 线性变换可以用矩阵来表线性变换可以用矩阵来表示示, 从而把线性变换的研究转化为矩阵的研究从而把线性变换的研究转化为矩阵的研究. 矩阵运算的实质矩阵运算的实质, 是把它当做一个是把它当做一个“量量”来进来进行行运算运算, 因而使得运算得到大大简化因而使得运算得到大大简化. 2. 2. 任何两个矩阵任何两个矩阵任何两个矩阵任何两个矩阵 A A，B B 都能进行加都能进行加都能进行加都能进行加( (减减减减) )和相和相和相和相乘运算吗乘运算吗乘运算吗乘运算吗? ? 答答答答 不不是是. (1) 只

3、只有有当当 A, B 为为同同型型矩矩阵阵时时, 才才能能进进行行加加(减减)运运算算. (2) 只只有有当当第第一一个个矩矩阵阵 A 的的列列数数与与第第二二个个矩矩阵阵 B 的的行行数数相相同同时时, A 与与 B 才才能能相相乘乘, 这这时时 AB 才存在才存在. 3. 两个矩阵两个矩阵 A，B 相乘时相乘时, AB = BA 吗吗? |AB| = |BA| 吗吗? 答答 AB 不不一一定定等等于于 BA. 若若要要 AB = BA , 首首先先要要使使 AB 和和 BA 都都存存在在,此此时时A，应应为为同同阶阶方方阵阵. 其其次次矩矩阵阵的的乘乘法法不不满满足足交交换换律律. 在在一

4、一般般情情况况下下, AB B A . 但但对对同同阶阶方方阵阵 A，B , | |A B| | = | |BA| | 是是一一定定成成立立的的. 因因为为对对于于数数的的运运算算, 交交换换律律是成立的是成立的, 即即 | |AB| | = | |A| | |B | | = | |B| | |A| | = | |BA| | . 4. 若若 AB = AC 能推出能推出 B = C 吗吗? 答答 不能不能. 因为矩阵的乘法不满足消去律因为矩阵的乘法不满足消去律. 例如例如则则 AB = AC , 但但 B C. 5. 非零矩阵相乘时非零矩阵相乘时, 结果一定不是零矩结果一定不是零矩阵吗阵吗?

5、答答 非零矩阵相乘的结果可能是零矩阵非零矩阵相乘的结果可能是零矩阵. 例如例如但但又如又如但但 6. 设设 A 与与 B 为为 n 阶方阵阶方阵, 问等式问等式 A2 - - B2 = (A + B)(A - - B)成立的充要条件是什么？成立的充要条件是什么？ 答答 A2 - - B2 = (A + B)(A - - B) 成立的充要条件成立的充要条件是是 AB = BA . 事实上，由于事实上，由于 (A + B)(A - - B) = A2 + BA - - AB - - B2,故故 A2 - - B2 = (A + B)(A - - B) 当且仅当当且仅当 BA - - AB = O，

6、即即 AB = BA. 7. 设设 A，B，C 是与是与E 同阶的方阵同阶的方阵, 其其中中 E 是单位矩阵是单位矩阵. 若若 ABC = E，问：问：BCA = E，ACB = E，CAB =E，BAC = E，CBA = E 中哪些总是成立的？哪些却不一定成立？中哪些总是成立的？哪些却不一定成立？ 答答 由于由于 ABC =E，说明说明 BC 是是 A 的逆矩阵，的逆矩阵，AB 是是 C 的逆矩阵，由于任何方阵与其逆矩阵相乘的逆矩阵，由于任何方阵与其逆矩阵相乘可交换，故总有可交换，故总有 BCA =E ，CAB =E成立成立. 而其他的等式不一定成立而其他的等式不一定成立. 8. 设方阵设

7、方阵 A 满足满足ax2 + bx + c = 0 (c 0), 即有即有aA2 + bA + cE = O . 问：问：A 可逆吗？若可逆吗？若可逆求可逆求 A- -1 . 答答 由由 aA2 + bA + cE = O 及及 c 0，可得，可得从而从而 A 为可逆方阵，而且为可逆方阵，而且 9. 如果一个方阵的逆矩阵存在，求它的如果一个方阵的逆矩阵存在，求它的逆矩阵都有些什么方法？逆矩阵都有些什么方法？ 答答 可以利用伴随矩阵法，即可以利用伴随矩阵法，即还可以利用分块矩阵法求逆；利用解方程组的方还可以利用分块矩阵法求逆；利用解方程组的方法求逆；利用矩阵的初等行变换法求逆等法求逆；利用矩阵的

8、初等行变换法求逆等. 10. 有没有不是方阵的矩阵有没有不是方阵的矩阵 A，B，满足满足 AB = E？ 答答 有有. 例如例如则则 11. 是否存在是否存在 n 阶方阵阶方阵 A 和和 B ，能使，能使 AB - - BA = E ？ 答答 没有没有. 设设 A = (aij) , B = (bij) 为任意两为任意两个个 n 阶方阵，则阶方阵，则 AB 主对角线上的元素为主对角线上的元素为它们的和为它们的和为 同样，同样，BA 的主对角线上的元素的和为的主对角线上的元素的和为这说明这说明 AB 与与 BA 的主对角线上的元素的和相等，的主对角线上的元素的和相等，从而从而 AB - - BA

9、 的主对角线上的元素的和为零的主对角线上的元素的和为零. 但但是，单位矩阵是，单位矩阵 E 的主对角线上元素的和为的主对角线上元素的和为 n 0, 故对任意故对任意 的同阶方阵的同阶方阵 A，B ，都有都有 AB - -BA E. 12. 若若 A 可逆，那么矩阵方程可逆，那么矩阵方程 AX = B 是否有唯一解是否有唯一解 X = A- -1B？矩阵方程矩阵方程 YA = B 是否有唯一解是否有唯一解Y = BA- -1？ 答答 是的是的. 这是由于这是由于 A- -1 的唯一性决定的的唯一性决定的. 13. 矩阵矩阵 A 的伴随矩阵的伴随矩阵 A 有什么特点？有什么特点？ 答答 有两个特点

10、，一是元素是由有两个特点，一是元素是由 aij 的代数余的代数余子式子式 Aij 所构成；二是所构成；二是 A 的第的第 i 行的元素行的元素 aij 的代的代数余子式数余子式 Aij 写在写在 A 的第的第 i 列，即列，即本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮

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