工程数学-线性代数（第五版）（同济）知识要点 (5).pdf

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1、知知 识识 要要 点点 一、内容提要一、内容提要 1. 向量的内积向量的内积 (1) 定义定义1 设有设有 n 维向量维向量 x = (x1 , x2 , , xn)T , y = (y1 , y2 , , yn)T, 令令 x, y = x1y1 + x2y2 + + xnyn 称为称为向量向量 x 与与 y 的内积的内积. 内积满足下列运算规律内积满足下列运算规律内积满足下列运算规律内积满足下列运算规律: : ( (i) i) x, y = y, x; (ii)(ii) x, y = x, y; (iii)(iii) x + y, z = x,z + y,z. ( (2)2) 定义定义 2

2、 称为称为 n 维向量维向量 x 的的长度长度长度长度(或或范数范数范数范数). 向量长度具有下列性质向量长度具有下列性质向量长度具有下列性质向量长度具有下列性质: : ( (i) i) 非负性非负性非负性非负性: : 当当 x 0 时时 , | x | 0 ; 当当 x = 0 时时, | x | = 0. (ii)(ii) 齐次性齐次性齐次性齐次性: : | x| = | | x |; (iii)(iii) 三角不等式三角不等式三角不等式三角不等式: : | x + y | | x | + | y | . 向量内积满足施瓦茨不等式向量内积满足施瓦茨不等式向量内积满足施瓦茨不等式向量内积满足

3、施瓦茨不等式: : x, y2 x, xy, y. 称为称为 n n 维向量维向量维向量维向量 x x 与与与与 y y 的夹角的夹角的夹角的夹角. 当当 x, y = 0 时时, 称称向向向向量量量量 x x 与与与与 y y 正交正交正交正交.(3)(3) 当当 | x | 0, | y | 0 时时, (4) 正交向量组的性质正交向量组的性质 若若 n 维向量维向量 a1, a2, , ar 是一组两两正交是一组两两正交的的非零向量组非零向量组, 则则 (i)(i) a1 , a2 , , ar 必必线性无关线性无关;(i (ii) i) (5) 定义定义 3 设设 n 维向量维向量 e

4、1 , e2 , , er 是是向向量空间量空间 V(V Rn) 的一个基的一个基, 如果如果 e1 , e2 , , er 两两两正交两正交, 且都是单位向量且都是单位向量, 则称则称 e1 , e2 , , er 是是 V 的一个的一个规范正交基规范正交基规范正交基规范正交基. . (6) 施密特施密特 (Schmidt) 正交化过程正交化过程 从线性无关向量组从线性无关向量组 a1 , a2 , , ar 导导出与之出与之等等价的正交向量组价的正交向量组 b1 , b2 , , br 的过程称为的过程称为施密施密施密施密特特特特正交化过程正交化过程正交化过程正交化过程 若若 a1 , a

5、2 , , ar 是是向量空间向量空间 的一组基，的一组基，通过正交化通过正交化, 单位化单位化, 都可以找到与之等价的一都可以找到与之等价的一组组规范正交基规范正交基 e1, e2 , , er , 称为把称为把 a1 , a2 , , ar 这个基这个基规范正交化规范正交化规范正交化规范正交化. (7) 定义定义 4 若若 n 阶方阵阶方阵 A 满足满足 ATA = E ( 即即 A- -1 = AT), 则称则称 A A 为正交矩阵为正交矩阵为正交矩阵为正交矩阵. A = (aij)nn 为正交矩阵的充要条件是为正交矩阵的充要条件是或或 (8) 定义定义 5 若若 P 为正交矩阵为正交矩

6、阵, 则线性变换则线性变换 y = Px 称为称为正交变换正交变换正交变换正交变换. 正交变换具有保持向量长度不变的优良性质正交变换具有保持向量长度不变的优良性质. 2. 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量 (1) 定义定义 6 设设 A 是是 n 阶方阵阶方阵, 如果数如果数 和和 n 维非零列向量维非零列向量 x 使关系式使关系式 Ax = x成立成立, 那么那么, 数数数数 称为方阵称为方阵称为方阵称为方阵 A A 的特征值的特征值的特征值的特征值, 非零列向非零列向量量x x 称为称为称为称为 A A 的对应于特征值的对应于特征值的对应于特征值的对应于特征值 的特征向量的特征

7、向量的特征向量的特征向量. | A - - E | = 0 称为方阵称为方阵 A 的的特征方程特征方程特征方程特征方程, f( ) = | A - - E | 称为方阵称为方阵 A 的的特征多项式特征多项式特征多项式特征多项式. n 阶方阵阶方阵 A 有有 n 个特征值个特征值. 若若 A = (aij) 的特的特征值为征值为 1 , 2 , , n , 则有则有 ( (i) i) 1 + 2 + + n = a11 + a22 + + ann ; (ii)(ii) 1 2 n = |A| . (2) 有关特征值的一些结论有关特征值的一些结论 设设 是是 A = (aij)nn 的特征值的特征

8、值, 则则 ( (i) i) 也是也是 AT 的特征值的特征值. (ii)(ii) k 是是 Ak 的特征值的特征值(k 为任意自然数为任意自然数) ; 是是 A 的特征值的特征值. 其中其中 = a0 + a1 + + amm , A = a0 E+ a1A + + amAm . (iii)(iii) 当当 A 可逆时可逆时, 1/ 是是 A- -1 的特征值的特征值; |A|/ 是是 A 的特征值的特征值. (3) 有关特征向量的一些结论有关特征向量的一些结论 (i)(i) 对应于不同特征值的特征向量是线性无对应于不同特征值的特征向量是线性无关的关的. ( (ii)ii) 对应于同一个特征

9、值的特征向量的非零对应于同一个特征值的特征向量的非零线性组合仍是该特征值的特征向量线性组合仍是该特征值的特征向量. 3. 相似矩阵相似矩阵 (1) 定义定义 7 设设 A，B 都是都是 n 阶方阵阶方阵,若有若有可可逆矩阵逆矩阵 P , 使使 P- -1AP = B ,则称则称 B 是是 A 的的相似矩阵相似矩阵相似矩阵相似矩阵, 或说或说矩阵矩阵矩阵矩阵 A A 与与与与 B B 相似相似相似相似. 相似关系的性质相似关系的性质: ( (i) i) 自反性自反性自反性自反性: 矩阵矩阵 A 与自身相似与自身相似 ; (ii)(ii) 对称性对称性对称性对称性: 若矩阵若矩阵 A 与与 B 相

10、似相似, 则矩阵则矩阵 B 与与 A 也相似；也相似； (iii)(iii) 传递性传递性传递性传递性: 若矩阵若矩阵 A 与与 B 相似相似, 矩阵矩阵 B 与与 C 相似相似, 则则矩阵矩阵 A 与与 C 相似相似. (2) 有关相似矩阵的性质有关相似矩阵的性质 ( (i) i) 若矩阵若矩阵 A 与与 B 相似相似, 则则 A 与与 B 的特征的特征多多项式相同项式相同, 从而从而 A 与与 B 的特征值亦相同的特征值亦相同. ( (ii)ii) 若若矩阵矩阵 A 与与相似，则相似，则 1 , 2 , , n 是是 A 的的 n 个特征值个特征值. (iii)(iii) 若若 A = P

11、BP- -1 , 则则 Ak = PBkP- -1 ; (A) = P (B)P- -1 . 特别地特别地, 若有可逆矩阵若有可逆矩阵 P , 使使 P- -1AP = 为为对对角矩阵角矩阵, 则有则有 Ak = P kP- -1 ; (A) = P ( )P- -1 . (3) Ann 的对角化的对角化 (i)(i) A 能对角化的充要条件是能对角化的充要条件是 A 有有 n 个线个线性性无关的特征向量无关的特征向量. (ii)(ii) 若若 A 有有 n 个互异的特征值个互异的特征值, 则则 A 与对与对角角矩阵相似矩阵相似 , 即即 A 可对角化可对角化. 4. 实对称矩阵的相似矩阵实对

12、称矩阵的相似矩阵 (1)(1) 实对称矩阵的特征值为实数实对称矩阵的特征值为实数. (2)(2) 实对称矩阵的对应于不同特征值的特征实对称矩阵的对应于不同特征值的特征向量必正交向量必正交. (3)(3) 若若 是实对称矩阵是实对称矩阵 A 的的 r 重特征值重特征值, 则则对应于对应于 的特征向量必有的特征向量必有 r 个个, 且它们线性无关且它们线性无关. (4)(4) 实对称矩阵必可对角化实对称矩阵必可对角化. 即若即若 A 为为 n 阶阶实对称矩阵实对称矩阵, 则必有正交矩阵则必有正交矩阵 P, 使得使得 P- -1AP = ,其中其中 是以是以 A 的的n个特征值为对角元素的对角矩个特

13、征值为对角元素的对角矩阵阵. 5. 二次型及其标准形二次型及其标准形 (1) 定义定义 8 含有含有 n 个变量个变量 x1 , x2 , , xn 的的二次齐次函数二次齐次函数 f(x1 , x2 , , xn ) = a11x12 + a22x22 + +annxn2 + 2a12x1x2 + 2a13x1x3 + + 2an- -1,nxn- -1xn 称为称为二次型二次型二次型二次型. 二次型可记为二次型可记为 f = xTAx, 其中其中 AT = A. A 称为称为二次型二次型二次型二次型 f f 的矩阵的矩阵的矩阵的矩阵, f 称为对称矩阵称为对称矩阵称为对称矩阵称为对称矩阵 A

14、 A 的二次型的二次型的二次型的二次型. 对对称矩阵称矩阵 A 的秩称为的秩称为二次型二次型二次型二次型 f f 的秩的秩的秩的秩. 二次型与它的矩阵是一一对应的二次型与它的矩阵是一一对应的. 当当 aij 是复数时是复数时, f 称为称为复二次型复二次型复二次型复二次型;当当 aij 是实数是实数时时, f 称为称为实二次型实二次型实二次型实二次型. 我们只讨论实二次型我们只讨论实二次型. (2) 只含平方项的二次型只含平方项的二次型, 称为二次型的称为二次型的标标标标准形准形准形准形( (或法式或法式或法式或法式) ). (3) 化二次型为标准形化二次型为标准形 (i) 任给可逆矩阵任给可

15、逆矩阵C, 令令 B = CTAC,如果如果 A 为为对称矩阵对称矩阵, 则则 B 亦为对称矩阵亦为对称矩阵, 且且 R(B) = R(A). ( (ii)ii) 任给实二次任给实二次型型总有正交变换总有正交变换 x = Py, 使使 f 化为标准形化为标准形 f = 1y12 + 2y22 + + nyn2 ,其中其中 1, 2 , , n 是是 f 的矩阵的矩阵 A = (aij)nn 的特的特征值征值. ( (iii)iii) 拉格朗日配方法亦可把二次型化为标拉格朗日配方法亦可把二次型化为标准准形形, 此时所用的可逆变换一般而言不是正交变换此时所用的可逆变换一般而言不是正交变换. 6.

16、正定二次型正定二次型 (1) 定义定义 9 设有实二次型设有实二次型 f(x) = xTAx,如如果对任何果对任何 x 0, 都有都有 f(x) 0 (显然显然 f(0) = 0), 则称则称 f 为为正定二次型正定二次型正定二次型正定二次型, 并称对称矩阵并称对称矩阵 A A 是正定的是正定的是正定的是正定的, 记记作作A 0 ; 如果对任何如果对任何 x 0 都有都有 f(x) 0, 则称则称 f 为为负定二次型负定二次型负定二次型负定二次型, 并称对称矩阵并称对称矩阵 A A 是负定的是负定的是负定的是负定的, 记作记作 A 0. (2) 惯性定理惯性定理 设有实二次型设有实二次型 f

17、= xTAx, 它的秩为它的秩为 r , 有两个有两个实的可逆变换实的可逆变换 x = Cy 及及 x = Pz ,使得使得 f = k1y12 + k2y22 + + kryr2 ,及及 f = 1y12 + 2y22 + + ryr2 ,则则 k1 , k2 , , kr 中正数的个数中正数的个数 p 与与 1 , 2 , , r中正数的个数相等中正数的个数相等. p 称为称为正惯性指数正惯性指数正惯性指数正惯性指数; r - - p = N 称为称为负惯性指数负惯性指数负惯性指数负惯性指数; s = p - - N = 2p - - r 称为称为 f 的符号的符号差差. (3) 正定二次

18、型的判定正定二次型的判定 n n 阶实对称矩阵阶实对称矩阵阶实对称矩阵阶实对称矩阵 A A 为正定的充要条件有为正定的充要条件有为正定的充要条件有为正定的充要条件有: ( (i) i) p = n; (ii)(ii) A 的特征值全为正的特征值全为正; ( (iii)iii) A 的各阶主子式都为正的各阶主子式都为正, 即即 基本要求基本要求 1. 1. 理解向量的内积、范数、正交矩阵的概理解向量的内积、范数、正交矩阵的概念念, 掌握施密特掌握施密特(Schmidt)正交化方法正交化方法. 2. 2. 掌握矩阵的特征值、特征向量的概念掌握矩阵的特征值、特征向量的概念,熟熟练掌握求矩阵特征值与特

19、征向量的方法练掌握求矩阵特征值与特征向量的方法. 3. 3. 掌握矩阵与对角矩阵相似的充要条件掌握矩阵与对角矩阵相似的充要条件, 了解任意实对称矩阵都能对角化了解任意实对称矩阵都能对角化. 二、基本要求与重点、难点二、基本要求与重点、难点 4. 4. 掌握实二次型的矩阵表示法，能熟练地掌握实二次型的矩阵表示法，能熟练地用正交变换用正交变换(或用非退化线性变换或用非退化线性变换)化实二次型为化实二次型为标准形标准形. 5. 5. 掌握正定二次型、正定矩阵的概念，能掌握正定二次型、正定矩阵的概念，能判定正定二次型判定正定二次型. 重点重点 特征值与特征向量的概念与求法特征值与特征向量的概念与求法;

20、 矩矩阵与对角矩阵相似的条件及把矩阵化为相似对角阵与对角矩阵相似的条件及把矩阵化为相似对角矩阵的方法；化二次型为标准形；正定二次型的矩阵的方法；化二次型为标准形；正定二次型的判定判定. 难点难点 化矩阵为相似对角矩阵的方法；惯化矩阵为相似对角矩阵的方法；惯性定理性定理.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若

21、想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击

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23、束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.