工程数学-线性代数（第五版）（同济）释疑解难 (5).pdf

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1、 释释释释 疑疑疑疑 解解解解 难难难难 1 1. . . .计算计算计算计算 n n 元排列的逆序数常用的方法有哪些元排列的逆序数常用的方法有哪些元排列的逆序数常用的方法有哪些元排列的逆序数常用的方法有哪些? ? 答答答答 常用的方法有常用的方法有: : （1 1）分别算出排在分别算出排在1, ,2, , , ,n- -1, ,n 前面比它大前面比它大的元素个数之和的元素个数之和, , 即分别算出即分别算出 1, ,2, , , ,n- -1, ,n 这这 n 个元素的逆序数个元素的逆序数, , 这这 n 个元素的逆序数之和即为个元素的逆序数之和即为所求排列的逆序数所求排列的逆序数. . （

2、2 2）分别算出排列中每个元素前面比它大的分别算出排列中每个元素前面比它大的元素个数之和元素个数之和, ,即算出排列中每个元素的逆序数即算出排列中每个元素的逆序数, ,它们之和即为所求排列的逆序数它们之和即为所求排列的逆序数. . （3 3）如果在不要求计算排列的逆序数而只要如果在不要求计算排列的逆序数而只要求讨论排列的奇偶性时，则可以利用对换，将所求讨论排列的奇偶性时，则可以利用对换，将所给排列给排列 p1p2 pn 变成自然排列变成自然排列 12 n , 根据对换根据对换次次数的奇数的奇偶性来确定所给排列的奇偶性偶性来确定所给排列的奇偶性. . 如排列如排列 523146879 , 对换对

3、换1 与与 5 , 得得 123546879 , 再对换再对换 4 与与 5 , 得得 123456879 ,再对换再对换 7 与与 8 , 得得 123456789 . 共对换共对换 三三次次, , 故所给排列为奇排列故所给排列为奇排列. 2. . 行列式有哪些常用公式行列式有哪些常用公式? ? 答答 常用公式有常用公式有: : （1 1）范德蒙德行列式范德蒙德行列式, , 即即 （1 1）三角形行列式三角形行列式, , 即即(上三角形上三角形上三角形上三角形)，(下三角形下三角形下三角形下三角形)， 3. . 计算行列式的方法有哪些计算行列式的方法有哪些? ? 答答 计算行列式的方法通常有

4、计算行列式的方法通常有: : （1 1）依定义计算行列式依定义计算行列式. . （2 2）用对角线法计算行列式用对角线法计算行列式, ,它只适用于二它只适用于二阶和三阶行列式阶和三阶行列式. . （3 3）利用一些简单的、已知的行列式来计算利用一些简单的、已知的行列式来计算行列式例如，利用三角形行列式；一行（列）行列式例如，利用三角形行列式；一行（列）全为零的行列式；两行（列）成比例的行列式；全为零的行列式；两行（列）成比例的行列式；范德蒙德行列式等范德蒙德行列式等 （）（）（）（）利用行列式的性质对行列式进行变形，利用行列式的性质对行列式进行变形，变成已知的或容易计算的行列式变成已知的或容易

5、计算的行列式 （）（）（）（）利用按行（列）展开的性质对行列式进利用按行（列）展开的性质对行列式进行降阶来计算行列式行降阶来计算行列式 （）（）（）（）用数学归纳法计算行列式用数学归纳法计算行列式 （）（）（）（）综合运用上述各种方法来计算行列式综合运用上述各种方法来计算行列式其中其中 （）、（）、（）、（）、（）（）、（）、（）、（）、（）最常用最常用 二阶和三阶行列式的计算可按对角二阶和三阶行列式的计算可按对角线法则进行，为什么线法则进行，为什么 n（n）阶行列式阶行列式没有类似的法则？没有类似的法则？ 答答 对于四阶行列式，如果按对角线法则，对于四阶行列式，如果按对角线法则，那么只能写出

6、八项，然而依定义，四阶行列式共那么只能写出八项，然而依定义，四阶行列式共有！项，另外，这样写出的项的符号也有！项，另外，这样写出的项的符号也不一定正确因此，在计算不一定正确因此，在计算 n （n）阶行列阶行列式时，不能再用对角线法则式时，不能再用对角线法则 计算行列式时利用行列式的性质很计算行列式时利用行列式的性质很重要，试进一步加以说明重要，试进一步加以说明 答答 计算行列式应根据具体情况具体分析，计算行列式应根据具体情况具体分析，但总的原则是利用行列式的性质将所给行列式化但总的原则是利用行列式的性质将所给行列式化成简单的、已知的或容易计算的行列式下面列成简单的、已知的或容易计算的行列式下面

7、列举几个常用的情况举几个常用的情况 （）将行列式各行（列）分别乘以一个数（）将行列式各行（列）分别乘以一个数（）将行列式各行（列）分别乘以一个数（）将行列式各行（列）分别乘以一个数统统加到某一行（列）上去统统加到某一行（列）上去统统加到某一行（列）上去统统加到某一行（列）上去比如爪形行列式比如爪形行列式比如爪形行列式比如爪形行列式： 将第将第 i 列的列的 ( (- -bi/ /ai) )倍倍 ( (i = = 2, 3, , n) ) 统统加统统加到第列，得到第列，得爪形行列式爪形行列式爪形行列式爪形行列式(ai 0,i=2,3, ,n) .其中其中所以所以 Dn = c1a2 an .已化

8、为三已化为三已化为三已化为三角形行列式角形行列式角形行列式角形行列式 （2 2）逐行（列）相加减）逐行（列）相加减）逐行（列）相加减）逐行（列）相加减. . . . 比如计算比如计算比如计算比如计算从第从第 n- -1 行直到第行直到第 1 行行, , 每一行乘以每一行乘以 - -1 加加到下一行到下一行, ,得得次对角线以下次对角线以下次对角线以下次对角线以下的元素全为零的元素全为零的元素全为零的元素全为零 （3）加边法）加边法. . 此法大多适用于某一此法大多适用于某一行行（列列）有一个相同的字母有一个相同的字母. . 比如计算比如计算添加一行一列添加一行一列, , 得得将第将第1行的行的

9、 - -1 倍加到其他各行倍加到其他各行, , 得爪形行列式得爪形行列式 由爪形行列式的结果知由爪形行列式的结果知, , 当当 m = = 0 时时, , Dn = = 0 ; 当当 m 0 时时, , Dn = mn- -2 (m + a1 + a2 + + an) . （4 4 4 4）将某一行（列）的倍数分别加到其他行）将某一行（列）的倍数分别加到其他行）将某一行（列）的倍数分别加到其他行）将某一行（列）的倍数分别加到其他行（列）（列）（列）（列）. . . .这一步骤前面已经用过，不再举例这一步骤前面已经用过，不再举例这一步骤前面已经用过，不再举例这一步骤前面已经用过，不再举例. .

10、. . （5 5 5 5）按某一行（列）展开）按某一行（列）展开）按某一行（列）展开）按某一行（列）展开. . . . 比如计算比如计算比如计算比如计算从第从第2行开始行开始, , 每行乘以每行乘以 - -1 加到上一行加到上一行, , 得得按第按第1列展开列展开, , 得得再从第再从第2行开始行开始, , 每行乘以每行乘以 - -1 加到上一行加到上一行, , 得得本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本

11、堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮

12、请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内

13、容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.