线性代数及其应用电子智能电子教案第0章.pdf

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1、第第0 0章章 线性方程组的研究线性方程组的研究线性方程组是线性代数的核心，本书以线性方程线性方程组是线性代数的核心，本书以线性方程组为主线引出线性代数中的主要内容组为主线引出线性代数中的主要内容 本章通过几个本章通过几个题，后面各章的内容都是为解决这些问题而展开的题，后面各章的内容都是为解决这些问题而展开的简单的例子引出在研究线性方程组时需解决的主要问简单的例子引出在研究线性方程组时需解决的主要问还有什么内容值得进一步研究呢？还有什么内容值得进一步研究呢？在中学阶段，我们会用加减消元法或代入消元法在中学阶段，我们会用加减消元法或代入消元法解二元、三元甚至四元线性方程组，解二元、三元甚至四元线

2、性方程组，那么线性方程组那么线性方程组为此，我们先看几为此，我们先看几个例子个例子例例1 求解二元线性方程组求解二元线性方程组第一个方程的第一个方程的-3倍加到第二个方程，倍加到第二个方程，组变为组变为原方程原方程第二个方程两边除以第二个方程两边除以10，得，得解解即该方程组有唯一解即该方程组有唯一解将第二个方程代入第一个方程并化简，即得方程组将第二个方程代入第一个方程并化简，即得方程组的解的解其几何意义如图其几何意义如图0-1所示所示例例2 求解二元线性方程组求解二元线性方程组解解第一个方程加到第第一个方程加到第解，解，该方程组中的第二个方程为一个恒等式，即满足第一该方程组中的第二个方程为一

3、个恒等式，即满足第一个方程的解即为方程组的解，个方程的解即为方程组的解，而第一个方程有无穷多而第一个方程有无穷多故原方程组有无穷多解故原方程组有无穷多解二个方程得二个方程得其几何意义如图其几何意义如图0-2所示所示例例3 求解二元线性方程组求解二元线性方程组第二个方程减去第第二个方程减去第解解论论 x1, x2 取何值，第二个方程总不成立，取何值，第二个方程总不成立，该方程组中的第二个方程为一个矛盾的方程，即不该方程组中的第二个方程为一个矛盾的方程，即不无解无解故原方程组故原方程组其几何意义如图其几何意义如图0-3所示所示一个方程得一个方程得这将在第这将在第3章中证明章中证明例例1、例、例2和

4、例和例3说明线性方程组的下列一般事实，说明线性方程组的下列一般事实，例例4 求解三元线性方程组求解三元线性方程组解解的解的解这是一个有这是一个有3个未知量个未知量4个方程的线性方程组，个方程的线性方程组，首先我们来讨论一下该方程组中有没有多余的方程，首先我们来讨论一下该方程组中有没有多余的方程，所谓多余的方程是指去掉该方程以后不影响原方程组所谓多余的方程是指去掉该方程以后不影响原方程组 = 2 + ， = -1 + ，组的保留方程组为组的保留方程组为这就是说，满足方程这就是说，满足方程和方程和方程的解一定满足方程的解一定满足方程和方程和方程，即原方程组的解完全由方程即原方程组的解完全由方程和方

5、程和方程确确定，定，因此，方程因此，方程和方程和方程是多余的方程，去掉它们是多余的方程，去掉它们后不影响方程组的解后不影响方程组的解 去掉所有多余方程后所得的去掉所有多余方程后所得的方程组与原方程组同解，称之为方程组与原方程组同解，称之为保留方程组保留方程组保留方程组保留方程组原方程原方程保留方程组是一个有保留方程组是一个有3个未知量个未知量2个有效方程的方程个有效方程的方程组，应有一个自由未知量，选组，应有一个自由未知量，选x3为自由未知量（在本为自由未知量（在本例中，例中，3个未知量都可作为自由未知量，但要注意的个未知量都可作为自由未知量，但要注意的是，在某些情况下，有的未知量不能作为自由

6、未知是，在某些情况下，有的未知量不能作为自由未知量），并把自由未知量移到右边，得量），并把自由未知量移到右边，得令令 x3 = c（任意常数），有任意常数），有这是一个有这是一个有2个未知量个未知量2个方程的方程组，用例个方程的方程组，用例1的方的方法，可求得其解为法，可求得其解为则原方程组的解为则原方程组的解为由于由于c c可任意取值，故原方程组有无穷多解可任意取值，故原方程组有无穷多解（c 任意常数）任意常数）例例5 求解三元线性方程组求解三元线性方程组解解程，因而保留方程组为程，因而保留方程组为 该方程组与例该方程组与例4中的方程组的前三个方程完全中的方程组的前三个方程完全相同，因此方程

7、相同，因此方程是多余的，但方程是多余的，但方程不能由方程不能由方程和方程和方程通过运算得到，所以方程通过运算得到，所以方程不是多余的方不是多余的方这是一个矛盾的方程，所以方程组无解这是一个矛盾的方程，所以方程组无解在保留方程组中，把第一个方程和第二个方程的（在保留方程组中，把第一个方程和第二个方程的（-1）倍都加到第三个方程上去，则第三个方程变为倍都加到第三个方程上去，则第三个方程变为0 = 7，例例1例例5所用的求解方法适用于任意线性方程组，所用的求解方法适用于任意线性方程组，这种求解方法可归纳成以下三步这种求解方法可归纳成以下三步:第一步，求保留方程组；第一步，求保留方程组；第一步，求保留

8、方程组；第一步，求保留方程组；第二步，判别保留方程组是否有解；第二步，判别保留方程组是否有解；第二步，判别保留方程组是否有解；第二步，判别保留方程组是否有解；第三步，当保留方程组有解时，求出它的所有解第三步，当保留方程组有解时，求出它的所有解第三步，当保留方程组有解时，求出它的所有解第三步，当保留方程组有解时，求出它的所有解从上面的解法中，自然会提出以下一些问题：从上面的解法中，自然会提出以下一些问题：问题的研究就变得尤为重要了问题的研究就变得尤为重要了 当方程组中未知量和方程的个数都较小时，如例当方程组中未知量和方程的个数都较小时，如例1例例5，这三个问题很容易解决，但当问题的规模很大，这三

9、个问题很容易解决，但当问题的规模很大时，即未知量和方程的个数都很大时，解决这些问题时，即未知量和方程的个数都很大时，解决这些问题就变得非常复杂就变得非常复杂而在工程技术领域，我们碰到的线而在工程技术领域，我们碰到的线性方程组往往有成百上千个未知量和方程，因此这些性方程组往往有成百上千个未知量和方程，因此这些本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已

10、结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课

11、若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单

12、击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.本节内容已结束本节内容已结束 !若想结束本堂课若想结束本堂课, 请单击返回按钮请单击返回按钮.