数值积分方法PPT课件.ppt

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1、关于数值积分方法关于数值积分方法第一张，PPT共三十六页，创作于2022年6月abf(x)数值积分的应用背景:1)被积函数的原函数不能表示为初等函数2)某些实际问题仅有一些离散函数值,无法给3)出被积函数表达式3)被积函数过于复杂,难以求得其原函数借助于被积函数在一些点的函数值,推算出满足一定精度的定积分近似值-数值积分方法第二张，PPT共三十六页，创作于2022年6月预备知识牛顿莱布尼兹公式如果函数f(x)在区间a,b上连续，且原函数为F(x)，则可用牛顿莱布尼兹公式 来求定积分。第三张，PPT共三十六页，创作于2022年6月预备知识积分中值定理若f是a,b上的连续函数，则存在xa,b，使

2、第四张，PPT共三十六页，创作于2022年6月预备知识广义积分中值定理若f在a,b上连续，g在a,b上可积，且g(x)在a,b上不变号，存在x,xa,b，使 第五张，PPT共三十六页，创作于2022年6月数值积分问题牛顿莱布尼兹公式u 找原函数很困难，有些原函数不能用初等函数表示 u 原函数表达式过于复杂 u f(x)是由测量或计算得到的数据表 第六张，PPT共三十六页，创作于2022年6月yy=f(x)xbaoxk+1xkxk-1数值积分问题第七张，PPT共三十六页，创作于2022年6月5.1 插值型求积公式f(x)在这些节点的值f(xi)，求定积分第八张，PPT共三十六页，创作于2022年

3、6月定义设有计算 的求积公式如其求积系数 ，则称此求积公式为插值型求积公式.定积分转换成被积函数的有限个函数值的线性组合，无需求被积函数的原函数.5.1 插值型求积公式第九张，PPT共三十六页，创作于2022年6月两点公式 x0=a,x1=b,n=1 梯形公式：5.1 插值型求积公式一、梯形公式-两点线性插值几何意义：用梯形面积代替被积函数的曲边梯形面积第十张，PPT共三十六页，创作于2022年6月梯形公式误差5.1 插值型求积公式广义积分中值定理若f在a,b上连续，g在a,b上可积，且g(x)在a,b上不变号，存在x,xa,b，使 利用这一定理梯形与曲边梯形面积的对比：正负决定 第十一张，P

4、PT共三十六页，创作于2022年6月三点二次拉格朗日插值积分-辛卜生公式xx00 xx22xx11y=f(x)L2(x)5.1 插值型求积公式第十二张，PPT共三十六页，创作于2022年6月辛卜生公式:取x0=a,x1=(a+b)/2,x2=b,n=2辛卜生公式：5.1 插值型求积公式误差 精度较梯形高第十三张，PPT共三十六页，创作于2022年6月yxoy=f(x)ab5.2 复合梯形公式 第十四张，PPT共三十六页，创作于2022年6月分段线性插值-复合梯形法 1.等分求积区间，比如取步长 ，分a,b为n等分，分点为 2.,k=0,1,2,n2.在区间 xk,xk+1上求 3.取和值，作为

5、整个区间上的积分近似值 第十五张，PPT共三十六页，创作于2022年6月复合梯形公式 误差由各小区间梯形误差累加小区间增多,误差减小控制第十六张，PPT共三十六页，创作于2022年6月x0 x1x2xkxk+1xn-1xn复合梯形公式(节点加密)第十七张，PPT共三十六页，创作于2022年6月复合梯形公式(节点加密)由 递推逐渐逼近，达到计算精度即停止。条件成立则终止计算并以T2n为定积分 的近似值第十八张，PPT共三十六页，创作于2022年6月教材P68-例5.1(1)牛顿-莱布尼兹公式0.8670(2)梯形公式0.75(3)辛卜生公式0.8775(4)复合梯形公式T4=0.8617第十九张

6、，PPT共三十六页，创作于2022年6月5.3 其它复合求积公式 借用积分中值定理若f是a,b上的连续函数，则存在xa,b，使得将其用于积分的近似计算，取=b,得-积分右矩形公式复合右矩形公式第二十张，PPT共三十六页，创作于2022年6月如在区间a,b内插入节点xj=a+jh(j=0,1,n),h=(b-a)/n得到复合右矩形求积公式：利用拉格朗日中值定理求右矩形公式的误差估计复合右矩形公式第二十一张，PPT共三十六页，创作于2022年6月复合辛卜生公式 记每2个节点间增加一个中值节点,节点数由n2n.节距变为h=(b-a)/2n.展开,得第二十二张，PPT共三十六页，创作于2022年6月利

7、用数据表 x xk k0 01/81/81/41/43/83/81/21/25/85/83/43/47/87/81 1f f(x xk k)4 43.938463.938463.76473.76473.50683.50683.20003.20002.87642.87642.46002.46002.265492.265492 2计算积分复合求积方法比较 取n=8用复合梯形公式=第二十三张，PPT共三十六页，创作于2022年6月取n=4,用复合辛卜生公式复化求积方法 第二十四张，PPT共三十六页，创作于2022年6月定义如果一个求积公式(a)对于次数不超过m的多项式均能准确成立，但至少对一个m+1

8、次多项式不准确成立，则称该求积公式具有m次代数精度。定理 对于求积公式(a)具有m次代数精度的充分必要条件为该公式对 f(x)=1,x,.xm 精确成立，而对f(x)=xm+1，不精确成立。5.4 数值积分公式的代数精度第二十五张，PPT共三十六页，创作于2022年6月求代数精度的阶数-确定以下求积公式的代数精度5.4 数值积分公式的代数精度?阶代数精度1阶代数精度?阶代数精度第二十六张，PPT共三十六页，创作于2022年6月5.4 数值积分公式的代数精度证明代数精度的阶数第二十七张，PPT共三十六页，创作于2022年6月若求积节点xk任意选取，则求积公式中含有2n+2个待定参数xk和Ak(k

9、=0,1,n),适当选取这些参数，可使求积公式具有2n+1次代数精度，称这种用n+1个求积节点而具有2n+1次代数精度的求积公式为高斯求积公式，n+1个节点为高斯点。5.4 高斯求积公式对于插值型求积公式第二十八张，PPT共三十六页，创作于2022年6月例：求形如 的两点高斯求积公式。梯形公式：高斯公式：对求积公式中的四个待定系数A0,A1,x0,x1适当选取，使求积公式对f(x)=1，x，x2，x3 都准确成立 3次代数精度5.4 高斯求积公式第二十九张，PPT共三十六页，创作于2022年6月5.4 高斯求积公式第三十张，PPT共三十六页，创作于2022年6月求三点高斯求积公式高斯公式：对求

10、积公式中的6个待定系数A0,A1,A2,x0,x1,x2，使求积公式对f(x)=1,x,x2,x3,x4,x5都准确成立 代数精度阶数(2n+1)=55.4 高斯求积公式n+1个求积节点数为3n=2得三点高斯求积公式:第三十一张，PPT共三十六页，创作于2022年6月5.4 高斯求积公式高斯求积公式在定积分 中的应用构造对应函数x(t)=k+jt,使x(-1)=a且x(1)=b 得 k=(a+b)/2,j=(b-a)/2，相应有第三十二张，PPT共三十六页，创作于2022年6月P75.例5.6(1)梯形公式0.75(2)辛卜生公式0.8775(3)复合梯形公式T4=0.8617第三十三张，PPT共三十六页，创作于2022年6月求二重积分的四点高斯求积公式(了解)其中:将二点高斯求积公式直接应用到二重积分的累次积分中第三十四张，PPT共三十六页，创作于2022年6月3.用n=8的复合梯形求积公式，计算积分 并与精确值(I=0.88208139)比较。(计算中保留6位小数)2.习题五 5.8,P80作作 业业1.P78，实验五 5.1,积分区间改成2,3.(增加(5)用两点高斯求积公式）第三十五张，PPT共三十六页，创作于2022年6月感谢大家观看第三十六张，PPT共三十六页，创作于2022年6月