定积分的换元法优秀课件.ppt

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1、定积分的换元法第1页，本讲稿共37页先来看一个例子先来看一个例子例例1换元求不定积分换元求不定积分令令则则故故第2页，本讲稿共37页为去掉根号为去掉根号令令则则 当当 x 从从0连续地增加到连续地增加到4时，时，t 相应相应地从地从1连续地增加到连续地增加到3于是于是尝试一下直接换元求定积分尝试一下直接换元求定积分第3页，本讲稿共37页将上例一般化就得到定积分的换元积分公式将上例一般化就得到定积分的换元积分公式 由此可见，定积分也可以象不定积分一样进行由此可见，定积分也可以象不定积分一样进行换元，所不同的是不定积分换元时要回代原积分换元，所不同的是不定积分换元时要回代原积分变量，而对定积分则只

2、需将其上、下限换成新变变量，而对定积分则只需将其上、下限换成新变量的上、下限即可计算出定积分，而不必回代原量的上、下限即可计算出定积分，而不必回代原积分变量积分变量第4页，本讲稿共37页一、换元公式一、换元公式第5页，本讲稿共37页证证第6页，本讲稿共37页第7页，本讲稿共37页应用换元公式时应注意应用换元公式时应注意:（1）（2）第8页，本讲稿共37页计算计算解解1 由定积分的几何意义由定积分的几何意义等于圆周的第一象限部分的面积等于圆周的第一象限部分的面积解解2 故故o例例2第9页，本讲稿共37页令令解解4令令仍可得到上述结果仍可得到上述结果解解3第10页，本讲稿共37页解解 令令 例例3

3、 3 计算计算第11页，本讲稿共37页定积分的换元积分公式也可以反过来使用定积分的换元积分公式也可以反过来使用为方便计为方便计将换元公式的左、右两边对调将换元公式的左、右两边对调同时把同时把 x 换成换成 t ，t 换成换成 x这说明可用这说明可用 引入新变量引入新变量但须注意如明确引入新变量，则必须换限但须注意如明确引入新变量，则必须换限如没有明确引入新变量，而只是把如没有明确引入新变量，而只是把整体视为新变量，则不必换限整体视为新变量，则不必换限注注第12页，本讲稿共37页例例4 4 计算计算解解第13页，本讲稿共37页例例5 5 计算计算解解原式原式第14页，本讲稿共37页例例6 6 计

4、算计算解一解一 令令原式原式第15页，本讲稿共37页解二解二接解一接解一对令则则第16页，本讲稿共37页证证第17页，本讲稿共37页即：即：奇函数在对称区间上的积分等于奇函数在对称区间上的积分等于0 偶函数在对称区间上的积分等于对称的偶函数在对称区间上的积分等于对称的 部分区间上积分的两倍部分区间上积分的两倍 由定积分的几何意义，这个结论也是比较明显的由定积分的几何意义，这个结论也是比较明显的第18页，本讲稿共37页例例8 8 计算计算解解原式原式偶函数偶函数奇函数奇函数四分之一单位圆的面积四分之一单位圆的面积第19页，本讲稿共37页第20页，本讲稿共37页（1）设）设（2）设）设证第21页，

5、本讲稿共37页第22页，本讲稿共37页另证另证 将上式改写为将上式改写为奇函数奇函数第23页，本讲稿共37页例例10 设设 f(x)是以是以L为周期的连续函数，证明为周期的连续函数，证明证明证明与与 a 的值无关的值无关第24页，本讲稿共37页例例11 设设 f(x)连续，常数连续，常数 a 0 证明证明证明证明比较等式两边的被积函数知，比较等式两边的被积函数知，第25页，本讲稿共37页第26页，本讲稿共37页例例12 设设 f(x)连续连续解解第27页，本讲稿共37页第28页，本讲稿共37页第29页，本讲稿共37页定积分的换元法定积分的换元法几个特殊积分、定积分的几个等式几个特殊积分、定积分的几个等式 二、小结二、小结第30页，本讲稿共37页思考题解令第31页，本讲稿共37页 思考题解答计算中第二步是错误的.正确解法是正确解法是第32页，本讲稿共37页练 习 题第33页，本讲稿共37页第34页，本讲稿共37页第35页，本讲稿共37页第36页，本讲稿共37页练习题答案第37页，本讲稿共37页