线性代数的应用精品文稿.ppt

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1、线性代数的应用第1页，本讲稿共42页n广泛地应用于工程学，计算机科学，物理学，数学，生物学，经济学，统计学，力学，信号与信号处理，系统控制，通信，航空等学科和领域。n应用于理工类的后继课程，如电路、理论力学、材料力学、计算机图形学、信号与系统、数字信号处理、系统动力学、自动控制原理、机械振动、机器人学等课程。线性代数是最有趣最有价值的大学数学课程 -David C.Lay第2页，本讲稿共42页电路网络问题电路网络问题 在工程技术中所遇到的电路，大多数是很复杂的，这些在工程技术中所遇到的电路，大多数是很复杂的，这些电路是由电器元件按照一定方式互相连接而构成的网络。在电路是由电器元件按照一定方式互

2、相连接而构成的网络。在电路中，含有元件的导线称为支路，而三条或三条以上的支电路中，含有元件的导线称为支路，而三条或三条以上的支路的会合点称为节点。电路网络分析，粗略地说，就是求出路的会合点称为节点。电路网络分析，粗略地说，就是求出电路网络种各条支路上的电流和电压。对于这类问题的计算，电路网络种各条支路上的电流和电压。对于这类问题的计算，通常采用基尔霍夫（通常采用基尔霍夫（Kirchhoff）定律来解决。以图）定律来解决。以图3-2所示所示的电路网络部分为例来加以说明。的电路网络部分为例来加以说明。第3页，本讲稿共42页第4页，本讲稿共42页设各节点的电流如图所示，则由基尔霍夫第一定律设各节点的

3、电流如图所示，则由基尔霍夫第一定律（简记为（简记为KCL）（即电路中任一节点处各支路电流）（即电路中任一节点处各支路电流之间的关系：在任一节点处，支路电流的代数和在之间的关系：在任一节点处，支路电流的代数和在任一瞬时恒为零（通常把流入节点的电流取为负的，任一瞬时恒为零（通常把流入节点的电流取为负的，流出节点的电流取为正的）。该定律也称为节点电流出节点的电流取为正的）。该定律也称为节点电流定律），有流定律），有 对于节点对于节点A：对于节点对于节点B：对于节点对于节点C：对于节点对于节点D：第5页，本讲稿共42页于于是求各个支路的电流就归结为下面齐次线性方是求各个支路的电流就归结为下面齐次线性方

4、程组的求解程组的求解 相应相应MATLAB代码为（代码为（dianlu.m）clearA=1,0,0,1,0,-1;0,1,0,1,-1,0;0,0,1,0,-1,1;1,-1,1,0,0,0;b=0;0;0;0;R,s=rref(A,b);r=length(s);disp(对应齐次线性方程组的基础解系为：对应齐次线性方程组的基础解系为：)x=null(A,r)第6页，本讲稿共42页其中:由于由于i1,i2,i3,i4,i5,i6均为正数，所以通解中的均为正数，所以通解中的3个任意常数应个任意常数应满足以下条件：满足以下条件：如果如果则则：解之，得其解为解之，得其解为第7页，本讲稿共42页2.

5、联合收入问题联合收入问题n 已知三家公司已知三家公司X,Y,ZX,Y,Z具有图具有图2-12-1所示的股份所示的股份关系，关系，n即即X X公司掌握公司掌握Z Z公司公司50%50%的股份，的股份，Z Z公司掌握公司掌握X X公司公司30%30%的股份，而的股份，而X X公司公司70%70%的股份不受另的股份不受另两家公司控制等等两家公司控制等等。第8页，本讲稿共42页n现设现设X X，Y Y和和Z Z公司各自的营业净收入分别是公司各自的营业净收入分别是1212万元、万元、1010万元、万元、8 8万元，每家公司的联合万元，每家公司的联合收入是其净收入加上在其他公司的股份按比收入是其净收入加上

6、在其他公司的股份按比例的提成收入、试确定各公司的联合收入及例的提成收入、试确定各公司的联合收入及实际收入。实际收入。第9页，本讲稿共42页n 解解 依照图依照图2-12-1所示各个公司的股份比例可所示各个公司的股份比例可知，若知，若n设设X X、Y Y、Z Z三公司三公司的联合收入分别为的联合收入分别为x x,y y,z z,则其实际上则其实际上各自公司自身的收入（实际收入）分别为各自公司自身的收入（实际收入）分别为0.70.7x x，0.20.2y y，0.30.3z z。联合收入由两部分组成，联合收入由两部分组成，即营业净收入及从其他公司的提成收入，故即营业净收入及从其他公司的提成收入，故

7、对每个公司可列出一个方对每个公司可列出一个方 程程第10页，本讲稿共42页x=12+0.5z对对Y公司为公司为y=10+0.1z对对Z公司为公司为z=8+0.3x+0.2y故得线性方程组故得线性方程组 x -0.5z=12 y 0.1z=100.3x+0.2y z=-8对对X公司为公司为（X，Y和和Z公司各自的营业净收公司各自的营业净收 入分入分别别 是是12万元、万元、10万元、万元、8万元万元）第11页，本讲稿共42页Matalb计算n A=1 0 -0.5 12;0 1-0.1 10;0.3 0.2-1-8n rref(A)nans=n 1 0 0 20.1928n 0 1 0 11.6

8、386n 0 0 1 16.3855第12页，本讲稿共42页Y公司的联合收入为公司的联合收入为y=11.6386(元元)实际收入为实际收入为0.2*11.6386=2.3277(万元万元)Z公司的联合收入为公司的联合收入为z=16.3855(元元)实际收入为实际收入为0.3*16.3855=4.9157(元元)于是于是X公司的联合收入为公司的联合收入为X=20.1928(万元万元)实际收入为实际收入为0.7*20.1928=14.1350（万元）（万元）第13页，本讲稿共42页3.决策问题n某大三学生的第一学期的必修课程只有1门(2个学分)；限选课程8 门，任选课程10门。由于有些课程之间有联

9、系，所以可能在选修的某门课程时必须同时选修其课程，这18门课程的学分数和要求以及相应信息如表1所示。按学校规定,每个学生每学期选修的总学分不能少于21学分，因此，学生必须在上述18门课程中至少选修19学分，任意选修课的学分不能少于3学分,也不能超过6学分。试为该学生确定一种选课方案。第14页，本讲稿共42页12345678554433321291011121314151617183332221111864576n表1 18门课的学分数及要求课号课号选修课学分选修课学分选修要求选修要求课号课号选修课学分选修课学分选修要求选修要求第15页，本讲稿共42页解：列线性方程组如下：解：列线性方程组如下：

10、假设该学生所选的任意选修课的学分为假设该学生所选的任意选修课的学分为3分，分，18门课程共选修门课程共选修19个个学分，则有如下的线性方程组：学分，则有如下的线性方程组：解：列线性方程组如下：解：列线性方程组如下：解：列线性方程组如下：解：列线性方程组如下：假设该学生所选的任意选修课的学分为假设该学生所选的任意选修课的学分为3分，分，18门课程共选修门课程共选修19个学个学分，则有如下的线性方程组：分，则有如下的线性方程组：第16页，本讲稿共42页矩阵矩阵A=,b b=则通解为则通解为第17页，本讲稿共42页 又因为 的值为0或1，所以所以或或为例，则此方程的通为例，则此方程的通解为：解为：第

11、18页，本讲稿共42页由由=0=0或或1得，得，=0=0或或1，假设，假设=1=1，可令，可令m2=m5=0,m1=m6=1,这样这样可得可得，则，则第19页，本讲稿共42页由由=0=0或或1得，得，=0=0或或1，不妨设，不妨设=0=0，此方程的通解为，此方程的通解为：第20页，本讲稿共42页由由=0=0或或1得得，=0=0或或1.又因为又因为，所以由题意可得，所以由题意可得，所以，所以可令可令m1=m2=m3=m4=0，m5=m6=m7=1，m8=0，则，则第21页，本讲稿共42页所以可得到方程组的一个解所以可得到方程组的一个解，这组解对应的选课方案为：选这组解对应的选课方案为：选1,2,

12、3,8,15,16,17第22页，本讲稿共42页MatlabMatlab实现如下实现如下:输入内容为：输入内容为：clearA=5,5,4,4,3,3,3,2,3,3,3,2,2,2,1,1,1,1;0,0,0,0,0,0,0,0,3,3,3,2,2,2,1,1,1,1;b=19;3;x0=Abnull(A,r)第23页，本讲稿共42页clearA=-1,-0.8,-0.8,-0.6,-0.6,-0.6,-0.4;b=-2.2;k0=Abnull(A,r)A=-1,-1,-2/3,-2/3,-2/3,-1/3,-1/3,-1/3,-1/3;b=-1;k0=Abnull(A,r)第24页，本讲稿

13、共42页 人口迁徙问题 设在一个大城市中的总人口是固定的。人口的分布则因居民在市区和郊区之间迁徙而变化。每年有6%的市区居民搬到郊区去住，而有2%的郊区居民搬到市区。假如开始时有30%的居民住在市区，70%的居民住在郊区，问10年后市区和郊区的居民人口比例是多少？30年、50年后又如何？第25页，本讲稿共42页 分析与求解这个问题可以用矩阵乘法来描述。把人口变量用市区和郊区两个分量表示，设市区和郊区初始人口数量分别为：xc0=0.3，xs0=0.7，一年以后，市区人口为 xc1(10.06)xc00.02xs0，郊区人口 xs1 0.06xc0 (10.02)xs0用矩阵乘法来描述，可写成：分

14、析与求解这个问题可以用矩阵乘法来描述。把人口变量用市区和郊区两个分量表示，设市区和郊区初始人口数量分别为：xc0=0.3，xs0=0.7，一年以后，市区人口为 xc1(10.06)xc00.02xs0，郊区人口 xs1 0.06xc0 (10.02)xs0用矩阵乘法来描述，可写成：第26页，本讲稿共42页 建立模型并用MATLAB求解从初始到从初始到k年，此关系保持不变，因此上述算式年，此关系保持不变，因此上述算式可写为可写为 输入：A0.94,0.02;0.06,0.98,x00.3;0.7 x1A*x0,x10A10*x0,x30A30*x0,x50A50*x0得到：从初始到从初始到k年，

15、此关系保持不变，因此上述算式年，此关系保持不变，因此上述算式可写为可写为 输入：A0.94,0.02;0.06,0.98,x00.3;0.7 x1A*x0,x10A10*x0,x30A30*x0,x50A50*x0得到：从初始到从初始到k年，此关系保持不变，因此上述算式年，此关系保持不变，因此上述算式可写为可写为 输入：A0.94,0.02;0.06,0.98,x00.3;0.7 x1A*x0,x10A10*x0,x30A30*x0,x50A50*x0得到：第27页，本讲稿共42页 人口分布趋势分析n无限增加时间无限增加时间k k，市区和郊区人口之比将趋向一组，市区和郊区人口之比将趋向一组常数

16、常数0.25/0.750.25/0.75。n为了弄清为什么这个过程趋向于一个稳态值。先为了弄清为什么这个过程趋向于一个稳态值。先求求A A的特征值和特征向量，得到的特征值和特征向量，得到第28页，本讲稿共42页将A对角化第29页，本讲稿共42页 人口分布的趋势 式中的第二项会随着式中的第二项会随着k k的增大趋向于零。如果只取的增大趋向于零。如果只取小数点后两位，则只要小数点后两位，则只要k k 2727，这第二项就可以忽略不，这第二项就可以忽略不计，从而得到计，从而得到 。第30页，本讲稿共42页5.多对基因型的遗传选种多对基因型的遗传选种n在常染色体遗传中,后代从每个亲体的基因对中各继承一

17、个基因,形成自己的基因对.如人类眼睛颜色即是通过常染色体控制的,其特征遗传由两个基因A 和 a控制.基因对是 AA和Aa 的人,眼睛是棕色,基因对是aa 的人,眼睛为蓝色.由于AA 和Aa 都表示了同一外部特征,或认为基因 A支配a,也可认为基因a 对于基因 A来说是隐性的(或称A 为显性基因,a为隐性基因).由于实际生活中动植物的特性一般都是有多对第31页，本讲稿共42页n基因共同决定的。现考虑两对基因型的情况。假设某植物的性状主要由Aa,Bb两对基因型控制，其中含A和B基因型的植物表现为优良的性状。n假设第一代植物的九种基因型（AABB，AaBB,aaBB,AABb,AaBb,aaBb,A

18、Abb,Aabb,aabb）占植物总数的百分率分别为 ，则满足 ，记 为 第代植物的基因型分布。第32页，本讲稿共42页n由于基因都是成对出现的,一般地,一对中的每个基因可以取两种不同的形式(等位基因)A 和a,而两种等位基因可形成对应于特点位的三个基因型AA、Aa 或aa。一个后代各以1/2 的概率接受父亲的两个基因中的任一个,又以1/2 的概率从母亲的两个基因中的任一个,故上代的基因型对下一代基因型之间的转移概率如表2所示:第33页，本讲稿共42页 父亲母亲基因 子女基因AA_AAAA-Aa AA-aaAa-AaAa-aaaa-aaAA11/201/400Aa01/211/21/20aa0

19、001/41/21第34页，本讲稿共42页n由基因自由组合定律，Aa和Bb为非同源染色体上的两对基因，当亲本进行结合时，非同源染色体上的基因自由组合，即A，a基因和B，b基因在亲本杂交过程中可自由组合。即子代基因型为CD的植物的概率与亲代在杂交时各自形成的基因型C和D的概率的关系为：nP(CD)=P(C)P(D)（其中C为AA，Aa或aa,D 为BB，Bb或bb）n因此根据表1和上式可得表3第35页，本讲稿共42页n 母亲基因型（父亲基因型为AABB）子女基因AABBAaBBaaBBAABbAaBbaaBbAAbbAabbaabbAABB11/201/21/40000AaBB01/2101/4

20、1/2000aaBB000000000AABb0001/21/4011/20AaBb00001/41/201/21aaBb000000000AAbb000000000Aabb000000000aabb000000000第36页，本讲稿共42页n现为了培育优良的品种，计划用现为了培育优良的品种，计划用AABBAABB基因型基因型的植物和每种基因型的植物结合培育后代，的植物和每种基因型的植物结合培育后代，问经过若干年后问经过若干年后,这种植物后代基因型分布这种植物后代基因型分布将出现什么情形将出现什么情形?nn提示：提示：先考虑第n代植物的各基因型所占比例和第n-1代之间的关系，如第n代AABB基

21、因型的植物可由n-1代基因型为AABB，AaBB，AABb，AaBb的植物分别和AABB基因型植物结合得到。其关系由表3可得如下：第37页，本讲稿共42页n第代其它基因型 植物满足的关系:AABBAaBBaaBBAABbAaBbaaBbAAbbAabbaabbAABB11/201/21/40000AaBB01/2101/41/2000aaBB000000000AABb0001/21/4011/20AaBb00001/41/201/21aaBb000000000AAbb000000000Aabb000000000aabb000000000第38页，本讲稿共42页n将AABB，AaBB，AABb，AaBb转化为矩阵：第39页，本讲稿共42页由此建立模型并用MATLAB求解n由此可推知得：n1,0.5,0.5,0.25;0,0.5,0,0.25;0,0,0.5,0;0,0,0,0,25;第40页，本讲稿共42页当当n n趋于无穷大时，趋于无穷大时，AaBBAaBB，AABbAABb，AaBbAaBb都将趋都将趋于于0 0，而性状，而性状AABBAABB趋于趋于1.1.第41页，本讲稿共42页第42页，本讲稿共42页