概率随机变量的函数的分布优秀课件.ppt

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1、概率随机变量的函数的分布第1页，本讲稿共46页比如，某厂的电机的噪声电压比如，某厂的电机的噪声电压V 的密度分布：的密度分布：求功率求功率求功率求功率 W=V2/R (R R 为电阻为电阻为电阻为电阻)的分布的分布的分布的分布.在实际应用中，人们常常对随机变量的函在实际应用中，人们常常对随机变量的函数感兴趣数感兴趣.o2.4 2.4 随机变量函数的分布随机变量函数的分布第2页，本讲稿共46页在许多实际问题中在许多实际问题中,常常需要研究随机变量的函数常常需要研究随机变量的函数,例例:测量圆轴截面的直径测量圆轴截面的直径d,而关心的却是截面积：而关心的却是截面积：d为随机变量为随机变量,S 就是

2、随机变量就是随机变量d的函数。的函数。的分布。的分布。在统计物理中在统计物理中,已知分子的运动速度已知分子的运动速度x的分布的分布,求其动能：求其动能：一般地，设一般地，设y=g(x)是一元实函数，是一元实函数，X是一个随机变量，若是一个随机变量，若X的取值在函数的取值在函数y=g(x)的定义域内，则的定义域内，则Y=g(X)也为一随机变量。也为一随机变量。第3页，本讲稿共46页随机变量的函数随机变量的函数随机变量随机变量分布函数分布函数密度函数密度函数第4页，本讲稿共46页p 随机变量的函数随机变量的函数 是一个这样的随机变量，若是一个这样的随机变量，若随机变量随机变量Y 满足：满足：Y=g

3、(X)则称随机变量则称随机变量Y 是是X 的随机变量的函数。的随机变量的函数。o设随机变量设随机变量 X 的分布已知，的分布已知，Y=g(X)(设设g 是连续函数），是连续函数），如何由如何由 X 的分布求出的分布求出 Y 的分布？的分布？方法方法 将与将与Y 有关的事件转化成有关的事件转化成 X 的事件的事件第5页，本讲稿共46页设设 r.v.X 的分布律为的分布律为由已知函数由已知函数 g(x)可求出可求出 r.v.Y 的所有可能取值，的所有可能取值，则则 Y 的概率分布为的概率分布为n 离散型 r.v.函数的分布第6页，本讲稿共46页设设X为离散型为离散型 RV,其分布律为其分布律为X

4、x1 x2 x3 xn pk p1 p2 p3 pn随机变量随机变量X的函数的函数 Y=g(X)的分布律为的分布律为Y g(x1)g(x2)g(x3)g(xn)pk p1 p2 p3 pn有可能有可能g(x i)与与g(x j)相同，此时将两项合并，对应概率相加相同，此时将两项合并，对应概率相加 离散随机变量的函数的分布离散随机变量的函数的分布第7页，本讲稿共46页【例例】已知已知 X 的概率分布为的概率分布为X pk-1 0 1 2求求 Y 1=2X 1 与与 Y 2=X 2 的分布律的分布律第8页，本讲稿共46页【例】已知 X 的概率分布为其中 p+q=1,0 p 1,求 Y=Sin X

5、的概率分布解解第9页，本讲稿共46页第10页，本讲稿共46页故 Y 的概率分布为Ypi-1 0 1第11页，本讲稿共46页课堂练习：课堂练习：加油站代营出租车业务，每出租加油站代营出租车业务，每出租1辆车收入辆车收入3元。元。该油站每天要付出该油站每天要付出60元工职。每天出租汽车数元工职。每天出租汽车数X的分布律如下：的分布律如下：X10203040P0.150.250.450.15求加油站获利的概率。求加油站获利的概率。第12页，本讲稿共46页方法：方法：（1）从分布函数出发）从分布函数出发（2）用公式直接求密度函数）用公式直接求密度函数n 连续性 r.v.函数的分布 设设 X 为一个连续

6、型为一个连续型R.V，其概率密度函数为，其概率密度函数为 f(x)。y=g(x)为一个连续函数，求随机变量为一个连续函数，求随机变量Y=g(X)的概率密度函数的概率密度函数 fY(y)。第13页，本讲稿共46页(1)求求Y的分布函数的分布函数 FY(y)根据分布函数的定义根据分布函数的定义(2)对对FY(y)求导，得到求导，得到 fY(y)o分布函数法分布函数法解不等式转化解不等式转化为求关于为求关于X X的概率的概率第14页，本讲稿共46页【例例】设随机变量设随机变量X具有概率密度具有概率密度求随机变量求随机变量Y=2X+8的概率密度。的概率密度。先求先求Y=2X+8的分布函数的分布函数 F

7、Y(y).oStep1:Step1:第15页，本讲稿共46页求求Y=2X+8的概率密度的概率密度oStep 2:Step 2:第16页，本讲稿共46页【例例】设随机变量设随机变量X具有概率密度具有概率密度求求的概率密度。的概率密度。解解先求分布函数先求分布函数 FY(y)。由于由于解不等式转化解不等式转化为求关于为求关于X X的概率的概率第17页，本讲稿共46页于是得于是得Y Y的概率密度为：的概率密度为：第18页，本讲稿共46页 从上述两例中可以看到，在求从上述两例中可以看到，在求P(Yy)的过程中，的过程中，关键的一步是设法从关键的一步是设法从 g(X)y 中解出中解出X X,从而得到与从

8、而得到与 g(X)y 等价的等价的X X 的不等式的不等式 。这样做是为了利用已知的这样做是为了利用已知的 X X 的分布，从而求的分布，从而求出相应的概率。出相应的概率。这就是这就是这就是这就是分布函数法分布函数法。例如，用例如，用 代替代替 2X+8 y 用用 代替代替 X2 y 第19页，本讲稿共46页【例例】已知随机变量X N(0,1)。解解第20页，本讲稿共46页【例例例例】已知随机变量X解解第21页，本讲稿共46页定理定理定理定理 设设随机随机变变量量 X 具有概率密度具有概率密度 又设函数处处可导，且（或），是连续型随机变量，其概率密度为：则其中是函数的反函数.第22页，本讲稿共

9、46页【例例】设设X N（0，1），其概率密度为），其概率密度为：则则概率密度函数为概率密度函数为：此时称此时称Y服从自由度为服从自由度为 1 的的 分布。分布。第23页，本讲稿共46页【例例例例】设随机变量 ，证明解解第24页，本讲稿共46页o推论推论o定理定理第25页，本讲稿共46页求 的密度函数解:是 x 的单调可导函数,第26页，本讲稿共46页即即 Y Y 服从服从1919，2121上的均匀分布上的均匀分布Y=0.1X+10Y=0.1X+10的密度函数的密度函数为为X的密度函数的密度函数为为 设随机变量设随机变量服从服从90，110上的均匀分布上的均匀分布,求求 Y=0.1X+10Y=

10、0.1X+10的密度函数。的密度函数。例例解解第27页，本讲稿共46页注意注意 连续连续 r.v.r.v.的函数的分布的函数的分布 函数不一定是连续函数函数不一定是连续函数例如例如 X U(0,2)令令Y=g(X)xy1FY(y)不是连续函数不是连续函数第28页，本讲稿共46页2.设设随机随机变变量量，求，求的概率密度。的概率密度。第29页，本讲稿共46页X,求其密度函数 f(x).ABCh.M 问 题在高为 h 的 ABC 中任取一点M,点 M 到 AB 的距离为随机变量X,求其密度函数 f(x).问 题ABCh.M第30页，本讲稿共46页设 r.v.服从(0,1)内均匀分布,又其中求 r.

11、v.的 p.d.f.问问 题题第31页，本讲稿共46页思考题：思考题：设随机变量X 服从(0,2)上的均匀分布,设Y=g(X)是连续型的随机变量吗?第32页，本讲稿共46页思考题答案：思考题答案：否否.Y 在在0,1上取值上取值,Y 的分布函数为的分布函数为第33页，本讲稿共46页不是连续函数不是连续函数,Y 不是连续型的随机变量不是连续型的随机变量.又又Y 的取值不是有限个或可列个的取值不是有限个或可列个,Y 也不是离散也不是离散型的随机变量型的随机变量.Y 是一个非离散非连续型的随机变量是一个非离散非连续型的随机变量.第34页，本讲稿共46页1.设离散型随机变量 X 的分布律为练习题：练习

12、题：求:(1)X+2;(2)的分布律.2.若 X 服从 上的均匀分布,求Y=tanX 的密度函数.第35页，本讲稿共46页3.对圆的直径作近似度量,设其值均匀分布于(a,b)内,试求圆的面积的密度函数.4.设随机变量 X 的密度函数为求 的分布函数 和密度函数 .5.随机变量随机变量X 服从参数为服从参数为的指数分布的指数分布,求求 Y=1/X 的概率密度的概率密度.第36页，本讲稿共46页6.设随机变量 X 服从参数为p 的几何分布,即求:的分布律.第37页，本讲稿共46页1.(1)(2)练习题答案：练习题答案：第38页，本讲稿共46页3.解:设圆的直径为随机变量D,圆的面积圆的面积第39页，本讲稿共46页第40页，本讲稿共46页4.解法一(分布函数法)X 的取值范围是的取值范围是(-1,1),Y 的取值范围是的取值范围是1,2),第41页，本讲稿共46页第42页，本讲稿共46页解法二(公式法)在(-1,0)上单调减少,在在(0,1)上单调增加上单调增加,第43页，本讲稿共46页再求Y 的分布函数,Y 的分布函数为的分布函数为第44页，本讲稿共46页6.解：随机变量解：随机变量Y 的取值是的取值是-1,0,1第45页，本讲稿共46页第46页，本讲稿共46页