概率论第十六讲中心极限定理优秀课件.ppt

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1、概率论第十六讲中心极限定理概率论第十六讲中心极限定理第1页，本讲稿共29页 中心极限定理：概率论中有关随机变量 的和的极限分布是正态分布的系列定理。设随机变量序列相互独立,且有期望和方差：令则第2页，本讲稿共29页定理1 林德伯格（Lindberg）定理设相互独立随机变量满足林德伯格条件，即有其中，是随机变量的概率密度第3页，本讲稿共29页其中，是任何实数则n，有第4页，本讲稿共29页林德伯格定理的意义:被研究的随机变量可以被表示为，许多相互独立随机变量的和,其中,则这个总和服从 或近似服从正态分布.每一个随机变量对于总和只起微小的作用,第5页，本讲稿共29页定定理理二二林德伯格-列维中心极限

2、定理 独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理 定定理理三三棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理 二项分布以正态分布为极限分布二项分布以正态分布为极限分布(Lindberg-levi)(De Moivre-Laplace)第6页，本讲稿共29页独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理 设随机变量序列独立同一分布,且有期望和方差：则对于任意实数 x,定理定理 1第7页，本讲稿共29页注注则 Y n 为的标准化随机变量.即 n 足够大时，Y n 的分布函数近似于标准正态随机变量的分布函数记近似近似服从第8页，本讲稿共29页中心极限定理的意义中心极限定理的意义 在第二章曾讲过有许多随机现象服

3、从正态分布 若联系于此随机现象的随机变量为X，是由于许多彼次没有什么相依关系、对随机现象谁也不能起突出影响，而均匀地起到微小作用的随机因素共同作用则它可被看成为许多相互独立的起微小作用的因素Xk的总和 ，而这个总和服从或近似服从正态分布.(即这些因素的叠加)的结果.第9页，本讲稿共29页对此现象还可举个有趣的例子高尔顿钉板试验 加以说明.03 钉子层数高尔顿钉板高尔顿钉板第10页，本讲稿共29页德莫佛德莫佛拉普拉斯中心极限定理拉普拉斯中心极限定理 （DeMoivre-Laplace）设 Y n B(n,p),0 p 1,n=1,2,则对任一实数 x，有即对任意的 a b,Y n N(np,np

4、(1-p)(近似)定理定理2第11页，本讲稿共29页应用应用1例例1 1 炮火轰击敌方防御工事 100 次,每次轰击命中的炮弹数服从同一分布,其数学期望为 2,均方差为1.5.若各次轰击命中的炮弹数是相互独立的,求100 次轰击(1)至少命中180发炮弹的概率;(2)命中的炮弹数不到200发的概率.中心极限定理的应用第12页，本讲稿共29页例例2 2 售报员在报摊上卖报,已知每个过路人在报摊上买报的概率为1/3.令X 是出售了100份报时过路人的数目，求 P(280 X 320).解解 令Xi 为售出了第 i 1 份报纸后到售出第i 份报纸时的过路人数,i=1,2,100(几何分布)应用应用2

5、第15页，本讲稿共29页相互独立,由独立同分布中心极限定理,有第16页，本讲稿共29页例例3 3 检验员逐个检查某产品,每查一个需用10秒钟.但有的产品需重复检查一次，再用去10秒钟.若产品需重复检查的概率为 0.5,求检验员在 8 小时内检查的产品多于1900个的概率.解解 若在 8 小时内检查的产品多于1900个,即检查1900个产品所用的时间小于 8 小时.设 X 为检查1900 个产品所用的时间(秒)设 Xk 为检查第 k 个产品所用的时间(单位：秒),k=1,2,1900应用应用3第17页，本讲稿共29页 XkP 10 200.5 0.5相互独立同分布,第18页，本讲稿共29页第19

6、页，本讲稿共29页例例4 4 某车间有200台车床，每台独立工作，开工率为0.6.开工时每台耗电量为 r 千瓦.问供 电所至少要供给这个车间多少电力,才能以 99.9%的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产？解解 设至少要供给这个车间 a 千瓦的电力，X 为开工的车床数,则 X B(200,0.6),X N(120,48)(近似)应用应用4由德莫佛德莫佛拉普拉斯中心极限定理拉普拉斯中心极限定理,有第20页，本讲稿共29页问题转化为求 a,使反查标准正态函数分布表，得第21页，本讲稿共29页令解得(千瓦)第22页，本讲稿共29页例例5 5 设有一批种子，其中良种占1/6.试估计在任选的600

7、0粒种子中，良种比例与 1/6 比较上下不超过1%的概率.解解 设 X 表示6000粒种子中的良种数,X B(6000,1/6)应用应用5近似由德莫佛拉普拉斯中心极限定理,则有第23页，本讲稿共29页第24页，本讲稿共29页比较几个近似计算的结果比较几个近似计算的结果中心极限定理二项分布(精确结果)Poisson 分布Chebyshev 不等式比较比较第25页，本讲稿共29页作业 P.138 习题四 19 20 22 23习题习题第26页，本讲稿共29页 设某农贸市场某种商品每日的价格的变化是个相互独立且均值为0,方差为 2=2的随机变量 Yn，并满足其中Xn是第n天该商品的价格.如果今天的价格为100，求18天后该商品的价格在 96 与 104 之间的概率.*补充作业第27页，本讲稿共29页解 设 表示今天该商品的价格,为18天后该商品的价格,则得第28页，本讲稿共29页 一本书有一本书有 1 000 000 个印刷符号个印刷符号,排版时每个符号被排错的概率为千分排版时每个符号被排错的概率为千分之一之一.校对时校对时,每个排版错误被改正的每个排版错误被改正的概率为概率为0.99.求在校对后错误不多于求在校对后错误不多于每周一题每周一题1215 个的概率个的概率.第第12周周 问问 题题第29页，本讲稿共29页