二节无穷积分的质与收敛判别.ppt

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1、二节无穷积分的质与收敛判别 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望1 反常积分概念反常积分概念一一一一.引入引入引入引入例：例：0 0 x xy y1 1b b解：由于这个图形不是封闭的解：由于这个图形不是封闭的 曲边梯形曲边梯形,而在而在x x轴的正方轴的正方 向是开口的，即这是的积向是开口的，即这是的积 分区间为分区间为11，），），显然当显然当b b改变时，曲边梯形的面积也随之改变，改变时，曲边梯形的面积也随之改变，则所求曲边梯形的面积为则所求曲边梯

2、形的面积为则所求曲边梯形的面积为则所求曲边梯形的面积为1 1 1 1二、无穷限的反常积分二、无穷限的反常积分定义定义1:设函数设函数 f(x)在区间在区间a,+)上连续上连续,取取b a,如果极限如果极限存在存在,则称此极限为函数则称此极限为函数 f(x)在无穷区间在无穷区间a,+)上的反常积分上的反常积分,记作记作(1)1、无穷限反常积分这时也称反常积分这时也称反常积分 收敛收敛;若上述极若上述极限不存在限不存在,就称反常积分就称反常积分 发散发散,这时记这时记号号 不再表示数值了。不再表示数值了。例如：例如：oyxb1类似地类似地,设函数设函数 f(x)在区间在区间(,b上连续上连续,取取

3、a b,如果极限如果极限存在存在,则称此极限为函数则称此极限为函数 f(x)在无穷区间在无穷区间(,b上反常积分上反常积分,记作记作 ,(2)这时也称反常积分这时也称反常积分 收敛收敛;若上述若上述极限不存在极限不存在,就称反常积分就称反常积分 发散发散.即即 设函数设函数 f(x)在区间在区间(,+)上连续上连续,都收敛都收敛,则称上述两反常积分之和为函数则称上述两反常积分之和为函数 f(x)在区间在区间(,+)上的反常积分上的反常积分.记作记作 (3)这时这时,也称反常积分也称反常积分 收敛收敛;否则就称否则就称反常积分反常积分 发散发散.如果反常积分如果反常积分 上述反常积分统称为无穷限

4、的反常积分上述反常积分统称为无穷限的反常积分.,即即解：解：注注:为方便起见为方便起见,把把aboxy例例1解解:例例2解解:当当 p=1时时 当当 p 1时时 2、无界函数的反常积分 定义定义2:设函数设函数 f(x)在区间在区间(a,b上连续上连续,而在点而在点 a 的的则称此极限为函数则称此极限为函数 f(x)在在(a,b上的上的反常积分反常积分(瑕积分瑕积分).a称为称为f的瑕点的瑕点上有界且可积上有界且可积,如果极限如果极限右邻域内无界右邻域内无界,但在任何闭区间但在任何闭区间(u,b (a,b存在存在,(4)这时也称反常积分这时也称反常积分 收敛收敛.如果上述如果上述极限不存在极限

5、不存在,就称反常积分就称反常积分 发散发散.类似地类似地,b为为f的的瑕点瑕点例例4 4 计算计算解解:另解另解注意注意：（常）积分与瑕积分在记号上完全相同。（常）积分与瑕积分在记号上完全相同。例例5 5解二解二解一解一正确解为正确解为当当q 1时时,收敛收敛;当当q 1时时,发散发散.证证:当当q=1时时 例例6当当q 1时时,其值为其值为 因此因此,当当q 1时时,反常积分反常积分 收敛收敛,当当q 1时时,反常积分反常积分 发散发散.注意注意 反常积分与定积分不同，尤其是瑕积分，它与定积分采用反常积分与定积分不同，尤其是瑕积分，它与定积分采用同一种表达方式，但其含义却不同，遇到有限区间上的积分时，同一种表达方式，但其含义却不同，遇到有限区间上的积分时，要仔细检查是否有瑕点。要仔细检查是否有瑕点。反常积分中，牛顿莱布尼茨公式，换元积分公式、分部反常积分中，牛顿莱布尼茨公式，换元积分公式、分部积分公式仍然成立，不过代入上、下限时代入的是极限值。积分公式仍然成立，不过代入上、下限时代入的是极限值。如如 无穷限积分无穷限积分再如再如 瑕积分瑕积分