二最大值与最小值问题.ppt
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1、 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY二最大值与最小值问题 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY一、函数的极值及其求法函数的极值及其求法定义定义:在其中当时,(1)则称 为 的极大
2、点极大点,称 为函数的极大值极大值;(2)则称 为 的极小点极小点,称 为函数的极小值极小值.极大点与极小点统称为极值点极值点.机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY注意注意:为极大点为极小点不是极值点2)对常见函数,极值可能出现在导数为 0 或 不存在的点.1)函数的极值是函数的局部性质.例如例如(P146例例4)为极大点,是极大值 是极小值 为极小点,机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZH
3、OU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY定理定理 1(极值第一判别法极值第一判别法)且在空心邻心邻域内有导数,(1)“左左正正右右负负”,(2)“左左负负右右正正”,(自证)机动 目录 上页 下页 返回 结束 点击图中任意处动画播放暂停 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY例例1.求函数求函数的极值.解解:1)求导数2)求极值可疑点令得令得3)列表判别是极大点,其极大值为是极小点,其极小值为机动 目录 上页 下页
4、 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY定理定理2(极值第二判别法极值第二判别法)二阶导数,且则 在点 取极大值;则 在点 取极小值.证证:(1)存在由第一判别法知(2)类似可证.机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY例例2.求函数的极值.解解:1)求导数2)求驻点令得驻点3)判别因故 为极小值;又故需用第一判别法
5、判别.机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY定理定理3(判别法的推广判别法的推广)则:数,且1)当 为偶数时,是极小点;是极大点.2)当 为奇数时,为极值点,且不是极值点.当 充分接近 时,上式左端正负号由右端第一项确定,故结论正确.机动 目录 上页 下页 返回 结束 证证:利用 在 点的泰勒公式,可得 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UN
6、IVERSITY例如例如,例2中所以不是极值点.极值的判别法(定理1 定理3)都是充分的.说明说明:当这些充分条件不满足时,不等于极值不存在.例如例如:为极大值,但不满足定理1 定理3 的条件.机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY二、最大值与最小值问题最大值与最小值问题 则其最值只能在极值点极值点或端点端点处达到.求函数最值的方法求函数最值的方法:(1)求 在 内的极值可疑点(2)最大值最小值机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZH
7、OU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY特别特别:当 在 内只有一个极值可疑点时,当 在 上单调单调时,最值必在端点处达到.若在此点取极大 值,则也是最大 值.(小)对应用问题,有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大 值点或最小值点.(小)机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY例例3.求函数在闭区间上的最大值和最小值.解解:显然且故函
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- 最大值 最小值 问题
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