计算机控制系统电子教案单元设计 (4).doc

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1、第4章 计算机控制系统的数学描述及脉冲传递函数本章将系统地讲述有关计算机控制系统的数学描述问题，并根据系统的数学描述对系统进行动态分析。线性离散系统的数学描述形式和线性连续系统的数学描述形式是相对应的，通常有差分方程，脉冲传递函数（又称Z传递函数），单位脉冲响应序列（又称权序列），离散状态空间表达式等四种数学描述形式。它们分别与连续系统的四种数学描述形式相对应。离散状态空间表达式在第9章进行研究。 系统分析和系统设计时所采用的方法有关，一般是，不同的方法采用不同形式的数学描述。4.1离散系统 离散时间系统（简称离散系统），简单地说就是其输入和输出信号均为离散信号的物理系统。在数学上，离散系统可

2、以抽象为一种由系统的离散输入信号到系统的离散输出，（）的数学变换或映射。若将这种变换或映射以符号表示，则离散系统可表示为 （4.1） 图4.1离散系统框图离散系统可用框图表示如图4.1所示。其中和分别表示系统的输入和输出在时刻的数值。1. 线性离散系统：如果离散系统的输入信号到输出信号的变换关系满足比例叠加原理，即当输入信号为时，其中为任意常数，系统相应的输出信号可表示为 则该系统就称为线性离散系统。若不满足比例叠加原理，就是非线性离散系统。2. 时不变离散系统：是指由输入信号到输出信号之间的变换关系不随时间变化而变化的离散系统，即时不变离散系统应满足如下关系，若，那么当系统输入信号为时，则相

3、应的输出信号为 时不变离散系统又称为定常离散系统。3.线性时不变离散系统：是指系统的输入信号到输出信号之间的变换关系既满足比例叠加原理，同时其变换关系又不随时间变化而变化的离散系统。工程中大多数计算机控制系统可以近似为线性时不变离散系统来处理。所以本书以后的论述仅限于线性时不变离散系统。4.2差分方程 线性时不变离散系统的基本数学描述是常系数线性差分方程。差分方程有前向差分方程与后向差分方程之分。为了方便，这里提到差分方程，若无特别说明，均指线性常系数差分方程；系统是指线性时不变离散系统。 图4.1离散系统框图 4.2.1线性常系数差分方程 （图4.1重绘与此）设有一单输入、单输出的线性时不变

4、离散系统，如图4.1所示。显然，在某一采样时刻的系统输出值不仅与该时刻的输入值有关，而且与过去时刻的输入值，有关，还和过去时刻的输出值有关。这种关系可以描述为 （4.2）式中，均为实常数，为方程的阶次。因此，式（4.2）称为阶后向非齐次差分方程。对于阶差分方程，其余系数都有可能为零。若，就相当于方程的阶次降为阶。若则相应离散系统有一拍（即一个采样周期T）的延迟，即系统在时刻输出只与以前各时刻的输入有关，而与当前时刻的输入值无关。若，则相应离散系统存在拍延迟，即系统当前时刻的输出只与以前时刻的输入有关。与方程（4.2）类似，非齐次阶前向差分方程基本形式为 （4.3）式中，均为实常数。对于有因果关

5、系的物理系统，方程中总是。若，将式（4.3）的两边右移拍，即上式右边第一项为，令，即有项，说明当前的输出与未来输入有关，即不是因果关系。表明方程描述的离散系统输出信号超前于输入信号，即输入信号尚未作用于系统，其对应的输出信号就已出现，或者说系统当前时刻的输出与未来时刻输入值有关。这种情况在现实的物理系统是不可能出现的。当，表明相应的系统存在延迟，若则相应离散系统的输出相对于输入有拍延迟。 工程上差分方程都是采用其标准形式如方程（4.2）和（4.3）形式，至于前向差分方程和后向差分方程，并无本质区别，前向差分方程多用于描述非零初始值的离散系统，而后向差分多用于描述全零初始值的离散系统。若不考虑系

6、统初始值，就系统输入与输出关系而言两者完全等价，可以相互转换。4.2.2差分方程求解 差分方程求解，就是在系统初始值（即系统输入、输出的初始值）和输入序列已知的条件下, 求解差分方程描述的系统在任何时刻的输出序列值。差分方程解的形式与微分方程解相似，非齐次差分方程的解是由通解加特解组成的。通解表示方程描述的离散系统在输入为零情况下（即无外界作用）由系统非零初始值所引起的自由运动，它反映系统本身所固有的动态特性；特解表示方程描述的离散系统在外界输入作用下所产生的强迫运动，它既与系统本身的动态特性有关，又与外界输入作用有关，但与系统初始值无关。 求解线性时不变差分方程有三种基本方法，即经典解法、计

7、算机迭代编程法以及Z变换法。1. 差分方程的经典解法与（4.2）式相应的齐次方程为 （4.4）设满足齐次方程（4.4）的通解具有的形式，并将其代入（4.4）式，得因为，故得 （4.5）用乘（4.5）式的两边，得 （4.6）式（4.6）称为齐次方程（4.4）的特征方程。若特征方程有两两相异的特征根，则 （4.7）式（4.7）称为齐次方程（4.4）的通解。式中系数由初始值求出。若特征方程有的重特征根，那么差分方程的通解为 （4.8）若为复数或虚数时，总是成对出现，每对复数特征值所对应的自由运动分量呈现衰减振荡或发散振荡，每对虚特征值所对应的自由运动分量呈现等幅振荡。 当差分方程包含输入作用时，称该

8、方程为非齐次方程。非齐次方程的特解与微分方程的特解类似，特解的形式要经过试探才能确定。表4.1列出了非齐次差分方程常见的特解形式。表4.1 非齐次差分方程常见的特解形式输入量输出量不是差分方程的任何特征根是差分方程的特征根之一相异根次重根 例4.1 求解差分方程 （4.9）的解。初始值。 解 该差分方程的特征方程为所以，特征根为因此差分方程的通解为设差分方程的特解为代入（4.9）式，得 （4.10）比较（4.10）式两边系数，得 则，差分方程的特解为 因此，差分方程的全解为利用初始值代入上式， 则 将C值代入上式，可得差分方程的全解为 2利用计算机编程解差分方程 高阶差分方程不论前向或后向差分

9、方程，都是一种递推算法，任何差分方程都可以用递推算法求解。现对一般阶前向差分方程递推求解予以说明，为便于计算，将阶前向差分方程（4.3）改写为 （4.11）只要知道输出序列初始值和任何时刻的输入序列，那么系统任何时刻的输出序列，都可以由式（4.11）逐步递推计算出来。 例4.2 求下列差分方程的解。式中 且 。解 令一步一步迭代解差分方程。 利用MATLAB语言编程 ；MATLAB语言数组编号由1开始，这里表示实际，。 ；为要计算的拍数，根据需要设置。 ；输入 ；用迭代式计算的值。以上程序计算出的值，（）。 差分方程的迭代算法，虽然计算简明，不需要更多的数学知识，但它只能计算出有限个序列值，在

10、一般情况下，得不到方程解的解析表达式，即系统输出序列的一般项表达式。 3Z变换法 用Z变换方法解差分方程同用拉氏变换求解微分方程类似，其步骤如下： 利用Z变换线性性质和位移定理对差分方程两边分别进行Z变换，将差分方程变为以Z为变量的代数方程； 代入系统初始值，通过同类项合并、整理，得到输出Z变换的表达式； 对已知的输入序列进行Z变换，并将其Z变换代入的表达式中，使成为确定的Z的函数； 对进行Z反变换，求得相应的输出序列的表达式。 例 4.3 试用Z变换方法求解例4.2差分方程。, （4.12）差分方程输入 ，且。 解 利用Z变换的实平移定理对式（4.12）两边求Z变换，得即 因为输入 所以 因

11、而 用反演积分法求的反变换，上式含有二重极点，所以 与例4.2所求结果是一样的。 上例中，没有给出初始值，因而对后向差分方程作Z变换。如果给出输出的初始值，则应对前向差分方程求Z变换。 例4.4 试用Z变换方法求解例4.2差分方程，本例给出初始值。, （4.13）差分方程输入 ，且。 解 因为本例中只给出了一个初始值，因此将（4.13）式前移一步，写成前向差分方程的形式，即 （4.14）对（4.14）式两边作Z变换，得代入初始值，整理得 （4.15）上式右边第一项为差分方程的特解Z变换，表示系统在外界输入作用下的强迫运动；右边第二项为差分方程的通解Z变换，表示系统由初始值引起的自由运动。显然，

12、上式右边两项的分母多项式就是差分方程（4.14）的特征多项式。 由例4.3可知，代入式（4.15），得 （4.16）用反演积分法求上式的Z反变换上式右边表达式含有二重极点，因此 （4.17）由差分方程的解（4.17）表达式可以求出，即为本例给出的初始值。 4.3 脉冲传递函数（Z传递函数）我们仿效连续系统理论的思路，利用Z变换引出离散系统脉冲传递函数的概念。脉冲传递函数可以简称为Z传递函数，为后面进一步研究离散系统复域分析与设计方法奠定基础。4.3.1脉冲传递函数定义 在连续系统理论中，传递函数定义为：连续系统在初始静止状态下，即系统初始值为零，系统输出信号的拉氏变换与对应的输入信号拉氏变换之

13、比，即 （4.18）与此类似，线性离散控制系统中，在初始值为零的条件下，一个系统（或环节）输出序列Z变换与输入序列Z变换之比，定义为该系统（或环节）的脉冲传递函数。 （4.19） 由脉冲传递函数的定义式（4.19）可知，离散系统输出信号的Z变换可以表示为系统的脉冲传递函数与输入信号Z变换的乘积，即图4.2 离散系统方框图 （4.20）离散系统也可以采用方框图直观表示形式，如图4.2所示。脉冲传递函数是离散系统动态特性的一种数学描述形式，它只与系统本身特性有关，而与外部输入形式无关。此外， 脉冲传递函数和连续系统传递函数一样，仅适用于线性、时不变系统，而不适用于非线性和时变系统。 离散系统的脉冲

14、传递函数可以由描述离散系统的差分方程通过Z变换求出或离散系统的单位脉冲响应序列通过Z变换求出。4.3.2 脉冲传递函数的求取脉冲传递函数是离散系统在Z域的描述形式，差分方程则是离散系统特性在时间域的描述形式，若不考虑系统初始值的作用，两者是相互对应的，可以互相转换。若给定系统的差分方程，只要令系统初始值为零，对差分方程等号两边分别作Z变换，通过整理，便可获得相应的脉冲传递函数。1、由离散系统差分方程求脉冲传递函数 设离散系统的差分方程为 （4.21）令系统初始值均为零，即，利用前向实平移定理，对上式两边作Z变换，得 （4.22）整理后，便得到输出Z变换与输入Z变换之比，即脉冲传递函数为 （4.

15、23）对于后向差分方程 （4.24） 由于后向差分方程我们已经约定只描述初始值为零的系统，所以不必考虑初始值，直接利用实平移延迟定理对方程中各项作Z变换,得 （4.25）整理后，得相应的脉冲传递函数为 （4.26）由上式可以看出，脉冲传递函数有两种形式:一种是（4.23）式的形式，为复变量Z的有理形式；另一种则是（4.26）式的形式，为复变量的有理分式形式。这两种形式是等价的，可以相互转换。脉冲传递函数也可以转换为相应的差分方程，假设给定脉冲传递函数如（4.23）式，则首先化成如下方程再利用零初始条件下输出、输入序列与其Z变换之间的对应关系，进一步得到相应的差分方程为 若给定的脉冲传递函数如式

16、（4.26）形式，即是的有理分式形式，通过类似操作，同样可以转化为（4.24）式的后向差分方程。2脉冲传递函数与单位脉冲响应序列的相互转换 离散系统的单位脉冲响应序列（也称权序列）是与连续系统的单位脉冲响应函数（又称权函数）相对应的一个重要概念。它是离散系统特性的又一种描述形式，在系统建模、系统分析和系统设计中十分有用。单位脉冲响应序列与脉冲传递函数可以相互转换。 离散系统的单位脉冲响应序列是指离散系统在初始静止状态下，在输入为离散单位脉冲的作用下所产生的输出序列，如图4.3所示。图4.3 离散系统单位脉冲响应 由脉冲传递函数定义因为单位脉冲的Z变换为所以 因此，我们说系统或环节的脉冲传递函数

17、为线性离散系统对输入时相应输出序列的Z变换。由此，还可以导出 由以上说明可以看出，如果某一控制系统的传递函数为，那么该系统的脉冲传递函数可依据下列步骤求出： 用拉氏反变换求脉冲过渡函数； 将按采样周期T离散化，得； 应用定义求出脉冲传递函数，即为了讨论方便，我们将上述过程简记为 （4.27）并称之为求传递函数所对应的Z变换。以上几个步骤说明：已知，求其所对应的的含义和过程，具体操作时，也可以采用第三章所讲过的查表方法等。例4.5 某系统的传递函数为，求所对应的脉冲传递函数及单位脉冲响应。解 求因为，查Z变换表，所以上式 求所对应的单位脉冲响应 ；时，因而 4.4 计算机控制系统脉冲传递函数及系

18、统方框图变换方法 为了分析计算机控制系统的动态特性，就必须采用脉冲传递函数来描述该系统。本节我们研究计算机控制系统脉冲传递函数的求取方法。 4.4.1 计算机控制系统脉冲传递函数 图4.4 中间有采样开关的串联环节方框图1.开环脉冲传递函数的求取现在我们来研究图4.4所示开环系统，求取它的脉冲传递函数。图4.4中，表示时域连续信号，表示的采样信号，表示的拉氏变换，表示采样信号的拉氏变换，其它信号表示以此类推。可以看出带有“*”号的信号为离散信号，并且，或，同样，其它信号以此类推。 由图可知，对以上两式取“*”拉氏变换（即离散化），得将代入的表达式，则使用Z变换记号 （4.28）因而，输出与输入

19、之间的脉冲传递函数为 （4.29） 图4.5 两环节间无采样开关下面我们来研究图4.5所示系统，系统中两个环节之间没有采样开关。 由图可以看出式中 对表达式取“*”拉普拉斯变换，得用Z变换的形式写出则，输出与输入之间的脉冲传递函数为特别值得注意的是， （4.30）2.闭环系统的脉冲传递函数 求取闭环系统的脉冲传递函数情况比较复杂，主要是因为闭环系统的环节多，而且采样开关的位置也不相同，这样，只能根据不同情况，分别推导。在图4.6中，数字部分表示计算机控制算法，它的输入和输出皆为离散序列，因而可以用脉冲传递函数来表示它的输出、输入之间的关系。如果再能求出连续部分的等效脉 图4.6简单计算机闭环控

20、制系统框图冲传递函数，则能够求出系统的闭环脉冲传递函数。现在我们分别来求出这两部分的脉冲传递函数。 数字部分的脉冲传递函数计算机执行的各种各样的控制算法，都是事先设计好的，而且为了便于在线计算，通常都是化为差分方程形式，即 （4.31）在计算机实现上述控制算法的程序中，通常又将（4.31）式改为如下递推算式 （4.32）将控制算法的差分方程（4.31）式通过在初始值为零条件下进行Z变换，便得到计算机控制系统中数字部分，亦即计算机的脉冲传递函数 （4.33） 在Z域中设计出的计算机控制系统的控制算法（或数字控制器）通常都是以Z传递函数的形式给出的。编写计算机控制程序时，可将设计好的Z传递函数形式

21、的控制算法化为相应的差分方程（4.31）式，进而导出控制信号的递推计算式（4.32）并编写程序。数字部分的Z传递函数（4.33 ）式，与控制算法的差分方程（4.31）式或控制信号的递推计算式（4.32）之间是一一对应的。 连续部分的脉冲传递函数计算机控制系统中的连续部分是由连续被控对象和保持器串联构成的。保持器的作用是滤除计算机输出的离散控制信号的高频分量，获取其中有用的低频分量，同时将离散信号转换为阶梯形连续信号。计算机控制系统通常都是采用易于实现的零阶保持器，如图4.6所示，所以，连续部分的传递函数为 （4.34）式中，为连续被控对象的传递函数，称（4.34）式为广义被控对象传递函数。由图

22、4.6可以看出，连续部分的输入是计算机输出的离散控制信号，其输出是广义被控对象的连续输出信号。由于连续输出信号要经过采样和A/D转换后反馈到计算机中，所以我们感兴趣的是在采样时刻的值，即的采样信号。因此计算机控制系统中的连续部分可以当作一个离散环节（或系统）来处理，当然也可以用脉冲传递函数来描述它的输出采样信号与离散输入信号之间的动态关系。参见图4.7。 按照Z传递函数的定义，连续部分等效脉冲传递函数为 （4.35） 图4.7 连续部分等效的脉冲传递函数式中，, 。由图4.7还可以看出， （4.36） 应当强调指出，当连续部分的输入不是离散信号，而是连续信号时，即便连续部分输出端有采样开关如图

23、4.8(a)所示，连续部分也不能等效为离散环节(或系统)，当然不能用Z传递函数来描述它的输出采样信号与连续输入信号之间的关系。这是因为在这种情况下，连续部分的输出采样信号的Z变换为 (4.37)显然，连续部分的输入的Z变换不能从输出Z变换表达式(4.37)中分离出来，所以在这种情况下，虽然输出可以用Z变换表示，但不存在Z传递函数。而当连续部分的输入是离散信号时，即使连续部分输出无采用开关，只要我们需要了解连续部分的输出在采样时刻的值与输入之间的关系，连续部分仍然可以等 4.8 不同情况下连续环节的等效脉冲传递函数效为一个离散环节（或系统）。这种情况相当于在连续输出端设置一个虚拟采用开关，如图4

24、.8（b）所示。连续部分的虚拟开关后的输出与连续部分输入之间的关系就同图4.7中连续部分的输出与输入关系完全相同，所以这种情况下的连续部分的输出与输入之间的动态关系也可以用脉冲传递函数（Z传递函数）来描述。 将上述情况推而广之:一个连续环节或系统只要其输入是离散信号，则不论其输出端有无采样开关，都可以等效为一个离散环节或系统，而且其输出与输入之间的动态关系可用Z传递函数来描述；若连续环节或系统的输入是连续信号，则不论其输出端有无采样开关，不可等效为离散环节或系统，其输出与输入之间的动态关系也不能用Z传递函数描述，而且也不存在Z传递函数。 下面我们研究计算机控制系统的闭环脉冲传递函数推导计算问题

25、。首先考虑图4.6中的典型单回路计算机控制系统，该系统等效框图如图4.9所示。 图4.9 典型计算机控制系统框图图中，是计算机执行的数字控制器的脉冲传递函数所对应的星号变换，对应的Z变换为。后面的采样开关是虚拟开关，用以表示数字控制器输出是采样信号，其采样周期和偏差信号采样周期T相同。由图4.9可知， （4.38） （4.39） （4.40）将（4.40）式代入（4.39）式，得 （4.41）将（4.41）式代入（4.38）式，得 （4.42）由上式解出 （4.43）上式写成Z传递函数的形式，得出系统闭环脉冲传递函数为 （4.44）图4.10 非单位反馈的闭环系统 例4.6 研究图4.10所示

26、非单位反馈系统。求出系统闭环脉冲传递函数。 解 对于图4.10所示系统，有 （4.45） （4.46） （4.47）对（4.47）式两边取“*”，得 （4.48）将（4.48）式代入（4.46）式，得 （4.49）由上式求出 （4.50）对式（4.45）两边取“*”，得 （4.51）将式（4.50）代入式（4.51），得将此式写成Z闭环传递函数形式 （4.52）4.4.2 计算机控制系统方框图分析 通过上面的两个例子，我们发现，计算机控制系统方框图的分析与连续控制系统方框图的分析有很多相似的地方，如图4.9的单位反馈控制系统，其闭环脉冲传递函数为（4.44）式 图4.11 采样开关不在综合点之

27、后的系统上面的表达式表明，与连续控制系统闭环传递函数有相似的形式，对于负反馈控制系统来说，其闭环传递函数的公式表达式为一分式，其分子为闭环系统前向脉冲传递函数，其分母为1+系统开环脉冲传递函数。上式中，即为计算机控制系统的开环脉冲传递函数。 例 4.7 分析图4.11所示系统输出的表达式。 解 由4.11方框图可知，采样开关不在综合点处，而是在与之间。由图可以得出以下方程 （4.53） （4.54） （4.55）将式（4.55）代入式（4.54） （4.56）将式（4.53）代入式（4.56），得 （4.57）上式两边取“*”，得 （4.58）将式（4.58）代入式（4.53），得 上式两边取

28、“*”，得将上式写成Z传递函数的形式 （4.59） 由上两式可以看出，输入同是连接在一起的，求不出单独输入的Z变换，因而也就得不出该系统的脉冲传递函数，但是可以求出系统输出的表达式，表达式中包含了输入信号的作用，因而，尽管写不出该系统的闭环脉冲传递函数，但仍然可以根据的表达式对确定的输入对系统进行分析，如系统的稳定性、性能指标等。 例4.8 写出图4.12所示系统输出的Z表达式。 解 和例4.7一样，系统中采样开关不在综合点之后，图4.12 采样开关在反馈回路的系统框图可以预见该系统同样写不出闭环脉冲传递函数，但是，可以写出系统输出的表达式。 由图4.12我们可以写出下列方程 （4.60） （

29、4.61）将（4.61）式代入式（4.60），得（4.62）对上式两边取“*”，得由此得 （4.63）将上式写成Z传递函数形式 （4.64）由式（4.64）可以看出，因为采样开关不在系统综合点之后，输入的Z变换不能分离出来，因而写不出闭环系统的脉冲传递函数。现在，我们来研究一般计算机控制系统方框图的分析方法。对于含有多个采样开关的系统，求脉冲传递函数时，将系统输出及误差，每个采样开关的输入作为未知量列方程，然后分别取“*”，联立解出输出的星号变换，进而求得系统的闭环Z传递函数或系统输出表达式。举例说明以上的分析方法。 图4.13 含有多个采样开关的系统例4.9 分析图4.13，求系统输出表达式

30、及系统闭环脉冲传递函数。 解 由图可以看出，在综合点之后存在有采样开关，因而，可以肯定，可以求出该系统的闭环脉冲传递函数。现在列出系统输出，两个采样开关输入及的方程 （4.65） （4.66） （4.67）对及方程两边取“*”，则 （4.68） （4.69）将方程（4.69）代入方程（4.68），得 （4.70）将方程（4.70）代入（4.65），得 （4.71）对上式两边取“*”，得 （4.72）将上式写成Z传递函数的形式，则有 （4.73）该系统可以写出它的闭环脉冲传递函数 （4.74） 由本例单回路反馈系统分析可以看出，如果紧跟综合点之后存在采样开关，则可仿照连续系统采用公式法求其闭环脉

31、冲传递函数，只是在这里用Z函数来表示。仍以本例来说明这种方法。在连续负反馈系统中公式法表明，系统闭环传递函数为 （4.75）仿照此公式，分析图4.13，因为紧跟综合点之后存在采样开关，所以系统前向Z传递函数为，系统开环Z传递函数为。需要说明的是，系统中和之间没有采样开关，因而它们的Z传递函数应为。和之间存在有采样开关，因而，可以单独写出它的Z传递函数。由以上分析可以直接写出计算机控制系统的闭环脉冲传递函数 对于系统中紧跟综合点之后，如果没有采样开关，虽然求不出系统的闭环脉冲传递函数，但是仿照上述方法仍然可以求出闭环系统输出的表达式。 例4.10 再次分析图4.11所示系统，求系统闭环输出的表达

32、式。 解 由4.11系统图可见，紧跟综合点之后没有采样开关，因而该系统求不出它的闭环脉冲传递函数，但可以求出它的闭环输出的表达式。 前向通道：系统前向脉冲传递函数为，注意，这里应将置于前向通道，与之间不存在采样开关，因而与是连接在一起的，写成Z传递函数形式即为。而与之间存在采样开关，相应的Z传递函数为。 系统开环Z传递函数：从系统开环角度看，因为与之间仍然有连在一起的地方，所以系统开环Z传递函数为。因而系统闭环输出表达式为 （4.76）以上我们对单回路闭环系统脉冲传递函数的求法进行了研究，下面我们对多回路计算机控制系统进行研究，仿照上述公式方法，求出闭环系统的脉冲传递函数。例4.11 分析图4

33、.14所示系统，求出系统脉冲传递函数。 图4.14 多环控制系统 解 对于图4.14，综合点之后存在采样开关，可以求出闭环系统脉冲传递函数。将内反馈环的反馈取样点移到之前，如图4.15所示。 图4.15 移动内环反馈点等效方框图 图4.15的内环中，前向通道只是一个采样开关，将其等效为一个离散环节，如图4.16所示。 图4.16 内反馈环简化后等效方框图仿照前例单闭环脉冲传递函数的求法，其等效脉冲传递函数为 （4.77）这样，图4.16为单闭环反馈系统，前向传递函数为，因为是单位反馈，其开环传递函数同为。用公式法求系统闭环传递函数为 （4.78）式（4.78）两边取“*”，则 （4.79）将代入上式，得整理上式，得 （4.80）将上式写成Z传递函数形式 （4.81）- 46 -