8.3逆矩阵及初等变换.docx

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1、教 案授课时间 班 周星期 第 节 班 周星期 第 节 班 周星期 第 节课 次1学时数2授课形式（请打）纯理论 纯实践 理实一体化 习题课 其他授课题目 8.3 逆矩阵教学目的懂得逆矩阵概念；了解逆矩阵的性质；会判定逆矩阵的存在性；掌握初等变换求逆矩阵的方法教学重点逆矩阵的判定和求逆矩阵教学难点求逆矩阵使用的教具/多媒体/仪器/仪表/设备等PPT; Flash，计算机；Mathematica 软件教学方法演示教学法、小组学习法.教学过程设计意图一、实例引入破译密文与构造密钥是当今密码学的热点，如何用矩阵理论来解析密码学中的“加密”和“解密”？呢？1.新授 一、逆矩阵的概念 n元线性方程组可用

2、矩阵表示为AX=B,(8-10)其中 ，叫做方程组的系数矩阵,叫做未知矩阵，叫做常数项矩阵。式（810）叫做矩阵方程，显然解线性方程组的问题就变成求矩阵方程（810）中未知矩阵X的问题。定义1设是n阶方阵，若存在n阶方阵，使得AB=BA=I，则称矩阵A为可逆矩阵（或非奇异方方阵），B称为A的逆矩阵（简称逆阵）。记作。设n阶方阵A、B均可逆，容易验证逆矩阵满足下列性质:设和为同阶可逆方阵，数则（1）；（2）；（3）；（4）（5）二、矩阵可逆的判别与逆矩阵的求法 定理1 设A为n阶方阵，则A可逆的充分必要条件是0,且有 （8-11）其中，称，叫做的伴随矩阵，为行列式 中元素的代数余子式。例1设，判

3、定A是否可逆，若可逆，求解：因为例2设，判断与是否互为逆矩阵？解：，由定义知与互为逆矩阵当矩阵的阶数很大时，用定理1求逆矩阵的计算量很大，下面介绍更简便的求逆矩阵的方法。例3、用逆矩阵法解线性方程组解：将线性方程组写成矩阵方程AX=B，其中所以在方程AX=B的两边同时左乘，得所以原方程组的解为例4、求解矩阵方程 X=解：设,，则原方程可写为所以，由于可逆，则由得，从而矩阵密码法是信息编码与解码的技巧，其中的一种就是基于利用可逆矩阵的方法，先在26个英文字母与数字间建立一一对应关系，例如可以是：若要发出信息 “I LOVE YOU” ;使用上述代码，则此信息码为：“9,12,15,22,5,25

4、,15,21”,此种编码很容易被别人破译我们可以用矩阵乘法对明文“I LOVE YOU”进行加密，进行加密后传送.然后合法用户进行解密，具体做法如下:（1）选择一个可逆矩阵作为加密矩阵，如选择：记明文的编码为 (空格对应于0)(2)即密文编码为”24,3,-3,37,-17,-10,21,-21,0 ”.(3)合法用户解密:只用左乘上述矩阵便可得到“明码”.四、课堂练习 1利用矩阵的初等行变换判断下列矩阵是否可逆，若可逆，求其逆.(1)； (2) ;(3)； (4) 2已知矩阵方程X=，求矩阵X五、课堂小结1.逆矩阵概念2.可逆矩阵的性质3.矩阵可逆的判别4.用初等变换法求矩阵的逆六、布置作业:P158、10、11用引例引入新课，增加学生学习兴趣线性方程组用矩阵表示罗列逆矩阵性质，忽略证明伴随矩阵法为逆矩阵的判别提供了很不错的方法，但计算较繁要求知晓计算低阶的伴随矩阵，高阶的另有方法介绍初等行变换方法用初等行变换求矩阵的逆时强调最后结果要检验，把结果与已知矩阵相乘看是否为单位阵逆矩阵在求解线性方程组中的应用矩阵在密码学中的简单应用，这部分知识的引入，一方面让学生感知数学的应用性，另一方面激发学生对数学的兴趣，引导学生思考：再找出一个3阶矩阵作为加密矩阵，并求出密文编码 总结课堂内容，加深所学知识