圆锥曲线讲义--高三数学一轮复习.docx

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1、第十二章 圆锥曲线本部分的要求主要有三个方面：第一，考查圆锥曲线的定义，求圆锥曲线的标准方程，求曲线的轨迹方程；第二，根据圆锥曲线的标准方程确定圆锥曲线的几何性质(主要是参数a，b，c，p、焦点坐标、顶点坐标、离心率e、抛物线的准线方程、双曲线的渐近线方程等)；第三，考查直线与圆锥曲线的位置关系，解决有关综合问题；一.知识与方法梳理：(一)圆锥曲线定义、标准方程、几何性质：项目椭圆双曲线抛物线定义平面内到两定点距离之和为定值（大于两定点距离）的点的轨迹平面内到两定点距离之差的绝对值为定值（小于两定点距离）的点的轨迹平面内到一定点距离与到一定直线的距离（定点不在定直线上）相等的点的轨迹定义的数学

2、表示|FF|+|PF|=2a|FF|PF|-|PF|=2ab0)焦点在x轴上：x2ay2b=1 (a0,b0)y=2px(p0) (焦点在x轴正半轴上)y=2px(p0)(焦点在x轴负半轴上)标准方程（二）焦点在y轴上：y2a+x2b=1 (ab0)焦点在y轴上：y2ax2b=1 (a0,b0)x=2py(p0) (焦点在y轴正半轴上)x=2py(p0)(焦点在y轴负半轴上)标准方程与焦点位置系数大小决定焦点系数符号决定焦点一次项和系数符号决定焦点焦点坐标与准线方程(一)F(c,0),x=a2c(二)F(0,c), y=a2c(一)F(c,0), ,x=a2c(二)F(0,c), y=a2c(

3、一)F(p2,0), ,x=p2 ;F(p2,0), ,x=p2(二)F(0, p2), y=p2F(0, p2), ,y=p2离心率e=ca(0,1)e越大椭圆越扁;e=ca(1,+)e越大开口越阔;e=1p越大开口越阔;顶点A(a, 0),B(0,b)(一)A(a,0);(二)A(0,a)O(0,0)对称性关于x轴、y轴、原点对称：关于x轴、y轴、原点对称；(一)关于x轴对称;(二)关于y轴对称;渐近线无（一）x2ay2b=0y=bax;（二）y2ax2b=0y=abx;双曲线的焦点到渐近线的距离恒等于b；无参数的几何意义b+c=a;a:长半轴长;b短半轴长;c:半焦距;a+b=c;a:实

4、半轴长;b:虚半轴长;c:半焦距;p:焦准距焦半径（第一标准型）|PF|=aex（左右）左支点:|PF|=-(aex)（左右）右支点:|PF|=exa（左右）|PF|=p2+x; PF=p2x;通径（正焦弦）2ba2ba2p最值椭圆上点到焦点距离最大值a+c,最小值a-c;过焦点的最短弦长2ba,最大弦长为2a;过中心的最长弦长为2a,最短弦长为2b:双曲线上点到焦点距离最小值ca(同支)或c+a(异支），无最大值;过焦点的最短弦长2ba (同支)或2a(异支），无最长弦；过中心的最短弦长为2a,无最长弦;抛物线上点到焦点距离最小值p2,无最大值;过焦点的最短弦长2p,无最长弦；注：等轴双曲线

5、：实轴与虚轴长相等的双曲线叫等轴双曲线；“离心率 e=2,是“双曲线为等轴双曲线”的充要条件；共轭双曲线：将双曲线的实轴与虚轴对换后所得的双曲线，称为原双曲线的共轭双曲线；双曲线 x2a2y2b2=1a0,b0)的共轭双曲线方程为 x2a2y2b2=1a0,b0);互为共轭双曲线具有共同的渐近线；具有相同的焦距；并且其离心率满足 1e12+1e22=1;(二)关于圆锥曲线的定义：(1)椭圆:若|PF|+|PF|=2a|FF|=2c,则该轨迹为椭圆;若|PF|+|PF|=2a=|FF|=2c,则该轨迹为线段FF；若|PF|+|PF|=2a|FF|=2c,则无轨迹。(2)双曲线:若|PF|-|PF

6、|=2a|FF|=2c,则无轨迹。若|PF|-|PF|=2a|FF|=2c,则该轨迹为双曲线的一支(含F的一支)；若|PF|-|PF|=2a=|FF|=2c,则该轨迹为以F为端点的一条射线；(3)抛物线: |PF|=dpl且F在1外，则该轨迹为抛物线； PF=dpl且F在l上，则该轨迹为过F垂直于l的直线；(4)圆锥曲线的统一定义：平面内到一个定点F的距离与到一定直线l的距离之比为定值e的点的轨迹为圆锥曲线(其中F在1外且0e1时为双曲线；e=1时为抛物线；)，其中该定点为焦点，该定直线为该焦点对应的准线。(5)定义体现的是圆锥曲线上点的几何条件，常常在解决问题中体现出几何方法，与平面几何、解

7、三角形知识结合来解决问题；(6)椭圆焦点三角形的性质：椭圆 x2a2+y2b2=1ab0)上的一点P(x,y) (y0)和焦点F(-c,0)、F(c,0)为顶点的PFF,称为焦点三角形。记FPF=,PFF=,PFF=,则有(请自己证明和推导):|PF|+|PF|=2aFPF的周长为2(a+c);(2c)=|PF|+|PF|-2|PF|PF|cos;离心率 e=sin+sin+sin;（正弦定理）【证明如下】 SPF1F2=12|PF1|PF2|sin=b2sin1+cos=b2tan2;【证明如下】当P为短轴的两个端点时，最大。越向两侧，越小。【证明如下】(7)双曲线焦点三角形的性质：以双曲线

8、 x2a2y2b2=1a0,b0)上的一点P(x,y)(y0)和焦点F(-c,0)、F(c,0)为顶点的PFF,称为焦点三角形。记.FPF=,PFF=,PFF=,则有(请自己证明和推导)：|PF|-|PF|=2a;(2c)=|PF|+|PF|-2|PF|PF|cos;离心率e=sin+sinsin;【证明如下】 SPF1F2=12|PF1|PF2|sin=b2sin1cos=b2cot2。【证明如下】(8)抛物线焦点弦的性质：已知过抛物线y=2px (p0)焦点的直线交抛物线于A、B两点,则线段AB称为抛物线的焦点弦,设A(x,y)、B(x,y),则有(请自己证明和推导): x1x2=p24,

9、y1y2=p2;【证明如下】焦半径 |AF|=x1+p2;【证明如下】焦点弦长|AB|=x+x+p或 |AB|=2psin2(其中为直线AB的倾斜角)；为抛物线对称轴的夹角，倾斜角为【证明如下】以焦点弦AB为直径的圆必与其准线相切；以焦半径为直径的圆必与y轴相切；【证明如下】 SAOB=p22sin;【证明如下】 1|AF|+1|BF|=2p【证明如下】拓展：A.以椭圆焦点弦AB为直径的圆必与该焦点对应的准线相离；证明:设A、B的坐标分别为A(x,y)、B(x,y),弦AB的中点记为M(x,y ),分别记从A、B、M到准线 x=a2c的距离为 d、d、d,根据椭圆的第二定义,可得: |AM|d

10、1=e、|BM|d2=e,所以圆的半径： R=|AB|2=|AM|+|BM|2=ed1+ed22=ed1+d22=ed01 x2a2y2b2=1(或 y2a2x2b2=1) x=asecy=btan(为参数)点P(x，y)在以F为焦点、I为准线的抛物线上 |PF|=dP1A y2=2px(或x=2py) x=2pt2y=2pt,(t为参数)或 x=t22py=t (t为参数)【典例1】如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是(A)A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆【体验练习1】1.已

11、知圆(x+2)+y=36的圆心为M，设A为圆上任一点，且点N(2，0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线2.设F,F分别是椭圆 x225+y216=1的左，右焦点，P为椭圆上一点，M是FP的中点，|OM|=3，则P点到椭圆左焦点的距离为(A.)A.4B.3C.2D.53.椭圆 x2a2+y2b2=1ab0)的左、右顶点分别是A、B,左、右焦点分别是F、F,若|AF|,|FF|,|FB|成等比数列，则此椭圆的离心率为(B) A.14 B.55 C.12 D.524.已知椭圆上有一点P，F，F是椭圆的左，右焦点，若FPF为直角三角形， 则这样

12、的点P有(C)A.3个B.4个C.6个D.8个5.已知P为椭圆 x225+y216=1上的一点,M,N分别为圆(x+3)+y=1)和圆(x3)+y=4.上的点,则|PM|+|PM的最小值为 6.已知椭圆 x2a2+y2b2=1ab0)的离心率等于 13,其焦点分别为A，B，C为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在ABC中， sinA+sinBsinC的值等于_3 .7.如图，已知椭圆C的中心为原点O， F250为C的左焦点，P为C上一点,满足|OP|=|OF|,且|PF|=4,则椭圆C的方程为(B)A.x225+y25=1 B.x236+y216=1 C.x230+y210=1 D.x245+y

13、225=18.已知圆C:(x+3)+y=1和圆C:(x-3)+y=9,动圆M同时与圆C及圆C相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为 9.已知F为双曲线 C:x29y216=121的左焦点，P，Q为C上的点.若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上,则PQF的周长为_44.10.已知双曲线 x2a2y2b2=1a0,b0)的左、右焦点分别为F、F，点P在双曲线的右支上，、且|PF|=4|PF|,则此双曲线的离心率e的最大值为_.h11.已知抛物线y=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,又有点A(3,2),B(3,4),则当并点P的坐标为_(2,2) 时,|PA|+|PF|的最小值为_;

14、|PB|+|PF|的最小值为 。12.设抛物线x=12y的焦点为F，经过点P(2，1)的直线l与抛物线相交于A，B两点，又知点P恰为AB的中点,则|AF|+|BF|= 1013.如图，设抛物线y=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则BCF与ACF的面积之比是(C)A.|BF|1|AF|1 B.|BF|21|AF|21 C.|BF|+1|AF|+1 D.|BF|2+1|AF|2+114.已知双曲线 x264y236=1上一点P到左焦点F的距离为19，则点P到右焦点F的距离为3_；若双曲线 x264y236=1上一点P到左焦点F的距离

15、为17，则点P到右焦点F的距离为 y_;15.如图，过抛物线y=2px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B,交其准线l于点C,若|BC|=2|BF|,且|4F|=3,则此抛物线的方程为_(三)关于圆锥曲线的标准方程：（1）求圆锥曲线的标准方程一般用待定系数法(根据条件确定焦点设方程一列方程(组)-解方程-代入);（2）根据圆锥曲线的方程求有关参数一般需要先转化为标准方程来解决(转化-确定焦点-确定参数)（3）中心在O(m，n)，对称轴垂直于坐标轴的椭圆方程为： xm2a2+yn2b2=1(ab0)或 yn2a2+xm2b2=1(ab0)中心在O(m，n)，对称轴垂直于坐标轴的双曲线方程为：

16、 xm2a2yn2b2=1(a0,b0) 或 yn2a2xm2b2=1(a0,b0)顶点在O(m，n)，对称轴垂直于坐标轴的抛物线方程为：(yn)=2p(xm)(p0)或(xm)=2p(yn)(p0)（4）与x2a2y2b2=1(a0,b0)共轭的双曲线方程为x2a2y2b2=1(a0,b0);互为共轭的双曲线具有共同的渐近线 x2a2y2b2=0即 y=bax,且焦距相等；【典例2】判断方程 x29k+y2k3=1所表示的曲线。【典例3】(1)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，开且边点P(3，0)，则椭圆的方程为 .(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点 P16

17、1,P232,则椭圆的方程为 .(3)经过点M(2,-3)且与椭圆9x+4y=36共焦点的椭圆方程为 ;【提升】：(1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a|FF|这一条件.(2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组.如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx+ny=1(m0,n0,mn)的形式.(3)与椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)共焦点的椭圆标准方程可表示为： x2a2k+y2b2k=1(kb0)有相同离心率的椭圆标准

18、方程可表示为： x2a2+y2b2=(0,焦点在x轴上)或y2a2+x2b2=(0,焦点在y轴上)。【典例4】求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)过点 M342和n945: (2)与双曲线 x29y216=1有共同渐近线，且过点 323; (3)与双曲线 x216y24=1有公共焦点，且过点 322。 【提升】：(1)过已知两点且不知道焦点在哪个轴上时，双曲线的标准方程可表示为：mx+ny=1(mn0);(2)与双曲线共焦点的双曲线标准方程可表示为： x2a2ky2b2+k=1(b2ka2);(2)与双曲线 x2a2y2b2=1共焦点的椭圆标准方程可表示为： x2a2ky2b2+k(k0)

19、共焦点的双曲线标准方程可表示为： x2a2k+y2b2k=1(b2k0)共焦点的椭圆标准方程可表示为： x2a2k+y2b2k=1(k0表示焦点在x轴上的双曲线；0)有相同离心率的双曲线标准方程可表示为： x2a2y2b2=(0),焦点在x轴上)或 x2a2y2b2=(0, 焦点在y轴上)。【体验练习2】1.过点 35,且与椭圆 y225+x29=1有相同焦点的椭圆的标准方程为 2.设F,F分别是椭圆E:x2+y2b2=1(0b0)的焦点，并且与双曲线的实轴垂直，又抛物线与双曲线交于 326点;6.已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1ab0)的左、右焦点为F、F，离心率为 33,过F的直线l交

20、C于A、B两点,若AFB的周长为 43,则C的方程为(A) A.x23+y22=1 B.x23+y2=1 C.x212+y28=1 D.x212+y24=17.如果方程x+ky=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是_8.设椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为 213,一双曲线和椭圆有公共焦点，且其半实轴长比椭圆的半长轴长小4，两曲线的离心率之比为3：7，求双曲线和椭圆的方程。(四)关于圆锥曲线的几何性质：根据曲线方程研究曲线的几何性质，是解析几何的基本问题，通过研究方程中变量的范围、对称性、顶点、特殊点、特殊直线、渐近线、变化趋势等，实现对方程表示的几何图形的定位、定性和定量，这

21、也是函数研究思路的延续。通过圆锥曲线的标准方程，我们可以研究圆锥曲线的几何性质(焦点、顶点、离心率、渐近线、准线等)，反之，我们也可以通过圆锥曲线的几何性质来研究圆锥曲线的方程，这是圆锥曲线问题的基本考点。【典例5】求抛物线y=ax+bx+c(a0)的顶点坐标、焦点坐标、对称轴方程、准线方程；【典例6】椭圆 x2a2+y2b2=1ab0)的右焦点F(c，0)关于直线 y=bcx的对称点Q在椭圆上，求椭圆的离心率.分析：求椭圆的离心率问题的一般思路：求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a，b，c的等式或不等式，利用a=b+c消去b，即可求得离心率或离心率的范围.【体验练习3】1.

22、(教材改编)椭圆 x210m+y2m2=1的焦距为4，则m等于(C)A.4B.8C.4或8D.122.已知椭圆x2a2+y2b2=1ab0)与双曲线x2m2y2n2=1(m0,n0)a-b=c有相同的焦点(-c,0)和(c,0),若c是a、m的等比中项，n是2m与c的等差中项，则椭圆的离心率是(D) A.33 B.22 C.14 D.123.已知两定点A(-1,0)和B(1,0),动点P(x,y)在直线l:y=x+2上移动,椭圆C以A,B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为 .4.从椭圆 x2a2+y2b2=1ab0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F，A是椭圆与x轴正半轴的交点，

23、B是椭圆与y轴正半轴的交点，且ABOP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是(C) A.24 B.12 C.22 D.325.已知椭圆， E:x2a2+y2b2=1ab0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于 45,则椭圆E的离心率的取值范围是(A) A.032 B.034 C.321 D.3416.设椭圆C:x2a2+y2b2=1ab0)的左，右焦点为F，F，过F作x轴的垂线与C相交于A，B两点，FB与y轴相交于点D，若ADFB，则椭圆C的离心率等于7.椭圆 x24+y2=1的左，右焦点分别为F，F，点

24、P为椭圆上一动点，若FPF为钝角，则点P的横坐标的取值范围是_:8.若双曲线 x2a2y2b2=1a0,b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为(C)A.5B.5 C.2D.29.若实数k满足0k0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为 11过双曲线 x2a2y2b2=1a0,b0)的一个焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为点A，与另一条渐近线交于点B，若 FB=2FA,则此双曲线的离心率为(C) A.2 B.3C.2 D.512.平面直角坐标系xOy中，双曲线 C1:x2a2y2b2=1a0,b0)的渐近线与抛物线C:x=2py(p0)交于点O,A,B.若OAB的垂心为

25、C的焦点,则C的离心率为 13.设双曲线 x2a2y2b2=1a0,b0)的右焦点是F，左，右顶点分别是A，A，过F作AA的垂线与双曲线交于B，C两点，若ABAC，则该双曲线的渐近线的斜率为(C) A.12 B.22C.1 D.214.将离心率为e的双曲线C的实半轴长a和虚半轴长b(ab)同时增加m(m0)个单位长度，得到离心率为e的双曲线C，则(D)A.对任意的 a,b,e1b时,ee;当aeC.对任意的a,b,e能eD.当ab时,ee;当ab时,e0)的长轴长、短轴长、焦距成等比数列，离心率为e：双曲线 x2a22 y2b22=1a20,b20)的实轴长、虚轴长、焦距也成等比数列，离心率为

26、e.则ee等于(B) A.22B.1C.3D.217.已知双曲线 x2my23m=1的一个焦点是(0，2)，椭圆 y2n+x2m=1的焦距等于4，则n=_518.过抛物线y=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点.若|AF|=3，则AOB的面积为_.19.已知点A(-2,3)在抛物线C:y=2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为_20.已知抛物线y=2px(p0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为(B)Ax=1B.x=-1Cx=2D.x=-2(五)曲线与方程(轨迹

27、与轨迹方程问题)：解析几何研究问题的基本思路是：曲线方程，即根据曲线的几何条件求出曲线的代数方程，然后由曲线的代数方程，来研究曲线的集合特征(性质)，因而，轨迹与轨迹方程问题是解析几何的基本问题。1.曲线与方程：方程F(x，y)=0是曲线C的方程曲线C是方程F(x,y)=0的曲线1曲线C上点的坐标都是方程Fx，y=0的解纯粹性 ；(2)以方程F(x，y)=0的解为坐标的点都在曲线C上(完备性)； P|PC=xy|Fxy=02.求曲线方程(轨迹方程)，就是求曲线(轨迹)上任一点的坐标关系(约束条件)；3.曲线C:F(x,y)=0与曲线C:G(x,y)=0的交点问题,就是方程组 Fxy=0Gxy0

28、的解的问题；4.求动点的轨迹方程的一般步骤：(1)建系建立适当的直角坐标系;(2)设点设动点的坐标为(x,y);(3)列式把几何条件转化为坐标表示;(4)化简对坐标表达式进行等价的化简变形，(5)证明证明所得方程为符合条件的动点轨迹方程.(事实上，只需回看检验即可)5.求轨迹方程的基本方法：直接法：一边应用数学公式(解析几何、向量、三角等)，将轨迹中动点的几何条件转化为动点的坐标关系，进而求出动点轨迹方程的一种方法：定义法：通过动点的几何关系判定轨迹的类型(符合某类轨迹定义)，进一步确定该类轨迹方程中的有关参数，代入轨迹方程，即可求得该轨迹方程的一种方法；待定系数法：如果根据条件能判定轨迹类型

29、，可以通过设该轨迹方程，然后根据条件列出有关待定系数的方程(组)，进而解出有关待定系数，从而写出动点轨迹方程的一种方法。转移代入法(相关点法)：当动点轨迹问题中，动点的运动是由另一动点(称为相关动点)的运动而引发的，如果该相关动点在一己知曲线上运动，我们即可用该动点坐标表示该相关动点坐标，代入已知曲线方程而求得动点轨迹方程的一种方法；参数法：是一种间接求法，是通过设定一个中间变量作为参数，寻找出动点轨迹的参数方程，然后再消去参数，得出动点轨迹方程的一种方法；点差法：当出现与中点有关的轨迹问题时，经常采用的一种方法是设出相关的所有相关点，然后列出这些点所有的坐标关系，然后通过运算消去所有参数，得

30、出动点坐标关系的一种方法。因为经常需要将点的坐标代入已知方程，并且将两个方程相减、分解、代换，所以将此法叫做点差法；几何法：首先通过几何知识找到动点的几何条件，然后转化为动点坐标的代数关系的一种方法；另外，还有交轨法、极坐标法等，6.求轨迹方程就是求轨迹上动点的坐标关系，而求轨迹则是确定动点的轨迹图形，有时是通过几何关系直接确定轨迹图形，而有时是先求出轨迹方程，然后通过方程的特点来确定轨迹图形的。【典例6】已知两圆C:(x-4)+y=169,C:(x+4)+y=9,动圆P与C内切，与C外切。求圆心P的轨迹和轨迹方程。【典例7】设直线x-y=4a与抛物线y=4ax交于两点A，B(a为定值)，C为

31、抛物线上任意一点，求ABC的重心的轨迹方程.【提升】 “相关点法”是求轨迹方程的重要方法，其基本步骤是：(1)设点:设被动点(动点)坐标为(x,y),主动点(相关动点) 坐标为(x,y);(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式 x1=fx1y,y1=gxy;(用动点坐标表示相关动点坐标)(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程.【典例8】以原点为圆心，分别以a，b(ab)为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点,过点A作ANOx,垂足为N,过点B作BMAN,垂足为M,求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹方程。7.中点弦问题、弦中点问题：若P(x,y)在椭圆

32、 x2a2+y2b2=1内,则被P平分的弦方程是： x0xa2+y0yb2=x02a2+y02b2;【证明】设被P平分的中点弦与椭圆交于点P(x,y)、P(x,y), 则有x12a2+y12b2=1x22a2+y22b2=1,两式相减，可得x12a2x22a2+y12b2y22b2=0,即 1a2x1x2x1+x2+1b2y1y2y1+y2=0,又 x1+x22=x0y1+y22=y0,代入(*)式，可得 x0a2x1x2+y0b2y1y2=0,又因为 y1y2x1x2=kAB=b2x0a2y0,被P平分的中点弦方程为 yy0=b2x0a2y0xx0即 x0xa2+y0yb2=x02a2+y0

33、2b2。若P(x,y)在双曲线 x2a2y2b2=1内,则被P平分的弦方程为： x0xa2y0yb2=x02a2y02b2。【证明】若P(x,y)在抛物线y=2px(p0)内，则被P平分的弦方程为：yy=p(x+x)。【证明】若过点P(x,y)做椭圆 x2a2+y2b2=1的弦，则弦中点的轨迹方程是： x2a2+y2b2=x0xa2+y0yb2;【证明】设过P的弦与椭圆交于点P(x,y)、P(x,y),弦中点记为Q(x,y),则有 x12a2+y12b2=1x22a2+y22b2=1,则有两式相减，可得x12a2x22a2+y12b2y22b2=0,即 1a2x1x2x1+x2+1b2y1y2

34、y1+y2=0,又 x1+x22=xy1+y22=y,)代入(*)式，可得 xa2x1x2+yb2y1y2=0,又因为 y1y2x1x2=kAB=yy0xx0,所以过P的弦中点的轨迹方程为 xa2+yb2yy0xx0=0即x2a2+y2b2=x0xa2+y0yb2。若过点P(x,y)做双曲线 x2a2y2b2=1的弦，则弦中点的轨迹方程为： x2a2y2b2=x0xa2y0yb2;【证明】若过点P(x,y)做抛物线y=2px(p0)的弦，则弦中点的轨迹方程为：y(y-y)=p(x-x);【证明】【体验练习4】1.方程 x2+y24x+y+1=0的曲线形状是(C)2.已知点P是直线2x-y+3=

35、0上的一个动点,定点M(-1,2),Q是线段PM延长线上的一点,且|PM|=|MQ|,则Q点的轨迹方程是(B)A.2x+y+1=0B.2x-y-5=0C.2x-y-1=0D.2x-y+5=03.设定点F(0,-3),F(0,3),动点P满足条件 |PF1|+|PF2|=a+9aa0),则点P的轨迹是4.和点O(0，0)，A(c，0)距离的平方和为常数c的点的轨迹方程为5.已知O方程为x+y=4,过M(4，0)的直线与O交于A，B两点，则弦AB中点P的轨迹方程为6.已知F(-5,0),F(5,0),FPF的顶点P满足:(1)FPF的周长为22,顶点P的轨迹方程为_ 2sinPF1F2sinPF2

36、F1=12sinFP1F2,顶点P的轨迹方程为 7.点M与点F(4，0)的距离比它到直线l：x+6=0的距离小2，则点M的轨迹方程为8.若曲线C上存在点M，使M到平面内两点A(-5，0)，B(5，0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C为“好曲线”.以下曲线不是“好曲线”的是( )A.x+y=5 C.x225+y29=1Dx=16y9.已知点A(1,0),直线l:y=2x-4,点R是直线l上的一点，若 RA=AP,则点P的轨迹方程为(B)A.y=-2xB.y=2xC.y=2x-8D.y=2x+410.已知ABC的顶点A(-5,0),B(5,0),ABC的内切圆圆心在直线x=3上,则顶点C的轨迹方程是(C)A.x29y216=1 B.x216y29=1 C.x29y216=1x3) D.x216y29=1x4)11.平面直角坐标系中,已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足 OC=1OA+2OB(O为原点)，其中,R,且+=1,则点C的轨迹是( )A)A.直线B.椭圆C.圆D.双曲线12.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足|PA|=2|PB|,则点P的轨迹所包围的图形的面积为_4_.13.曲线C是平面内与两个定