第2讲　数列通项与求和（讲·教师版）-高考数学二轮复习讲练测（新教材地区专用）.docx

《第2讲　数列通项与求和（讲·教师版）-高考数学二轮复习讲练测（新教材地区专用）.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第2讲　数列通项与求和（讲·教师版）-高考数学二轮复习讲练测（新教材地区专用）.docx（26页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第2讲数列通项与求和（讲教师版）1.求数列的通项公式、数列求和常与数列的综合应用一起考查，多以解答题的形式出现，难度中等.2.数列与函数、不等式的综合问题是高考命题的一个方向，此类问题突破的关键在于通过函数关系寻找数列的递推关系，通过放缩进行不等式的证明，难度中等偏上1求数列通项常用的方法(1)定义法：形如an1anC(C为常数)，直接利用定义判断其为等差数列形如an1kan(k为非零常数)且首项不为零，直接利用定义判断其为等比数列(2)累加法：形如an1anf(n)，利用ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)，求其通项公式(3)累乘法：形如f(n)0，利用ana1，求其通项公式(4)

2、待定系数法：形如an1panq(其中p，q均为常数，pq(p1)0)，先用待定系数法把原递推公式转化为an1tp(ant)，其中t，再转化为等比数列求解(5)构造法：形如an1panqn(其中p，q均为常数，pq(p1)0)，先在原递推公式两边同除以qn1，得，构造新数列bn，得bn1bn，接下来用待定系数法求解2常用求和方法(1)错位相减法：适用于各项由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积组成的数列把Sna1a2an两边同乘以相应等比数列的公比q，得到qSna1qa2qanq，两式错位相减即可求出Sn.(2)裂项相消法：即将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的

3、方法裂项相消法适用于形如(其中an是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列(3)拆项分组法：把数列的每一项拆成两项(或多项)，再重新组合成两个(或多个)简单的数列，最后分别求和1（2021浙江省高考）已知数列满足.记数列的前n项和为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为，所以，由，即根据累加法可得，当且仅当时取等号，.由累乘法可得，当且仅当时取等号，由裂项求和法得：所以，即故选A2.(2020全国卷理科T12) 0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列a1a2an满足ai0,1(i=1,2,),且存在正整数m,使得ai+m=ai(i=1,2,)成立,则称其为0-1周期

4、序列,并称满足ai+m=ai(i=1,2,)的最小正整数m为这个序列的周期.对于周期为m的0-1序列a1a2an,C(k)=1mi=1maiai+k(k=1,2,m-1)是描述其性质的重要指标,下列周期为5的0-1序列中,满足C(k)15(k=1,2,3,4)的序列是()A.11010B.11011C.10001D.11001【答案】C【解析】由ai+m=ai知,序列ai的周期为m,由已知,m=5,C(k)=15i=15aiai+k(k=1,2,3,4),对于选项A,C(1)=15i=15aiai+1=15(a1a2+a2a3+a3a4+a4a5+a5a6)=15(1+0+0+0+0)=151

5、5,C(2)=15i=15aiai+2=15(a1a3+a2a4+a3a5+a4a6+a5a7)=15(0+1+0+1+0)=25,不满足;对于选项B,C(1)=15i=15aiai+1=15(a1a2+a2a3+a3a4+a4a5+a5a6)=15(1+0+0+1+1)=35,不满足;对于选项D,C(1)=15i=15aiai+1=15(a1a2+a2a3+a3a4+a4a5+a5a6)=15(1+0+0+0+1)=25,不满足.3.(2019浙江高考T10)设a,bR,数列an中a1=a,an+1=an2+b,nN*,则()A.当b=12时,a1010 B.当b=14时,a1010C.当b

6、=-2时,a1010 D.当b=-4时,a1010【答案】A.【解析】由an+1=an2+b得,an+1-an=an2+b-an=(an-12)2+(b-14),当b=12时,an+1-an=(an-12)2+140,数列an是递增数列,a2=a12+1212,a3=a22+12(12)2+12=34,a4=a32+12(34)2+12=17161,a5=a42+1212+12=32,a6=a52+12(32)2+12=114,a7=a62+12(114)2+12=129168,a8=a72+1282+1210,所以:a10a9a810.4.（2021全国新高考卷） 某校学生在研究民间剪纸艺术

7、时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为_；如果对折次，那么_.【答案】 (1). 5 (2). 【解析】（1）由对折2次共可以得到，三种规格的图形，所以对着三次的结果有：，共4种不同规格（单位；故对折4次可得到如下规格：，共5种不同规格；（2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格如何，其面积成公比为的等比数列，首项为120,第n次对折后的图形面积为，对于第n此对折后的图形的规格形

8、状种数，根据（1）的过程和结论，猜想为种（证明从略），故得猜想，设，则，两式作差得：，因此，.故答案为；.5(2020全国卷高考文科T16)数列an满足an+2+(-1)nan=3n-1,前16项和为540,则a1=.【答案】7【解析】an+2+(-1)nan=3n-1,当n为奇数时,an+2=an+3n-1;当n为偶数时,an+2+an=3n-1.设数列an的前n项和为Sn,S16=a1+a2+a3+a4+a16=a1+a3+a5+a15+(a2+a4)+(a14+a16)=a1+(a1+2)+(a1+10)+(a1+24)+(a1+44)+(a1+70)+(a1+102)+(a1+140)

9、+(5+17+29+41)=8a1+392+92=8a1+484=540,所以a1=7.6.(2020江苏高考T11)设an是公差为d的等差数列,bn是公比为q的等比数列,已知数列an+bn的前n项和Sn=n2-n+2n-1nN*,则d+q的值是.【答案】4【解析】设数列an,bn的首项分别为a1,b1,前n项和分别为An,Bn,则An=d2n2+a1-d2n,Bn=b1q-1qn+b11q,结合Sn=n2-n+2n-1,得d2=1,q=2,解得d=2,q=2,所以d+q=4.命题角度1 an与Sn关系的应用【例1-1】 (1) (多选)已知数列an满足a1a2an2n(nN*)，则下列结论中

10、正确的是()Aan为等比数列Ba516C数列an的前n项和Sn2nDlog2an1为等差数列 (2)已知首项为1的数列an满足点(2n1)an1，(2n1)an)在函数y10x，ylg x图象的对称轴上则an_解析(1)由a1a2an2n得Sn2n，故C项正确当n1时，a12，当n2时， Sn12n1，可得an2n1，所以an所以数列an不是等比数列，故A项错误易知a52416，故B项正确因为log2an1log22nn，所以易知log2an1为等差数列，故D项正确故选B、C、D.(2)易知函数y10x，ylg x图象的对称轴为直线yx.因为点(2n1)an1，(2n1)an)在函数y10x，

11、ylg x图象的对称轴上，所以(2n1)an1(2n1)an，所以，所以，(n2)，以上(n1)个式子累乘得，(n2)，又a11，所以数列an的通项公式为an(n2)经检验知，a11满足上式，故an.答案(1)BCD(2)【规律方法】 给出Sn与an的递推关系求an的常用思路：一是利用SnSn1an(n2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.命题角度2 数列递推关系的应用【例1-2】（1）已知数列an满足a11，an1anlog3，则a41()A1 B2C3 D1log340【答案】C.【解析】因为an1anlog3，所以当n1时

12、，a2a1log3；当n2时，a3a2log3；当n3时，a4a3log3；anan1log3.以上各式，两端分别相加得ana1log3log3log3log3log3log3，所以an1log3.将n41代入得，a411log31log33，故选C.（2） 设x表示不超过x的最大整数，已知数列an中，a12，且an1an(an1)，若100，则整数n_因为an1an(an1)aan，所以an1ana0，所以数列an是递增数列，且0.又由an1an(an1)可得，即，而1，从而n，所以，又0，所以n1100，所以n101.【规律方法】由递推关系式求数列的通项公式常用的方法(1)求出数列的前几项

13、，再归纳猜想出数列的一个通项公式(注意验证)；(2)将已知递推关系式整理、变形得到等差或等比数列的通项公式，或用累加法(适用于an1anf(n)型)、累乘法(适用于an1anf(n)型)、待定系数法(适用于an1panq型)求通项公式【对点训练1】1(2021江西五校联考)已知数列an的前n项和为Sn，且2anSn2，记数列的前n项和为Tn，若对于任意nN*，不等式kTn恒成立，则实数k的取值范围为()A.B.C. D.【答案】A【解析】由题意得Sn2an2，所以Sn12an12(n2)两式相减，得an2an2an1(n2)，即an2an1(n2)又a1S12a12，所以a12，所以数列an是

14、以2为首项，2为公比的等比数列所以an2n，所以，所以Tn，实数k的取值范围为.故选A.2已知数列an满足an1(nN*)，且a11，则数列an的通项公式为_【答案】an2n1.【解析】由an12an1，得an112(an1)，易知an10，又a112，所以数列an1是以2为首项，2为公比的等比数列，所以an122n1，所以an2n1.3.已知数列an满足a115，2(nN*)，则的最小值为_【答案】【解析】由2，得an1an2n，因为a115，所以当n2时，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)15242(n1)152n2n15，因为a115满足上式，所以ann2n15，所以n1，易

15、知当n依次取1，2，3时，n1的值递减；当n取大于或等于4的自然数时，n1的值递增当n3时，3517；当n4时，41.故 的最小值为.命题角度1裂项相消法求和【例21】 （2021山东淄博市高三二模）在，成等比数列，这三个条件中任选两个，补充到下面问题中，并解答本题问题：已知等差数列的公差为，前项和为，且满足_（1）求；（2）若，且，求数列的前项和注：如果选择多种情况分别解答，按第一种解答计分【解析】（1）选择条件由，得，即，由，成等比数列，得，即，即，解得，因此选择条件由，得，即；由，得，即；解得，因此选择条件由，成等比数列，得，即，由，得，即，解得，因此（2）由，可得，当时，即，则，当时，

16、符合，所以当时，则，因此【规律方法】裂项相消法求和需过的“三关”：一是定通项关，即会利用求通项的常用方法，求出数列的通项公式；二是巧裂项关，即能将数列的通项公式准确裂项；三是消项求和关，即把握消项的规律，求和时正负项相消，准确判断剩余的项是哪几项，从而准确求和命题角度2分组转化法求和【例22】（2021山东日照市高三二模）已知正项数列，其前项和为（1）求数列的通项公式：（2）设，求数列的前项和【解析】（1）由已知，所以有，-，得，即，所以数列是公比为的等比数列又，所以（2）由（1）得，当n为奇数时，当n为偶数时，综上所述，【规律方法】1.在处理一般数列求和时，一定要注意运用转化思想把一般的数列

17、求和转化为等差数列或等比数列进行求和在利用分组转化法求和时，常常根据需要对项数n进行讨论最后再验证是否可以合并为一个表达式2分组转化法求和的策略：(1)根据等差、等比数列分组；(2)根据正、负号分组命题角度3错位相减法求和【例23】（2021山东日照市高三一模）在已知数列满足：，等比数列中，公比，前5项和为62，这两个条件中任选一个，并解答下列问题.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，若对恒成立，求正整数的最大值.【解析】（1）选择条件，设等数列的首项为.公比为，依题意，得为等比数列，所以，解之得；选择条件，设等比数列的首项为，公比.前5项和为62，依题意，解得，.（2）因为，所以

18、1得，所以.因为，所以数列单调递增，最小，最小值为.所以.所以.故正整数的最大值为2022.【规律方法】1.求解此类题需掌握三个技巧：一是巧分拆，即把数列的通项转化为等差数列、等比数列的通项的积，并求出等比数列的公比；二是构差式，求出前n项和的表达式，然后乘以等比数列的公比，两式作差；三是得结论，即根据差式的特征进行准确求和2运用错位相减法求和时应注意三点：一是判断模型，即判断数列an，bn一个为等差数列，一个为等比数列；二是错开位置；三是相减时一定要注意最后一项的符号【对点训练2】1.（2021河北唐山市高三二模）已知为等差数列的前项和，（1）求；（2）记数列的前项和为，证明：【解析】（1）

19、设等差数列的公差为，则，由题意，有，得，（2），2（2021广东佛山市高三模拟）已知数列的前n项和为，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，（1）求数列的通项公式：（2）若数列满足，求数列的前100项和条件：，；条件：，成等比数列；注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【解析】选择条件：（1）因为所以，；当时，；当时，；因为当时，符合上式，所以，选择条件：（1）因为，所以数列是等差数列，且公差为1又因为成等比数列，所以，即，即，所以（2）因为，时，时，时，上述50个式子相加得3.（2021福建莆田市高三三模）在数列中，,.（1）求的通项公式；（2）在下列两个问题中任选一个作答，如

20、果两个都作答，则按第一个解答计分.设，数列的前n项和为，证明：.设，求数列的前n项和. 【解析】（1）因为，且，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，则，所以.（2）选：因为，且，所以，因此，即.选：因为，所以，则，则，故.4.（2021福建漳州市高三模拟）已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且，.（1）若等差数列满足，求，的通项公式；（2）若_，求数列的前项和.在；这三个条件中任选一个补充到第（2）问中，并对其求解.注：如果选择多个条件分别求解，按第一个解答计分.【解析】（1）设数列的公比为，则.，解得或.又因为各项均为正数，所以.又，代入得，则，.设数列的公差为，则.（2）选择：，则，

21、.选择：，则，.选择：由（1）知，.，.5.（2021广东普宁市华侨中学高三二模）已知数列的前n项和为，且.（1）证明：是等比数列，并求的通项公式；（2）在；这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并加以解答.已知数列满足_，求的前n项和.注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分.【解析】（1）当时，因为，所以，两式相减得，.所以.当时，因为，所以，又，故，于是，所以是以4为首项2为公比的等比数列.所以，两边除以得，.又，所以是以2为首项1为公差的等差数列.所以，即.（2）若选：，即.因为，所以.两式相减得，所以.若选：，即.所以.若选：，即.所以.【例3】(2021贵州贵阳市适应性考

22、试)已知等比数列an的公比为q(q1)，前n项和为Sn，S4120，2a2是3a1与a3的等差中项数列bn的前n项和为Tn，且bn3log3an.(1)求an与bn；(2)证明：.【解析】(1)依题意，得解得所以an33n13n，bn3log3an3log33n3n.(2)证明：易知Tn，所以，所以，又y单调递增，且n为正整数，所以当n1时，y有最小值.所以.【规律方法】(1)求解数列与函数交汇问题要注意两点：数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集(或它的有限子集)，在求数列最值或不等关系时要特别注意；解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件(2)数列为背景的不等式恒成立、不等式证明，多与数列的求和相联系，最后利用数列或数列对应函数的单调性处理 【对点训练3】已知数列an是等差数列，a11，a2a3a10144.(1)求数列an的通项公式；(2)若bn，设Sn是数列bn的前n项和，若n3时，有Snm恒成立，求实数m的最大值【解析】(1)因为在等差数列an中，a2a3a10144，a11，所以945d144，所以d3.所以数列an的通项公式为an3n2(nN*)(2)bn，所以Snb1b2bn.因为函数y(x3)是增函数，所以SnS3，则m.故实数m的最大值是.学科网（北京）股份有限公司