第5讲 基本初等函数、函数与方程（解析版）.docx

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1、第5讲 基本初等函数、函数与方程考情分析1.基本初等函数的图象、性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小是常见题型.2.函数零点的个数判断及参数范围是高考的热点，常以压轴题形式出现基本初等函数()本节复习的基本初等函数包括：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数和幂函数，三角函数在三角部分复习函数的图象上直观地反映着函数的性质，学习函数的“捷径”是熟知函数的图象熟知函数图象包括三个方面：作图，读图，用图掌握初等函数一般包括以下一些内容：首先是函数的定义，之后是函数的图象和性质函数的性质一般包括定义域，值域，图象特征，单调性，奇偶性，周期性，零点、最值以及值的变化特点等，研究和记忆函数性质的时

2、候应全面考虑函数的定义(通常情况下是解析式)决定着函数的性质，我们可以通过解析式研究函数的性质，也可以通过解析式画出函数的图象，进而直观的发现函数的性质【知识要点】1一次函数：ykxb(k0)(1)定义域为R，值域为R；(2)图象如图所示，为一条直线；(3)k0时，函数为增函数，k0时，函数为减函数；(4)当且仅当b0时一次函数是奇函数一次函数不可能是偶函数(5)函数ykxb的零点为2二次函数：yax2bxc(a0)通过配方，函数的解析式可以变形为(1)定义域为R：当a0时，值域为；当a0时，值域为；(2)图象为抛物线，抛物线的对称轴为，顶点坐标为当a0时，抛物线开口向上；当a0时，抛物线开口

3、向下(3)当a0时，是减区间，是增区间；当a0时，是增区间，是减区间(4)当且仅当b0时，二次函数是偶函数；二次函数不可能是奇函数(5)当判别式b24ac0时，函数有两个变号零点；当判别式b24ac0时，函数有一个不变号零点；当判别式b24ac0时，函数没有零点3指数函数yax(a0且a1)(1)定义域为R；值域为(0，)(2)a1时，指数函数为增函数；0a1时，指数函数为减函数；(3)函数图象如图所示不具有奇偶性、周期性，也没有零点4对数函数ylogax(a0且a1)，对数函数ylogax与指数函数yax互为反函数(1)定义域为(0，)；值域为R(2)a1时，对数函数为增函数；0a1时，对数

4、函数为减函数；(3)函数图象如图所示不具有奇偶性、周期性，(4)函数的零点为15幂函数yx(R)幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：(1)所有的幂函数在(0，)都有定义，并且图象都通过点(1，1)；(2)如果0，则幂函数的图象通过原点，并且在区间0，)上是增函数；(3)如果0，则幂函数在区间(0，)上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地接近y轴，当x趋于时，图象在x轴上方无限地接近x轴要注意：因为所有的幂函数在(0，)都有定义，并且当x(0，)时，x0，所以所有的幂函数yx(R)在第一象限都有图象根据幂函数的共同性质

5、，可以比较容易的画出一个幂函数在第一象限的图象，再根据幂函数的定义域和奇偶性，我们可以得到这个幂函数在其他象限的图象，这样就能够得到这个幂函数的大致图象6指数与对数(1)如果存在实数x，使得xna (aR，n1，nN)，则x叫做a的n次方根负数没有偶次方根；(2)分数指数幂，；n，mN*，且为既约分数)，且为既约分数)(3)幂的运算性质amanamn，(am)namn，(ab)nanbn，a01(a0)(4)一般地，对于指数式abN，我们把“b叫做以a为底N的对数”记为logaN，即blogaN(a0，且a1)(5)对数恒等式：N(6)对数的性质：零和负数没有对数(对数的真数必须大于零!)；底

6、的对数是1，1的对数是0(7)对数的运算法则及换底公式：；.(其中a0且a1，b0且b1，M0，N0).【复习要求】1掌握基本初等函数的概念，图象和性质，能运用这些知识解决有关的问题；其中幂函数主要掌握yx，yx2，yx3，这五个具体的幂函数的图象与性质2准确、熟练的掌握指数、对数运算；3整体把握函数的图象和性质，解决与函数有关的综合问题函数的图象在函数图象上，定义域、值域、对应关系、单调性、奇偶性和周期性一览无遗因此，快速准确地作出函数图象成为学习函数的一项基本功，而读图也从“形”的角度成为解决函数问题及其他相关问题的一种重要方法【知识要点】作函数图象最基本的方法是列表描点作图法常用的函数图

7、象变换有：1平移变换yf(xa)：将yf(x)的图象向左(a0)或向右(a0)平移a个单位可得yf(x)a：将yf(x)的图象向上(a0)或向下(a0)平移a个单位可得2对称变换yf(x)：作yf(x)关于x轴的对称图形可得yf(x)：作yf(x)关于y轴的对称图形可得3翻折变换yf(x)：将yf(x)的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴的上方，其他部分不变即得yf(x)：此偶函数的图象关于y轴对称，且当x0时图象与yf(x)的图象重合【复习要求】1能够在对函数性质作一定的讨论之后，用描点法作出函数的图象2能够对已知函数yf(x)的图象，经过适当的图象变换得到预期函数的图象3通过读图能够分析

8、出图形语言所表达的相关信息(包括函数性质及实际意义)，运用数形结合的思想解决一些与函数有关的问题考点一基本初等函数的图象与性质核心提炼1指数函数yax(a0，a1)与对数函数ylogax(a0，a1)互为反函数，其图象关于yx对称，它们的图象和性质分0a1两种情况，着重关注两函数图象的异同2幂函数yx的图象和性质，主要掌握1,2,3，1五种情况【例题分析】1.（）A2BCD2【考点】有理数指数幂及根式版权所有【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用；数学运算【答案】B【分析】利用根式与有理指数幂的互化以及有理指数幂的运算性质求解即可【解答】解：原式故选：B【点评】本题考查了有理数指数幂及根式

9、的运算，主要考查了有理指数幂的互化以及有理指数幂的运算性质，属于基础题2.函数y2x（x0）的值域是（）A（0，1）B（，1）C（0，1D0，1）【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域版权所有【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用【答案】C【分析】本题可利用指数函数的值域【解答】解：y2x（x0）为增函数，且2x0，201，0y1函数的值域为（0，1故选：C【点评】本题考查的是函数值域的求法，关键是要熟悉指数函数的单调性，本题计算量极小，属于容易题3.如果函数f（x）3x+b的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，则（）Ab1B1b0C0b1Db1【考点】指数函数的图象与性质版权

10、所有【专题】计算题；函数思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算【答案】B【分析】利用函数图象的平移变换，得到关于b的不等式，再求出b的范围【解答】解：函数f（x）3x+b的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，函数f（x）3x+b是由函数f（x）3x的图象向下平移|b|个单位长度得到，且|b|1，又图象向下平移，b0，1b0，故选：B【点评】本题主要考查了函数图象的平移变换，是基础题函数的最值最大值与最小值是研究变量问题时常需要考虑的问题，也是高中数学中最重要的问题之一函数的最大值、最小值问题常与实际问题联系在一起函数的最值与值域在概念上是完全不同的，但对于一些简单函数，其求法是相通的【

11、知识要点】本节主要讨论两类常见的函数最值的解决方法及其应用1基本初等函数在特定区间上的最值(或值域)问题解决这类问题的方法是：作出函数图象，观察单调性，求出最值(或值域)2一些简单的复合函数的最值问题解决这类问题的方法通常有：(1)通过作出函数图象变成第1类问题；(2)通过换元法转化成第1类问题；(3)利用平均值定理求最值；(4)通过对函数单调性进行讨论进而求出最值其中讨论单调性的方法可以用单调性定义或导数的知识(导数的方法在后面相应章节复习)；(5)转化成几何问题来求解，如线性规划问题等【复习要求】从整体上把握求函数最值的方法，明确求最值的一般思路函数与方程【知识要点】1如果函数yf(x)在

12、实数a处的值等于零，即f(a)0，则a叫做这个函数的零点函数零点的几何意义：如果a是函数yf(x)的零点，则点(a，0)一定在这个函数的函数图象上，即这个函数与x轴的交点为(a，0)2零点的判定如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是不间断的，而且f(a)f(b)，则这个函数在区间a，b上至少有一个零点这也是二分法的依据注意：上述判定零点的方法只是判断零点存在的充分条件这种判定零点方法主要适用于在无法对函数进行作图而且也不易对函数所对应的方程求根的情况下如果可以画出函数的图象(这时判断函数零点的方法将是非常直观的)，如果函数所对应的方程可以求根，那么就可以用“作图”和“求根”的方法判断零点3用

13、二分法求函数yf(x)，xD零点的一般步骤为：第一步、确定初始区间，即在D内取一个闭区间a，b，使得f(a)f(b)0；第二步、求中点及其对应的函数值，即求0以及f(x)的值，如果f(x)0，则计算终止，否则进一步确定零点所在的区间；第三步、计算精确度，即计算区间的两个端点按给定的精确度取近似值时是否相等，若相等，则计算终止，否则重复第二步【复习要求】1、结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数2、能够用二分法求相应方程的近似解考点二函数的零点核心提炼判断函数零点个数的方法：(1)利用零点存在性定理判断法(2)代数法：求方程f(x)0的实数根(3)

14、几何法：对于不易求根的方程，将它与函数yf(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性规律方法利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法【例题分析】1.函数f（x）lnx的零点所在的大致区间是（）A（1，2）B（2，3）C（3，4）D（e，+）【考点】函数的零点版权所有【专题】函数的性质及应用【答案】B【分析】由函数的解析式可得f（2）f（3）0，再利用函数的零点的判定定理可得函数的零点所在的大致区间【解答】解：函数 满足 f（2）0，f（3）1ln30，f（2）f（3）0，根据函数的零点的判定定理可得函数的零

15、点所在的大致区间是（2，3），故选：B【点评】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题2.已知函数f（x）log2x，在下列区间中，函数f（x）有零点的是（）A（0，1）B（1，2）C（2，4）D（4，+）【考点】函数的零点版权所有【专题】计算题；函数思想；试验法；函数的性质及应用【答案】B【分析】首先判断函数f（x）log2x在（0，+）上是减函数，且连续；从而由零点的判定定理判断即可【解答】解：易知函数f（x）log2x在（0，+）上是减函数，且连续；f（1）1010，f（2）10；故函数f（x）有零点的区间是（1，2）；故选：B【点评】本题考查了函数的性质的判断与应用及零点的判

16、定定理的应用，注意掌握基本初等函数的性质3.函数是奇函数，则函数的零点是【答案】【考点】函数的零点；函数奇偶性的性质与判断【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算【分析】由已知函数解析式及奇函数的对称性即可求解【解答】解：当时，解得，根据奇函数的对称性可知，也是函数的零点，故答案为：【点评】本题主要考查了函数零点的求解，属于基础题考点3 函数零点的判定定理【例题分析】1.在下列区间中，存在函数的零点的是ABCD【答案】【考点】函数零点的判定定理【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算【分析】根据题意，求出函数的导数，分析的单调区间，由函数零点判断定理依

17、次分析选项，综合即可得答案【解答】解：根据题意，其定义域为，其导数，在区间上，为增函数，在区间上，为减函数，依次分析选项：对于，在上递增，在在上存在零点，正确，对于，在，上递增，（1），在在，上不存在零点，错误，对于，在上递减，（1），（2），在在上不存在零点，错误，对于，在上递减，（2），（3），在在上存在零点，正确，故选：【点评】本题考查函数的零点判断定理，解题的关键是确定区间端点对应的函数值异号，属于基础题2.函数的零点所在的一个区间是ABCD【答案】【考点】函数零点的判定定理【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑推理【分析】由函数解析式，判断（1）（2），由零点的存在性定理进

18、行分析求解即可【解答】解：因为，所以（1），（2），所以（1）（2），由零点的存在性定理可得，函数的零点所在的一个区间是故选：【点评】本题考查了函数零点的问题，主要考查了函数零点的存在性定理的应用，属于基础题3.利用二分法求方程的近似解，已求得的部分函数值的数据如表：121.51.751.6251.56250.69310.30960.11050.0088则当精确度为0.1时，该方程的近似解可取为A1.55B1.62C1.71D1.76【答案】【考点】函数零点的判定定理【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑推理【分析】利用表格中的数据，在结合零点的存在性定理进行分析求解即可【解答】解：

19、根据表中的数据可得，故函数的零点在区间之间，只有1.55符合要求故选：【点评】本题考查了函数零点的求解，涉及了零点存在性定理的应用，解题的关键是熟练掌握函数零点的存在性定理，属于基础题函数零点与方程根的关系【例题分析】1.已知函数，若方程至少有两个实数根，则实数的取值范围为AB，C，D，【答案】【考点】函数的零点与方程根的关系【专题】计算题；数形结合；转化思想；演绎法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算【分析】首先将问题转化为两个函数交点个数的问题，然后数形结合即可确定实数的取值范围【解答】解：原问题等价于函数与函数至少有两个交点，绘制函数图象如图所示，观察可得，实数的取值范围是故选：【点评

20、】本题主要考查由函数的零点个数求参数的方法，等价转化的数学思想，数形结合的数学思想等知识，属于基础题2.若方程|2x2|b有一个零点，则实数b的取值范围是【考点】函数的零点；函数的零点与方程根的关系版权所有【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用；逻辑推理【答案】（2，+）0【分析】根据函数与方程之间的关系，作出两个函数的图象，利用数形结合进行求解即可【解答】解：作出函数y|2x2|的图象如图：要使方程|2x2|b有一个零点，则函数y|2x2|与yb有一个交点，则b2或b0，故实数b的取值范围是b2或b0，即（2，+）0故答案为：（2，+）0【点评】本题主要考查函数与方程的应用，作出函数图象，利用数形结合是解决本题的关键，是基础题3.已知关于的方程有两个不同的实根，且，则实数的值是A5B6C7D15【答案】【考点】函数的零点与方程根的关系【专题】方程思想；转化法；高考数学专题；函数的性质及应用；数学运算【分析】根据条件可得，然后由，得到或，再求出的值【解答】解：关于的方程有两个不同的实根，由，可知，关于的方程有两个不同的实根，且，或或，或，又，故选：【点评】本题考查了函数的零点与方程根的关系，考查了方程思想和转化思想，属基础题学科网（北京）股份有限公司