专题07 等差数列的性质及应用(解析版).docx

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1、专题07等差数列的性质及应用【基本知识】等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN*)，d(nm)(2)等距性：若mnpq(m，n，p，qN*)，则amanapaq特别地，若mn2p(m，n，pN*)，则有aman2ap(3)单调性：d0an为递增数列，若d0an为递减数列d0an为常数列；(4)若an是等差数列，公差为d，则等距离取出若干项也构成一个等差数列，即ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为md的等差数列(5)若an，bn(项数相同)是等差数列，则panqbn也是等差数列(6)若Sn为等差数列an的前n项和，则数列也为等差数列，d (nm)(7)等差

2、数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n成等差数列，公差为nd(8)若项数为2n，则S偶S奇nd，；(9)若项数为2n1(n2)，则S偶(n1)an，S奇nan，S奇S偶an，(10)两个等差数列an，bn的前n项和Sn，Tn之间的关系为考点一性质(1)的应用【基本题型】例1 (1)在等差数列an中，已知a310，a820，则公差d等于()A3B6C4D3答案B解析由等差数列的性质得所以d6(2)在等差数列an(nN*)中，若a1a2a4，a83，则a20的值是_答案15解析数列an是等差数列，a1a5a2a4，又a1a2a4，a50，d1，故a20a515d15(3)已知a

3、n为等差数列，a158，a6020，则a75_答案24解析利用anam(nm)d)设数列 an的公差为d，则a60a15(6015)d845d，所以d，所以a75a60(7560)d201524(4)已知bn为等差数列，若b32，b1012，则b8_答案3 004解析方法一bn为等差数列，可设其公差为d，则d2，bnb3(n3)d2n8b82888方法二由d，得b85b325(2)8(5)已知an为等差数列，且a100304，a300904，则a1 000_答案3 004解析因为an为等差数列，则d，解得a1 0003 004(6)已知等差数列an的前n项和为Sn，a33，a55，则S7的值是

4、()A30B29C28D27答案C解析由题意，设等差数列的公差为d，则d1，故a4a3d4，所以S77428故选C考点二性质(2)的应用【基本题型】例2 (1)在等差数列an中，若a3a4a53，a88，则a12的值是()A15B30C31D9答案A解析由a3a4a53及等差数列的性质，3a43，则a41又a4a122a8，得1a1228a1216115(2)在等差数列an中，若a3a4a5a6a7450，则a2a8_答案180解析由等差数列的性质，得a3a4a5a6a75a5450，a590，a2a82a5180(3)等差数列an中，若a2，a2 020为方程x210x160的两根，则a1a

5、1 011a2 021等于()A10B15C20D40答案B解析a2，a2 020为方程x210x160的两根，a2a2 02010，由等差数列的性质得2a1 01110，即a1 0115，a1a1 011a2 0213a1 01115(4)数列an满足3anan1且a2a4a69，则log6(a5a7a9)的值是()A2BC2D答案B解析答案C解析由3anan1，得an1an3所以an是公差为3的等差数列又a2a4a69，且a2a62a4，所以3a49，则a43，所以a7a43d33312，故log6(a5a7a9)log6(3a7)log6362(5)在等差数列an中，若a2a2a8a6a

6、1016，则a4a6_答案4解析在等差数列an中，a2a2a8a6a1016，aa2(a6a10)a6a1016，(a2a6)(a2a10)16，2a42a616，a4a64(6)等差数列an，bn满足对任意nN*都有，则_答案1解析由等差数列的性质可得b3b9b4b82b6，a7a52a6，所以1例3 (1)等差数列an的前n项和为Sn，若a4，a10是方程x28x10的两根，则S13()A58B54C56D52答案D解析a4，a10是方程x28x10的两根，a4a108，a1a138，S1352(2)等差数列an中，a1a4a739，a3a6a927，则数列an的前9项和S9等于()A99

7、B66C144D297答案A解析由等差数列的性质可得a1a72a4，a3a92a6，又a1a4a739，a3a6a927，3a439，3a627，解得a413，a69，a4a622，数列an的前9项和S999(3)设等差数列an的前n项和为Sn，已知前6项和为36，最后6项的和为180，Sn324(n6)，则数列an的项数为_答案18解析由题意知a1a2a636，anan1an2an5180，得(a1an)(a2an1)(a6an5)6(a1an)216，a1an36，又Sn324，18n324，n18(4)在等差数列an中，S10100，S10010，则S110_答案解析方法一设数列an的公

8、差为d，首项为a1，则解得所以S110110a1d110方法二因为S100S1090，所以a11a1002，所以S110110(5)已知函数yf(x1)的图象关于y轴对称，且函数f(x)在(1，)上单调，若数列an是公差不为0的等差数列，且f(a4)f(a18)，则an的前21项和为()A0B C21 D42答案C解析函数yf(x1)的图象关于y轴对称，平移可得yf(x)的图象关于直线x1对称，且函数f(x)在(1，)上单调，由数列an是公差不为0的等差数列，且f(a4)f(a18)，可得a4a182，所以a1a21a4a182，可得数列an的前21项和S2121故选C(6)等差数列an的各项

9、均不为零，其前n项和为Sn若aan2an，则S2n1_答案4n2解析因为an为等差数列，所以an2an2an1，又aan2an，所以a2an1因为数列an的各项均不为零，所以an12，所以S2n14n2(7)在数列an中，2an1anan2，且an0若an1aan10(n2)，且S2n138，则n()A38B20C10D9答案C解析在数列an中，因为2an1anan2，所以an2an1an1an，所以数列an为等差数列由an1aan10(n2)，得2ana0，又an0，解得an2又S2n138，即(2n1)an38，即(2n1)238，解得n10(8)设正项数列an的前n项和为Sn，且4Sn(

10、1an)2(nN*)，则a5a6a7a8()A24B48C64D72答案B解析当n1时，由S1a1，得a11，当n2时，得4an(1an)2(1an1)2，aa2an2an10，(anan1)(anan12)0an0，anan12，an是等差数列，an2n1，a5a6a7a82(a6a7)48【对点精练】1在等差数列an中，a4a515，a712，则a2等于()A3B3CD1答案A解析由数列的性质，得a4a5a2a7，所以a2151232已知等差数列an满足a1a2a3a1010，则有()Aa1a1010Ba1a101S6S4下列四个命题正确的是()A数列Sn中的最大项为S10B数列an的公差

11、d0DS11S6S4，所以a60且a5a60，所以数列Sn中的最大项为S5，A错误；数列an的公差d0，C正确；S1111a60，D正确故选BCD15等差数列an的前n项和为Sn，若a44，S13104，则a10()A10B12C16D2015答案解析法二：因为S13104，a44，所以a1012，故选B法三：因为S13104，所以a78，又a4，a7，a10成等差数列，a44，所以a1012，故选B16已知等差数列an中，a11，前10项和等于前5项和，若ama60，则m()A10B9C8D216答案A解析记数列an的前n项和为Sn，由题意S10S5，所以S10S5a6a7a8a9a100，

12、又a6a10a7a92a8，于是a80，又ama60，所以m628，解得m1017已知Sn是数列an的前n项和，且Sn1Snan3，a4a523，则S8()A72B88C92D9817答案C解析由Sn1Snan3得an1an3，数列an是公差为3的等差数列，则S892故选C考点三性质(6)的应用【基本题型】例4 (1)已知Sn是等差数列an的前n项和，若a12020，6，则S2022_答案2022解析等差数列的性质可得也为等差数列，设其公差为d则6d6，d1故2021d202020211，S2022120222022(2)等差数列an中，已知Sn是其前n项和，a19，2，则an_，S10_答案

13、2n110解析设等差数列an的公差为d，2，dd2，d2，a19，an92(n1)2n11，S1010(9)20(3)设等差数列an的前n项和为Sn，若Sm12，Sm0，Sm13，则m()A3B4C5D6答案C解析解法一：由题意，知Sm0，a1am(SmSm1)2，am2，a12又am1Sm1Sm3，公差dam1am1，3am1a1md2m，m5解法二：数列an为等差数列，且前n项和为Sn，数列也为等差数列，即0，解得m5经检验为原方程的解故选C(4)已知Sn是等差数列an的前n项和，且S10100，S10010，则S110的值为_答案110解析由也是等差数列，构造新的等差数列b110，b10

14、，则d(b10b1)，所以b11b10d1，所以S110110【对点精练】1已知Sn是等差数列an的前n项和，若a12，2，则_1答案2 018解析Sn是等差数列an的前n项和，是等差数列，设其公差为d2，2d2，d1a12，22(n1)1n32 0182在等差数列an中，a11，其前n项和为Sn，若2，则S10等于()A10B100C110D1202答案B解析an是等差数列，a11，也是等差数列且首项为1又2，的公差是1，1(101)110，S101003设Sn是等差数列an的前n项和，若Sn33，S2n44，则S6n的值为_3答案132解析由题意知，d，解得S6n1324已知等差数列an的

15、前n项和为Sn，a211，8，则Sn取最大值时的n为()A6B7C8D94答案B解析设数列an是公差为d的等差数列，则是公差为的等差数列因为8，故可得88，解得d2；则a1a2d13，则Snn214n(n7)249，故当n7时，Sn取得最大值考点四性质(7)的应用【基本题型】例5 (1)设等差数列an的前n项和为Sn，若S39，S636，则a7a8a9等于()A63B45C36D27答案B解析由an是等差数列，得S3，S6S3，S9S6为等差数列即2(S6S3)S3(S9S6)，得到S9S62S63S345，故选B(2)已知等差数列an的前n项和为Sn，且S1010，S2030，则S30_答案

16、60解析S10，S20S10，S30S20成等差数列，2(S20S10)S10S30S20，4010S3030，S3060(3)设等差数列an的前n项和为Sn，且S312，S945，则S12_答案114解析因为an是等差数列，所以S3，S6S3，S9S6，S12S9成等差数列，所以2(S6S3)S3(S9S6)，即2(S612)12(45S6)，解得S63又2(S9S6)(S6S3)(S12S9)，即2(453)(312)(S1245)，解得S12114(4)已知Sn是等差数列an的前n项和，且S10100，S10010，则S110_答案110解析S10，S20S10，S30S20，S100S

17、90，S110S100，成等差数列，设公差为d，该数列的前10项和为10100dS10010，解得d22，前11项和S11011100(22)110(5)若等差数列an的前m项的和Sm为20，前3m项的和S3m为90，则它的前2m项的和S2m为()A30B70C50D60答案C解析等差数列an中，Sm，S2mSm，S3mS2m也成等差数列，2(S2mSm)SmS3mS2m，2(S2m20)2090S2m，S2m50【对点精练】1等差数列an中，S33，S69，则S12等于()A12B18C24D301答案D解析根据题意，得在等差数列an中，S3，S6S3，S9S6，S12S9，也成等差数列，又

18、由S33，S69，得S6S36，则S9S69，S12S912，则S12S3(S6S3)(S9S6)(S12S9)36912302设Sn是等差数列an的前n项和，S1016，S100S9024，则S100_2答案200解析依题意，S10，S20S10，S30S20，S100S90依次成等差数列，设该等差数列的公差为d又S1016，S100S9024，因此S100S902416(101)d169d，解得d，因此S10010S10d10162003等差数列an的前m项和为30，前2m项和为100，则数列an的前3m项的和S3m_3答案110解析方法一在等差数列中，Sm，S2mSm，S3mS2m成等差

19、数列，30，70，S3m100成等差数列27030(S3m100)，S3m210方法二在等差数列中，成等差数列，即S3m3(S2mSm)3(10030)2104已知在等差数列an中，Sn为其前n项和，已知S39，a4a5a67，则S9S6_4答案5解析S3，S6S3，S9S6成等差数列，而S39，S6S3a4a5a67，S9S655已知等差数列an的前n项和为Sn，若，则等于()ABCD5答案C解析由等差数列的性质知S3，S6S3，S9S6，S12S9成等差数列，设S3k，S64k(k0)，则S93S63S39k，S123S93S6S316k，所以考点五性质(10)的应用【基本题型】例6 (1

20、)等差数列an与bn的前n项和分别为Sn和Tn，若，则等于()ABCD答案A 解析(2)已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为An和Bn，且，则使得为整数的正整数n的个数是()A2B3C4D5答案D解析7，验证知，当n1，2，3，5，11时为整数(3)等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，若，则_答案解析由则(4)等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意正整数n都有，则的值为_答案解析，【对点精练】1已知数列an，bn均为等差数列，且前n项和分别为Sn和Tn，若，则等于()ABCD1答案B解析根据等差数列的性质和前n项和公式，有故选B2设Sn，Tn分别是等差数列an，

21、bn的前n项和，若a52b5，则_2答案2解析由a52b5，得2，所以23等差数列an，bn的前n项和分别为Sn和Tn，若，则_3答案解析原式4设等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意自然数n都有，则的值为_4答案解析因为an，bn为等差数列，所以因为，所以考点六其他性质的应用【基本题型】例7 (1)设数列an，bn都是等差数列，若a1b17，a3b321，则a5b5_答案35解析因为数列an，bn都是等差数列，所以数列anbn也构成等差数列，所以2(a3b3)(a1b1)(a5b5)，所以2217a5b5，所以a5b535(2)已知数列an和bn都是等差数列，若a2b23，a

22、4b45，则a7b7等于()A7B8C9D10答案B解析设cnanbn，由等差数列的性质知，cn也是等差数列，设cn的公差为d，则d1，所以c7c43d5318，即a7b78故选B(3)一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为3227，则该数列的公差d为_答案5解析设等差数列的前12项中奇数项的和为S奇，偶数项的和为S偶，等差数列的公差为d由已知条件，得解得又S偶S奇6d，所以d5(4)已知等差数列an的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为_答案10解析设项数为2n ，则由S偶S奇nd得，25152n解得n5，故

23、这个数列的项数为10(5)已知正项等差数列an的前n项和为Sn(nN*)，若a5a7a0，则S11的值为()A11B12C20D22答案D解析结合等差数列的性质，可得a5a72a6a，又该数列为正项数列，可得a62，所以由S2n1(2n1)an1，可得S11S25111a622(6)已知数列an是首项为a，公差为1的等差数列，数列bn满足bn若对任意的nN*，都有bnb8成立，则实数a的取值范围是()A(8，7)B8，7)C(8，7D8，7答案A解析因为an是首项为a，公差为1的等差数列，所以anna1，因为bn1，又对任意的nN*都有bnb8成立，所以11，即对任意的nN*恒成立，因为数列an是公差为1的等差数列，所以an是单调递增的数列，所以即解得8a7第14页学科网（北京）股份有限公司