第57讲绝对值不等式（讲）解析版.docx

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1、 第57讲 绝对值不等式【课标解读】1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|ab|a|b|(a，bR；|ab|ac|cb|(a，b，cR).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|axb|c；|axb|c；|xc|xb|a.【备考策略】从近三年高考情况来看，本讲是高考的热点内容预测2022年将会考查：绝对值不等式的解法；绝对值性质的应用及最值；根据不等式恒成立求参数的取值范围以解答题的形式呈现，属中档题型.【核心知识】1绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，则|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立定理2：如果a，b，c是实数，那么|ac|a

2、b|bc|，当且仅当(ab)(bc)0时，等号成立2绝对值不等式的解法(1)含绝对值不等式|x|a的解法不等式a0a0a0|x|ax|xa或x0)型不等式的解法|axb|ccaxbc；|axb|caxbc或axbc.(3)|xa|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c0)型不等式的解法利用绝对值不等式的几何意义求解利用“零点分段法”求解通过构造函数，利用函数的图象求解3常用绝对值不等式的性质(1)|ab|a|b|；(2)|abc|a|b|c|.【特别提醒】(1)利用绝对值不等式的几何意义解决问题能有效避免分类讨论不全面的问题；若用零点分段法求解，要掌握分类讨论的标准，做到不重不漏(2)绝对值三

3、角不等式|ab|a|b|，从左到右是一个放大过程，从右到左是缩小过程，证明不等式可以直接用，也可利用它消去变量求最值【高频考点】高频点一绝对值不等式的解法例1（2021年全国高考乙卷）已知函数（1）当时，求不等式的解集;（2）若，求a的取值范围【答案】（1）.（2）.【分析】（1）利用绝对值的几何意义求得不等式的解集.（2）利用绝对值不等式化简，由此求得的取值范围.【解析】（1）当时，表示数轴上的点到和的距离之和，则表示数轴上的点到和的距离之和不小于，当或时所对应的数轴上的点到所对应的点距离之和等于6，数轴上到所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是或，所以的解集为.（2）依题

4、意，即恒成立，当且仅当时取等号，,故，所以或，解得.所以的取值范围是.【变式探究】(2020全国卷)已知函数f(x)|3x1|2|x1|.(1)画出yf(x)的图象；(2)求不等式f(x)f(x1)的解集【解析】(1)由题设知f(x)所以yf(x)的图象如图所示(2)函数yf(x)的图象向左平移1个单位长度后得到函数yf(x1)的图象yf(x)的图象与yf(x1)的图象的交点坐标为.由图象可知当且仅当x时，yf(x)的图象在yf(x1)的图象上方故不等式f(x)f(x1)的解集为.【方法技巧】解绝对值不等式的常用方法基本性质法对aR，|x|aaxaxa平方法两边平方去掉绝对值符号零点分区间法含

5、有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解数形结合法在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解【变式探究】|x3|2x1|1.【解析】当x3时，原不等式化为(x3)(12x)1，解得x10，x3.当3x时，原不等式化为(x3)(12x)1，解得x，3x时，原不等式化为(x3)(12x)2，x2.综上可知，原不等式的解集为.高频考点二绝对值不等式的性质例2.(2020全国卷)已知函数f(x)|xa2|x2a1|.(1)当a2时，求不等式f(x)4的解集；(2)若f(x)4，求a的取值范围【解析

6、】(1)当a2时，f(x)因此，不等式f(x)4的解集为.(2)因为f(x)|xa2|x2a1|a22a1|(a1)2，故当(a1)24，即|a1|2时，f(x)4，所以当a3或a1时，f(x)4.当1a3时，f(a2)|a22a1|(a1)24.所以a的取值范围是(，13，)【方法技巧】两数和与差的绝对值不等式的性质(1)对绝对值三角不等式定理|a|b|ab|a|b|中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时(2)该定理可强化为|a|b|ab|a|b|，它经常用于证明含绝对值的不等式【变式探究】已知f(x)|2xa2|.(1)当a2时，求不等式f(x)|x1|5的解集；(2)若

7、对于任意实数x，不等式|2x3|f(x)1.所以f(x)|x1|5的解集为0，)(2)对于任意实数x，不等式|2x3|f(x)2a成立，即|2x3|2xa2|2a恒成立，因为|2x3|2xa2|2x32xa2|a23|，所以要使原不等式恒成立，只需|a23|2a，则2aa232a，得1a3，所以实数a的取值范围是(1,3)【举一反三】已知函数f(x)|2x3|2x3|.(1)解不等式f(x)8；(2)设xR时，f(x)的最小值为M，若实数a，b，c满足ab2cM，求a2b2c2的最小值【解析】(1)f(x)8，即或或2x或x或x2，不等式f(x)8的解集为x|2x2(2)f(x)|(2x3)(

8、2x3)|6，M6.(a2b2c2)(121222)(ab2c)236，当且仅当2a2bc时“”成立，a2b2c26，a2b2c2的最小值为6.高频考点三含绝对值不等式的综合应用例3.已知函数f(x)|xa|2xa|(aR)(1)若f(1)11，求a的取值范围；(2)若aR，f(x)x2x3恒成立，求x的取值范围【解析】(1)f(1)|1a|2a|当a1时，32a4，4a1；当1a2时，111恒成立；当a2时，2a311，解得a7，2a7.综上，a的取值范围是(4,7)(2)aR，f(x)x2x3恒成立，又f(x)|xa|2xa|xa(2xa)|x|，|x|x2x3，或解得0x3或x4；(2)

9、若存在x使不等式a1f(x)成立，求实数a的取值范围【解析】(1)由已知，得f(x)f(x)4或或x2或01.综上，不等式f(x)4的解集为(，2)(0，)(2)存在x 使不等式a1f(x)成立a1f(x)min，x.由(1)得，x时，f(x)x4，f(x)min，a1，a，实数a的取值范围为.【方法技巧】不等式能成立问题(1)在区间D上存在实数x使不等式f(x)A成立，等价于在区间D上f(x)maxA；(2)在区间D上存在实数x使不等式f(x)B成立，等价于在区间D上f(x)minB.【变式探究】已知函数f(x)|x1|x2|.(1)求不等式f(x)x3的解集；(2)若不等式mx22xf(x

10、)在R上恒成立，求实数m的取值范围【解析】(1)当x2时，f(x)x3可化为1xx2，无解；当2x1时，f(x)x3可化为1xx20，故01时，f(x)x3可化为x1x2x3，解得x2，故1x2.综上可得，f(x)x3的解集为(0,2)(2)不等式mx22xf(x)在R上恒成立，可得mx22xf(x)恒成立，即mx22xf(x)min.yx22x(x1)21的最小值为1，此时x1.f(x)|x1|x2|x1x2|3，当且仅当2x1时，取得等号，则x22xf(x)min132，所以m2，即m的取值范围是(，2【变式探究】已知函数f(x)x2ax4，g(x)|x1|x1|.(1)求不等式g(x)3

11、的解集；(2)若x22,2，x12,2，使得不等式f(x1)g(x2)成立，求实数a的取值范围【解析】(1)g(x)3，即|x1|x1|3，不等式等价于或或解得x或x，所以g(x)3的解集为.(2)因为x22,2，x12,2，使得f(x1)g(x2)成立，所以f(x)ming(x)min(x2,2)，又g(x)min2，所以f(x)min2(x2,2)，当2，即a4时，f(x)minf(2)42a482a2，解得a3，所以a4；当2，即a4时，f(x)minf(2)42a482a2，解得a3，所以a4；当22，即4a4时，f(x)minf42，解得a2或a2，所以4a2或2a4，综上可知，实数a的取值范围为(，22，) 11 / 11学科网（北京）股份有限公司