专题08 数列的通项、求和及综合应用（练）--第一篇 热点、难点突破篇-《高考数学二轮复习讲练测（浙江专用）》【解析版】.docx

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1、第一篇 热点、难点突破篇专题08 数列的通项、求和及综合应用（练）一、选择题1（2021浙江模拟预测）已知数列满足：，则( )ABCD以上均不正确【答案】B【分析】结合已知条件，通过递推数列求出，然后利用对数运算分别求出和，进而求得答案.【详解】因为，所以，故，所以，故.故选：B.2（2021北京高考真题）已知是各项均为整数的递增数列，且，若，则的最大值为（ ）A9B10C11D12【答案】C【分析】使数列首项、递增幅度均最小，结合等差数列的通项及求和公式求得可能的最大值，然后构造数列满足条件，即得到的最大值【详解】若要使n尽可能的大，则，递增幅度要尽可能小，不妨设数列是首项为3，公差为1的等

2、差数列，其前n项和为，则，所以.对于，取数列各项为(，,则，所以n的最大值为11故选：C3（2021全国高考真题（理）等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（ ）A甲是乙的充分条件但不是必要条件B甲是乙的必要条件但不是充分条件C甲是乙的充要条件D甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B【分析】当时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当是递增数列时，必有成立即可说明成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案【详解】由题，当数列为时，满足，但是不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件若是递增数列，则必有成立，若不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则成立，所以甲是乙的必要条

3、件故选：B4.（2022浙江高三专题练习）正项数列满足，则（ ）ABCD【答案】B【分析】对化简可得，从而可得数列是等差数列，首项为1，公差为3，求出通项，则可得，然后利用裂项求和法计算【详解】，数列是等差数列，首项为1，公差为3，.，.故选：B.5（2022浙江高三专题练习）已知是等比数列，则（ ）ABCD【答案】D【分析】由，可求出公比，从而可求出等比数的通项公式，则可求出，得数列是一个等比数列，然后利用等比数的求和公式可求得答案【详解】由题得.所以，所以.所以，所以数列是一个等比数列.所以=.故选：D6（2022浙江高三专题练习）已知数列满足，为的前项和，则（ ）ABCD【答案】C【分析

4、】根据题意得当为偶数时，当为奇数时，进而求得奇数项与偶数项的和即可求解.【详解】解：，当为偶数时，.当为奇数时，故选：C7（2021浙江高三开学考试）设数列满足，若，且数列的前 项和为，则（ ）ABCD【答案】D【分析】先根据的递推关系求出的通项公式，代入的表达式中，求出的通项，即可求解的前 项和【详解】由可得, ,则可得数列为常数列，即, ,.故选: D8（2021浙江模拟预测）已知数列的前项和为，且，则（ ）ABCD【答案】C【分析】不妨设，由题得或注意到或时，大小关系一样.所以只需讨论的情况.求出再比较得到，即得解.【详解】不妨设，则有（2）-（1）得，由（1）得或注意到或时，大小关系一

5、样.所以只需讨论的情况.当时，因为，故.把代入（1）式，可得把代入（3）式，可得关于的方程设根据韦达定理，则上面方程两根可设为，且.由得，同理把代入（3）式，可得关于的方程设则上述方程的两根可以设为，且同理由于，因为，因为，即，所以.故选：C9（2021浙江模拟预测）已知数列满足，给出以下结论，正确的个数是（ ）；存在无穷多个,使；A4B3C2D1【答案】B【分析】归纳猜想可说明正确错误，利用放缩法可证明，从而，可证明正确，由得，可知，累加法可证明正确.【详解】，,，则单调递增且大于0， 所以单调递增，所以 ，即故正确；令，则，所以在上单调递增，且当且仅当时，所以，即.因为，且，故正确；，由归

6、纳法可知，故不存在无穷多个,使，故错误；由得，累加可得：可知正确.故选：B.10（2021浙江乐清市知临中学高三阶段练习）设数列满足，记，则使成立的最小正整数是（ ）A2020B2021C2022D2023【答案】D【分析】由条件分析数列的单调性，由此确定满足的最小正整数.【详解】，又， 数列为递增数列， ， ， ， ， ， 当时，又当时，当时， 使成立的最小正整数是2023.故选：D.二、填空题11（2021江苏高考真题）已知等比数列的公比为，且，成等差数列，则的值是_.【答案】4【分析】根据三数成等差数列列等式，再将，用含和的式子表示，代入等式求解.【详解】因为为等比数列，且公比为，所以，

7、且，.因为，成等差数列，所以，有，解得.故答案为：.12（2021江苏南京市中华中学高三阶段练习）一张B4纸的厚度为0.1 mm，将其对折后厚度变为0.2 mm，第2次对折后厚度变为0.4 mm，设，第n(n2)次对折后厚度变为 mm，则_，数列的前n1(n2)项和为_【答案】3.2 【分析】由题找出的规律，写出通项公式，再采用裂项相消求和即可.【详解】由题意可得数列是公比为2的等比数列，；,数列的前项和为=.故答案为：3.2，.13（2021福建省龙岩第一中学高三期中）已知数列满足，()，则 _ ； 若数列的前项和为，则_【答案】1 2020 【分析】（1）对递推公式，用赋值法，令n=1求出

8、；（2）对递推公式，整理得到，利用累加法得到，令n=2020代入即可求得.【详解】因为数列满足，()，所以当n=1时，有，整理得：；因为，所以，所以，所以，所以，当n=2020时，有2020.故答案为：1；2020.14.（2021全国高考真题）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为_；如果对折次，那么_.【答案】5 【分析】（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得，再根据错位相减法得结果.

9、【详解】（1）由对折2次共可以得到，三种规格的图形，所以对着三次的结果有：，共4种不同规格（单位；故对折4次可得到如下规格：，共5种不同规格；（2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格如何，其面积成公比为的等比数列，首项为120,第n次对折后的图形面积为，对于第n此对折后的图形的规格形状种数，根据（1）的过程和结论，猜想为种（证明从略），故得猜想，设，则，两式作差得：，因此，.故答案为：；.15（2021上海徐汇一模）已知数列和，其中是的小数点后的第位数字，(例如)，若，且对任意的，均有，则满足的所有的值为_【答案】或【分析】据题意可推导出为周期数列，再分

10、析可知，然后利用周期逐一验证数列的各项与计算结果是否一致，即可找到所有符合题意的的值.【详解】是的小数点后的第位数字，且.是以3为周期的数列，且各项为依次循环出现.又,当时，与数列各项均为正数相矛盾；当时，不符合题意，与数列中最大项为相矛盾；且，与相矛盾，故舍去；，符合题意；与相矛盾，故舍去；，符合题意；综上所述：对任意的，均有，则满足的所有的值为或.故答案为：或16.（2020浙江高三竞赛）设，考虑一个含有项的数列，其中每个数为0、-1或2.现将数列中的数两两相乘，再将这些乘积相加，这样得到的值为“和积值”.例如，取，数列为0，-1，-1，2，那么乘积为，和积值就为.若一个数列含有2020项

11、，则这个数列的最小和积值为_.【答案】-2019.【详解】例如数列有两项，则；四项时，.而.注意项只能是0，-1，2，不妨在这2020项中有个0、个-1、个2，且，于是.（1）当时，.令，则.当时，.（2）当时，.令，则.当时，.（3）当时，.令，则.当时，.随着的增大，变大，故这个数列的最小和积值为-2019.故答案为：-201917（2021山东省济南市莱芜第一中学高三期中）已知数列的各项都是正数，.若数列各项单调递增，则首项的取值范围是_；当时，记，若，则整数_.【答案】（0，2） 【分析】本题根据正数数列是单调递增数列，可列出，化简求出的取值范围，由此可得的取值范围；采用裂项相消法求出

12、的表达式，然后求其范围，即可得到结果【详解】由题意，正数数列是单调递增数列，且，解得，又由，可得：，且数列是递增数列，即，整数故答案为：；4三、解答题18（2021浙江模拟预测）已知数列的前项和为，数列满足，（1）求数列、的通项公式；（2）若数列满足，求证：【答案】（1）；（2）证明见解析【分析】（1）利用与的关系可求出数列的通项公式；利用累加法可求出数列的通项公式；（2）由（1）问结论求出，然后利用裂项相消求和法，求出的和即可证明原不等式.（1）解：由，得，所以又由，得，满足，所以，而，所以，所以；（2）证明：因为，所以.19.（2022浙江高三专题练习）设为数列的前项和，且.（1）证明：数

13、列为等比数列；（2）记为数列的前项和，若对任意的，均有，求实数的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）由，得，所以.由已知条件求出，根据定义即可证明数列是以为首项，为公比的等比数列.（2）由（1）和等比数列的求和公式，可求得，即可得到，根据等比数列的求和公式求出，即可求出实数的取值范围.【详解】（1）证明：由，得，所以.由，可得，又，所以，得.所以数列是以为首项，为公比的等比数列.（2）由（1）知，所以.所以，所以，因为对，所以.20（2021天津耀华中学高三阶段练习）已知为等差数列，前项和为是首项为2的等比数列，且公比大于.（1）求和的通项公式；（2）求数列的前项和；（3

14、）证明：【答案】（1）；（2）（3）证明见解析【分析】（1）根据等差数列和等比数列通项公式及前项和公式列方程，求出等差数列首项和公差及等比数列的公比，写出等差数列和等比数列的通项公式；（2）利用错位相减法求出数列的和；（3）分，分别验证，当时，运用放缩法，由此可得证.（1）解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为.由已知，得，而，所以.又因为，解得.所以，.由，可得.由，可得，联立，解得，由此可得.所以，的通项公式为，的通项公式为.（2）解：设数列的前项和为，由，得，所以，上述两式相减，得.得.所以，数列的前项和为.（3）解：由（1）得，所以：当时，不等式成立；当时，所以，不等式成立；当时，所

15、以，所以，得证.21（2021浙江高三专题练习）已知公差不为0的等差数列的首项a1为a(aR)，设数列的前n项和为Sn，且，成等比数列.（1）求数列an的通项公式及Sn；（2）记An=+，Bn=+，当n2时，试比较An与Bn的大小.【答案】（1），；（2）当a0时，AnBn；当a0时，AnBn【分析】（1）根据，成等比数列，利用等比中项可求出等差数列的公差，从而求an的通项公式及Sn；（2）由（1）得出，利用裂项法求；根据题意判断出为等比数列，利用等比数列的前项和公式求，从而比较An与Bn的大小.【详解】（1）设等差数列的公差为d，因为，成等比数列，所以，即，因为d0，所以d=a1=a，所以，

16、.（2）因为，所以，所以An=+，因为，所以，所以，所以为等比数列，且首项为，公比为，所以Bn=+， 因为当n2时，所以，又由题意可知，所以当a0时，AnBn；当a0时，AnBn.22（2021天津滨海新区高三月考）已知数列是公差不为0的等差数列，数列是等比数列，且，数列的前n项和为.（1）求数列的通项公式；（2）设，求的前n项和；（3）若对恒成立，求的最小值.【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）设数列的公差为，因为数列是等比数列，所以，所以，所以，所以，因为，所以，又，所以，所以，数列的公比，所以.（2）由（1）知，所以，当时，当时，所以.（3），令，当为奇数时，且递减，可得的最大值为，当为偶数时，且递增，可得的最小值为，所以的最小值为，最大值为，因为对恒成立，所以，所以，所以的最小值为. 23 / 23学科网（北京）股份有限公司