第22讲 零点问题之两个零点（解析版）.docx

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1、第22讲 零点问题之两个零点 1已知函数，（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围【解答】解：（1）由，可得，当时，由，可得；由，可得，即有在递减；在递增；当时，由，解得或，若，则恒成立，即有在上递增；若时，由，可得或；由，可得；即有在，递增，在，递减；若，由，可得或；由，可得即有在，递增；在，递减；综上：当时，在递减；在递增；当时，时，在上递增；时，在，递增，在，递减；时，在，递增；在，递减（2）由（1）可得，当时，在递减；在递增，且（1），（2），故在上存在1个零点，取满足，且，则（b），故在是也存在1个零点，故时，有2个零点；当时，所以只有一个零点，不合题意；当时，若时，在递

2、增，不存在2个零点，不合题意；若，在递增，又当时，不存在2个零点，不合题意，当时，在单调增，在，递减，在，递增，极大值（1），故不存在2个零点，不合题意；综上，有两个零点时，的取值范围为2已知函数（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围【解答】解：（1）的定义域为，且，当时，此时在上单调递增；当时，由解得，由解得，此时在上单调递增，在上单调递减；综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）由（1）知，当时，在上单调递增，函数至多一个零点，不合题意；当时，在上单调递增，在上单调递减，则，当时，函数至多有一个零点，不合题意；当时，由于，且，由零点存在性定理可知，在

3、上存在唯一零点，由于，且（由于，由零点存在性定理可知，在上存在唯一零点；综上，实数的取值范围为3已知函数为自然对数的底数，且（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围【解答】解：（1），时，则时，在递减，时，在递增，当时，由得，若，则，故在递增，若，则当或时，时，故在，递增，在递减；综上：时，在递减，在递增，时，在，递增，在递减；时，在递增；（2）时，在递增，不可能有2个零点，当时，在，递增，递减，故当时，取极大值，极大值为，此时，不可能有2个零点，当时，由得，此时，仅有1个零点，当时，在递减，在递增，故，有2个零点，解得：，而（1），取，则（b），故在，各有1个零点，综上，的取值范

4、围是，4已知函数（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围【解答】解：（1）由，可得，当时，由，可得；由，可得，即有在递减；在递增；当时，由得或；若，则，当时，当时，；，恒成立，即有在上递增；若时，则；由，可得或；由，可得即有在，递增；在，递减；若，则，由，可得或；由，可得即有在，递增；在，递减（2）由（1）可得当时，在递减；在递增，且，取满足且则，有两个零点；当时，所以只有一个零点；当时，若时，由（1）知在，递减，在，递增，又当时，所以不存在两个零点；当时，由（1）知，在单调增，又当时，故不存在两个零点；综上可得，有两个零点时，的取值范围为5已知函数（1）讨论的单调性；（2）若有两

5、个零点，求的取值范围【解答】解：（1）由，求导，当时，在上单调递减，当时，令，解得：，当，解得：，当，解得：，时，单调递减，单调递增；综上可知：当时，在单调减函数，当时，在是减函数，在，是增函数；（2）若时，由（1）可知：最多有一个零点，当时，当时，当时，当，且远远大于和，当，函数有两个零点，的最小值小于0即可，由在是减函数，在，是增函数，即，设，则，求导，由（1），解得：，的取值范围方法二：（1）由，求导，当时，在上单调递减，当时，令，解得：，当，解得：，当，解得：，时，单调递减，单调递增；综上可知：当时，在单调减函数，当时，在是减函数，在是增函数；（2）若时，由（1）可知：最多有一个零点，

6、当时，由（1）可知：当时，取得最小值，当，时，故只有一个零点，当时，由，即，故没有零点，当时，由，故在有一个零点，假设存在正整数，满足，则，由，因此在有一个零点的取值范围6已知函数（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围【解答】解：（1）函数，；，（2分）当时，则在内单调递减；（3分）当时，则在内单调递减，在，内单调递增；（5分）备注：求导正确给1分，因式分解正确得2分；（2）由（1）知，当时，在内单调递减，最多只有一个零点，舍去；（5分）时，；（7分）当时，；当时，；当，令（a），则（a），（a）；（10分）则（a）在上单调递增；又（1），解得；当时，函数有两个不同的零点（12分

7、）备注：其他解法也可以酌情相应给分7已知函数（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围【解答】解：（1），若，当时，递减，时，递增，当时，令，解得：或，若，恒成立，在递增，若，当时，递增，当时，递减，当时，递增，若，当时，递增，当时，递减，当时，递增，综上：若，在递减，在递增，若，在递增，若，在递增，在递减，在递增，若，在递增，在递减，在递增；（2）当时，令，解得：，此时1个零点，不合题意，当时，由（1）可知，在递减，在递增，有2个零点，必有，即，而（1），故当时，个零点，当时，取，则，故当，时，个零点，故当时，个零点，符合题意，当时，在递增，不可能有2个零点，不合题意，当时，在递增

8、，在递减，在递增，故，此时，至多1个零点，不合题意；当时，在递增，在递减，在递增，此时，最多有1个零点，不合题意，综上，若有2个零点，则的范围是，8已知函数（1）讨论的单调性；（2）设，若且有两个零点，求的取值范围【解答】解：（1），当即时，恒成立，故在上单调递增，当时，即或时，方程的两根分布为，当时，结合二次函数的性质可知，时，函数单调递增，时，函数单调递减，当，时，函数单调递增，时，结合二次函数的性质可知，时，函数单调递增，（2）因为，则，当时，则，即在上单调递增且，故在上没有零点，因为有两个零点，所以在时有两个零点，当时，故在上单调递减，最多1个零点，不合题意；当时，易得，函数在上单调递

9、减，在，上单调递增，又时，时，故，解可得，综上可得，的范围9已知函数（1）当时，求函数的单调区间（2）若有两个零点，求的取值范围【解答】解：（1）时，令，解得时，函数在上单调递减；时，函数在上单调递增（2）时，函数在上单调递减，此时函数最多有一个零点，不满足题意，舍去时，由（1）可知：时，函数取得极小值，有两个零点，令（a），（1）（a），函数在上单调递增，又时，；时，满足函数有两个零点的取值范围为10已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有两个不同的零点，求的取值范围【解答】解：（1），（1分）当时，恒成立，令，则，所以的单调增区间为同理可得的单调减区间为 （2分）当时，令，则或（）当

10、，即时，令，则或，所以的单调增区间为和 （3分）同理的单调减区间为；（）当，即时，当时，所以，同理时，故的单调增区间为； （4分）（）当，即时令，则或，所以的单调增区间为和，同理的单调减区间为 （5分）综上所述，当时，的单调增区间为和，单调减区间为；当时，的单调增区间为；当时，的单调增区间为和，单调减区间为；当时，的单调增区间为，单调减区间为 （6分）（2）因为，所以有一个零点，（7分）由于有两个零点，所以只有一个不是1的零点，解法1：令，（1）当时，恒成立，所以在上单调递增，对任意，由零点存在定理在上存在零点，因为在上单调递增，所以只有一个不是1的零点，所以当时，满足题意（8分）（2）当时，

11、无零点，舍去（3）当时，令，解得；令，解得；所以在上单调递减，在上单调递增所以在取得极小值，也是最小值所以函数，（10分）依题意只有一个不是1的零点，由于当时，且在上单调递减，在上单调递增则或解得或，（11分）综上所得，的取值范围为， （12分）解法2：当时，所以不是的零点，则，（8分）令，所以，令，则且；令，所以，所以在、上单调递增，在上单调递减，（9分）所以在处取得极大值，极大值为，（10分）由可知，当时，；当时，； （11分）因为只有一个零点，所以与只有一个交点，由图象可得，或，又（1），所以与只有一个不是1的交点，所以的取值范围为， （12分）11已知函数（）若时，讨论的单调性；（）设

12、，若有两个零点，求的取值范围【解答】解：，对于，当，时，递增；当，时，设对应方程的根为，由，得，故在，递增；在递减；由，当时，在递增，至多有一个零点，不符合题意；当时，当时，递增；当，时，递减，所以，当时，（1），构造函数，因为指数函数比幂函数增加的快，易知递增，所以，（a）（e），所以，所以，故函数在和，各有一个零点，所以12已知函数（1）当时，求函数的最小值；（2）设，讨论函数的单调性；（3）若函数有两个不同的零点，求正实数的取值范围【解答】解：（1）因为函数定义域为，且当时，所以当时，；当时，所以在上单调递减，在单调递增，所以函数在时取得最小值，且最小值为（1）（2）由题意知函数，所以令

13、，得或若，则当时，；当时，故在上单调递增，在上单调递减；若，在上恒成立，所以在单调递增综上，当时，在单调递增，在单调递减；当时，函数在单调递增（3）因为，令，因为，所以，所以方程有两个不等实数根，设为，又因为，所以，所以在上，在，上，即在上，在，上，所以在上单调递减，在，上单调递增，所以函数最小值为因为，所以，所以，令，所以，从而函数在上单调递减，且（1），所以对，时，所以当时，因为，所以，所以，所以，此时函数无零点，不合题意当时，函数有一个零点当时，则，结合，则需证明存在时，使得即可因为（构造易证明），所以，则时，即存在使得，故当时函数有两个零点综上，正实数的取值范围为学科网（北京）股份有限公司