导数与函数的极值（最值）讲义—— 高考数学一轮总复习.docx

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1、专题4.3 导数与函数的极值（最值）【命题趋势】1.会用导数求函数的极大值、极小值，会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)，凸显数学抽象、数学运算；2.以基本函数为载体,利用导数研究函数的单调性、极值及最值,求解中多利用分类讨论思想，凸逻辑推理、显数学运算.【主干梳理】1.函数的极值（1）函数的极小值：函数在点的函数值比它在点附近其它点的函数值都小，而且在点附近的左侧，右侧，则点叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值.（2）函数的极大值： 函数在点的函数值比它在点附近的其他点的函数值都大，而且在点附近的左侧，右侧，则点叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值.极小值点，极大

2、值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.2.函数的最值（1）在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值；（2）若函数在上单调递增，则为函数的最小值，为函数的最大值；若函数在上单调递减，则为函数的最大值，为函数的最小值.（3）若函数在上先增后减，极大值为最大值，与中较小值即为最小值；或先减后增，极小值为最小值，与中较大值即为最大值；（4）若函数在上增减增，极大值与中较大值即为最大值，极小值与中较小值即为最小值；若函数在上减增减，极大值与中较大值即为最大值，极小值与中较小值即为最小值.3.常用结论（1）若函数的图象连续不断，则在上一定有最值（2）若函数在区间内只有一个极值点，则相应的极值点一定

3、是函数的最值点【核心考点】【考点一】 根据函数图象判断极值【方法储备】函数极值的辨析：（1）利用图象研究函数性质： 利用的图象，找出的单调区间及极(最)值点；的图象，找出的正负区间及由正变负还是由负变正，确定函数的单调区间和极值；（2）在处有极值 ，且在两侧异号.【精研题型】1. 设函数在上可导，其导函数为，且函数的图像如下图所示，则下列结论中一定成立的是A. 函数有极大值 和极小值B. 函数有极大值 和极小值C. 函数有极大值 和极小值D. 函数有极大值 和极小值2. 如图是函数的导函数的图象，给出下列命题：是函数的极值点；是函数的最小值点；在处切线的斜率小于零；在区间上单调递增则正确命题的

4、序号是A. B. C. D. 【思维升华】3.（多选）已知函数的定义域为，且满足，则下列结论正确的是A. 在上为减函数B. 在上为增函数C. 既有极大值又有极小值D. 没有极值【特别提醒】1.可导函数在点处取得极值的充要条件是，且在左侧与右侧的符号不同；2.若在内有极值，那么在内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值.【考点二】求函数的极值或极值点个数【方法储备】求极值或极值点个数：（1）求函数极值的步骤：确定函数的定义域；求导数；解方程，求出函数定义域内的所有根；检验在的根左右两侧值的符号，如果左正右负，那么在处取极大值，如果左负右正，那么在处取极小值.（2）若函数在区间内有极

5、值，那么在内不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值.【精研题型】4. 定义且，令，则的极大值为_，单调递增区间为_.5. 设函数，若是函数的极大值点，则函数的极小值为A. B. C. D. 6.已知函数（1）讨论函数的极值点的个数；【思维升华】7.已知函数,直线与函数的图象分别交于两点,记,函数的极大值为A. B. C. D. 8.已知函数.（1）讨论函数的极值点；9. 已知函数求函数在点处的切线方程；求证：在上存在唯一的极大值.【特别提醒】极值点处的导数为0，而导数为0的点不一定是极值点，要检验极值点两侧导数是否异号.【考点三】已知极值(点)求参数的值或取值范围【方法储备】已知函数极值（

6、个数），求参数时，注意以下两点：（1）根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.（2）因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性.【精研题型】10. 若，且函数在处有极值，则的最小值等于_.11. 函数在区间内恰有一个极值点，则实数的取值范围为A. B. C. D. 12. 若函数在区间上没有极值，则实数的取值范围是A. 或B. C. 或D. 13. 已知函数，若在上不单调，则实数的取值范围是_.【思维升华】（取自解答题的第一问）14. 已知向量，满足，且关于的函数在上有极值，则向量的夹角的取值范围是A. B. C. D. 15.

7、 已知，函数在区间上恰有3个极值点，则正实数的取值范围为A. B. C. D. 16. 已知函数若有两个不同的极值点，求实数的取值范围；【考点四】利用导数求函数的最值【方法储备】1.闭区间内求函数最值的步骤：求函数的定义域；求，解不等式；得出函数的单调区间，极值点；求极值、端点值，比较大小，确定最值.2.若开区间内只有一个极值点，则相应极值点为函数的最值点；【精研题型】17. 定义：函数在闭区间上的最大值与最小值之差为函数的极差.若定义在区间上的函数是奇函数，则_，函数的极差为_.18. 若函数在上的最大值为，最小值为，则A. B. 2C. D. 【思维升华】19. 已知函数若，求的值;证明：

8、对于任意正整数，【考点五】根据函数的最值求参数的值（范围）【方法储备】1.含参数函数的单调性和最值(极值)的探究,解答时常用到分类讨论与数形结合的思想，主要题型有以下几种：（1）求含参数的函数在定区间的最值，需要对参数分类讨论，最后以分段函数的形式给出最值（2）已知函数在定区间的最值(极值)，极值点不确定，讨论极值点和区间端点之间的关系，再求参数的值或范围（3）已知函数在动区间上的值域或者最值，极值点确定，讨论极值点与区间的位置关系2. 不等式恒成立(有解)问题，往往是构造函数，转化成利用导数求最值.3.需多次求导时，要明确每次求导的目的【精研题型】20.若函数的值域为，则实数的取值范围为A.

9、 B. C. D. 21. （多选）若函数在上有最大值，则a的取值可能为A. B. C. D. 22.（多选）当时，不等式恒成立，则实数的值可能为A. B. C.-1D. 23. 已知函数为自然对数的底数，若在上有解，则实数m的取值范围是_.【思维升华】24. 已知函数，的解集为，若在上的值域与函数在上的值域相同，则a的取值范围为A. B. C. D. 25. 已知函数当时，求函数在上的最大值与最小值；当时，若对任意的都有，求a的取值范围【考点六】生活中的优化问题【方法储备】1.由实际问题抽象出函数模型，利用导数求函数最优解，注意变量的实际意义；2.用导数求解实际问题中的最大（小）值，如果函数

10、在区间内只有一个极值点，根据实际意义，该极值点就是最值点.【精研题型】26.如图所示，是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于图中的点，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，若要包装盒容积最大，则长为_cm27. 某公司研发甲、乙两种新产品, 根据市场调查预测, 甲产品的利润与投资金额x(单位: 万元)满足: (为常数),且曲线与直线在点相切;乙产品的利润与投资金额的算术平方根成正比, 且其图象经过点.(1)分别求甲、乙两种产品的利润与投资金额间的函数关系式;(2)已知该公司已筹集到40万元资金, 并将全部投入甲、乙两种产品的研发,

11、 每种产品投资金额均不少于10万元.问怎样分配这40万元, 才能使该公司获得最大利润? 其最大利润约为多少万元? (结果保留3位小数,参考数据: )【思维升华】28.（2020江苏卷理）某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底在水平线上，桥与平行，为铅垂线（在上）经测量，左侧曲线上任一点到的距离（米）与到的距离（米）之间满足关系式；右侧曲线上任一点到的距离（米）与到的距离（米）之间满足关系式已知点到的距离为40米（1）求桥的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于的桥墩和，且为80米，其中在上（不包括端点）桥墩每米造价（万元），桥墩每米造价（万元）（），问为多少米时，桥墩与的

12、总造价最低？4.3 导数与函数的极值（最值）答案和解析考点一1. 【答案】D【解析】【分析】判断函数的单调性一般利用导函数的符号，当导函数大于0则函数递增，当导函数小于0则函数递减【解答】解：则函数增；则函数减；则函数减；则函数增；选D.2.【答案】B【解析】【分析】本题考查导函数图象与原函数图象间的关系，考查利用导数研究函数的单调性，极值和最值及导数的几何意义，属于基础题.根据导数的几何意义可判断出错误，根据导数与函数的单调性、极值点关系，结合图象判断在上单调递减，在上单调递增，可判断正确，错误.【解答】解：由导函数图象可知：在上，单调递减，在上，单调递增，所以是函数的极小值点，故正确，错误

13、；因为在处的导函数值大于零，根据导数的几何意义，可知曲线在处切线斜率大于零，故错误，故选3. 【答案】AD【解析】【分析】本题考查了导数的运算与积分的运算，同时考查了导数的综合应用，属于中档题由题意可得；再由可得，从而可得 ，从而再求导判断即可【解答】解：，又，；故，故，故函数在上为减函数，故没有极值，故选AD考点二4.【答案】，【解析】【分析】本题考查了利用导数研究函数的单调性和利用导数研究函数的极值，对求导，分析的正负，的单调性，作出的大致图象，可得的极大值和单调递增区间.【解答】解：因为，所以，令，则，当时，单调递增，当时，单调递减，所以极大值，由，即，得，作出的大致图象如下：则，且在，

14、上单调递减，在上单调递增，则的单调递增区间为故答案为：，5.【答案】A【解析】【分析】本题考查了导数和函数的极值的关系，考查了运算能力和转化能力，属于中档题先求导，再根据是函数的极大值点，求出a的值，再根据导数和函数的单调性的关系即可求出极小值【解答】解：，是函数的极大值点，解得，再令，解得或，当，或时，当时，当时，函数取得极小值，则极小值为，故选6. 【答案】解：当时，当时，所以在上单调递增；当时，所以在上单调递减即函数只有一个极大值点，无极小值点当时，令，得当时，所以在上单调递增；当时，所以在上单调递减即函数有一个极大值点，有一个极小值点当时，此时恒成立，即在上单调递增，无极值点综上所述，

15、当时，有且仅有一个极大值点，即只有1个极值点；当时，有一个极大值点和一个极小值点，即有2个极值点；当时，没有极值点【解析】本题综合考查了导数的应用及分析问题，解决问题的能力，试题具有一定的综合性（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性，极值的关系对a进行分类讨论即可求解； 7. 【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了函数的极大值的求解，属于基础题由题意可设 则，利用函数的性质可求函数的极大值即可.【解答】解：设 ，由，解得,或，由解得当时,函数有极大值为故选D.8. 【答案】解：，(1)当时，令，则在单减，单增，极小值点为,当时，在单增，单减，极小值点为，极大值点为,当时，在(0，+)单增，

16、无极值点,时，在单增，单减，极小值点为，极大值点为；【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值，属于较难题.（1）利用导数判断函数的极值，借助分类讨论的思想是解题的关键；9.【答案】解：由，得，函数在点处的切线斜率，切线方程为，即，当时，此时在单调递增，当时，由，知在单调递减，且，知存在唯一使得；当时，单调递增；当时，此时单调递减，在上单调递增，在上单调递减，是极大值点综上，在区间内存在唯一的极大值【解析】对求导，然后求出函数在点处的切线斜率k，再得到切线方程；根据条件分和两种情况，讨论函数的符号，得出函数的单调性，得出函数存在唯一的极大值点，即函数在给定的区间上存在唯一的极大值.本题

17、考查了利用导数研究函数的单调性和利用导数研究曲线的切线方程，考查了转化思想和分类讨论思想，属中档题考点三10.【答案】【解析】【分析】本题考查函数在极值点处的导数值为0，考查利用基本不等式求最值，需注意：一正、二定、三相等，属于中档题求出导函数，利用函数在极值点处的导数值为0得到a，b满足的条件，利用基本不等式求出的最小值【解答】解：由题意，求导函数，在处有极值，当且仅当，即，时取等号，所以的最小值等于故答案为11.【答案】B【解析】【分析】本题考查利用导数研究函数的极值问题，函数零点存在性问题，属于中档题利用函数的导数与极值的关系，即可求出实数a的取值范围，进而验证，5时是否符合题意，即可得

18、到答案.【解答】解：由题意，当时，函数在区间内恰有一个极值点，即，解得；当时，函数在区间上恰有一个极值点；当时，函数在区间上没有一个极值点，故实数a的取值范围是故选12.【答案】A【解析】【分析】本题考查利用导数研究函数极值，属于基础题.函数在区间上没有极值等价于在是单调函数，即或恒成立，求导后根据三角函数的性质可求得a的范围.【解答】解：函数在区间上没有极值等价于在是单调函数，所以或在区间上恒成立；所以，或，综上或，故A正确.13.【答案】【解析】【分析】先求导，判断函数的单调性，则区间不在某一个单调区间内，即可分类讨论得解.【解答】解：由题意得，所以，在，上单调递增，在上单调递减，又在上不

19、单调，或即实数t的取值范围是，故答案为14.【答案】C【解析】【分析】本题考查向量的夹角的取值范围的求法及利用导数研究函数的极值，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式的合理运用.根据题意可知有两个不等的实根，根据判别式大于0，利用向量夹角公式解答.【解答】解：关于x的函数在R上有极值，有两个不等的实根，则判别式，设向量的夹角为，由，得，因为，故选15.【答案】B【解析】【分析】本题考查了三角函数图象及其性质运用，运用导数研究函数的极值，涉及三角函数两角和差公式，二倍角公式，向量数量积运算等基础知识的运用，考查了分析和运用能力，属于拔高题.先结合向量数量积运算以及三角恒等变换公式得到，再根

20、据函数在区间上恰有3个极值点，可得在上有三个变号零点，结合三角函数图象建立不等式组求解即可.【解答】解：由题意，因为函数在区间上恰有3个极值点，所以在上有三个变号零点，又因为，所以结合图象可得，只需使，解得：，故选16.【答案】解：由得，因为有两个不同的极值点，则有两个不同的零点，即方程有两个不同的实根，即直线与的图象有两个不同的交点，设，则，当时，单调递增，且的取值范围是；当时，单调递减，且的取值范围是，所以当时，直线与的图象有两个不同的交点，有两个不同的极值点，故实数a的取值范围是；【解析】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值，考查导数中的不等式证明，属于难题.对函数求导，根据题意可得

21、，方程有两个不同的实根，设，对求导，根据函数单调性可得的取值范围，即可得实数a的取值范围；考点四17.【答案】1，4【解析】解：定义在区间上的函数是奇函数，解得，区间即为，由，得，函数的极差为：故答案为：由定义在区间上的函数是奇函数，列出方程组，能求出，从而，由此利用导数的性质能求出函数的极差本题考查函数性质、函数极差、导数、函数最大值及最小值等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力，考查数形结合思想，是中档题18.【答案】A【解析】【分析】本题考查函数的最值，利用导数研究函数的单调性及函数奇偶性的应用由为偶函数，可得当时，从而利用求导可得函数的单调性，进而可求出的值.【解答】

22、解：为偶函数，当时，则在上单调递增，因此.故选19.【答案】解：的定义域为，若，因为，所以不满足题意.若，由知，当时，；当时，；所以在单调递减，在单调递增，故是在的唯一最小值点.因为，所以当且仅当时，故证明：由知当时，令，得从而故【解析】本题考查利用导数研究函数的极值与最值，利用导数证明不等式，属于中档题.求出函数导数，利用单调性求出最小值，代入即可求出利用可知时，然后令，得即可得证.20. 【答案】B【解析】【分析】本题考查了分段函数的应用及导数的综合应用，同时考查了分类讨论的思想应用，是中档题.根据题意，分类讨论，进而求出结果.【解答】解：当时，所以，当时，则，令，解得；由，解得；所以函数

23、在上单调递增，在上单调递减，当时，函数有极大值，即为最大值，又因为，所以实数的取值范围为：，故选B.考点五21.【答案】ABC【解析】【分析】本题考查利用导数研究函数的单调性及最值，属于中档题.通过求导，得出时，函数取得最大值，由，解得或则，解不等式即可.【解答】解：由题意，令，解得当时，；当或时，；从而在处取得最大值由可得，解得或函数在上有最大值，故选22.【答案】ABC【解析】【分析】本题考查一元二次不等式在实数集上恒成立问题，考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题由题意，不等式对一切成立对一切恒成立，令，则，求出的最大值，即可得出答案.【解答】解：不等式对一切成立对一切恒成立，令，则，

24、在上单调递增，实数a的值可能为-1，故选23.【答案】【解析】【分析】本题考查利用导数研究函数的存在性问题，将原问题转化为函数的最值问题是解题的关键，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题由题可知，存在，使得，即，设，问题转化为求在上的最小值，对求导后，易推出在上单调递减，在上单调递增，于是，从而得解【解答】解：在上有解，存在，使得，即，设，问题转化为求在上的最小值，而，当时，单调递减；当时，单调递增，故答案为：24.【答案】C【解析】【分析】本题考查利用函数的导数求函数的单调性和值域问题，属于难题.先对函数求导，判断函数的单调性，确定函数的值域，再利用在上的值域与函数在上的值

25、域相同，满足，求出参数的范围.【解答】解：因为，定义域为，所以，当时，当时，所以在上递增，上递减，即函数的值域为当时，令，则，因为在递增，递减，要使的值域为则，解出，所以a的范围为故选25.【答案】解：当时，时，函数单调递增；时，函数单调递减时，函数取得极大值即最大值，又，时，函数取得最小值，令，则，函数在上单调递减，又，时，函数取得极大值即最大值，当时，若对任意的都有，解得的取值范围是【解析】当时，利用导数研究其单调性即可得出最值当时，若对任意的都有，令，利用导数研究其单调性即可得出本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题

26、考点六26.【答案】20【解析】【分析】本题考查导数在实际问题中的应用，属于基础题.设包装盒的高为h cm，底面边长为a cm，求得包装盒容积，利用导数计算最大值即可.【解答】解：设包装盒的高为h cm，底面边长为a cm，由已知得，包装盒容积，则由，得舍或，当时，；当时，所以当时，V取得极大值，也是最大值故故答案为27.【答案】解：函数的定义域为且，因为点在直线上，故有，又曲线与直线在点处相切，故有得则甲产品的利润与投资金额间的函数关系式为由题意得乙产品投资金额与利润的关系式为：，将点代入上式，可得，所以乙产品的利润与投资金额间的关系式为设甲产品投资x万元，则乙产品投资万元，且，则公司所得利

27、润为，故有，令，解得，令，解得，所以为函数的极大值点，也是函数的最大值点万元所以当甲产品投资15万元，乙产品投资25万元时，公司获得最大利润为万元【解析】本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的最值及导数在解决实际问题中的应用，属于中档题.利用导数的几何意义可求得a、b的值，从而可得函数关系式；利用导数求出函数的最大值，即可得结果.28.【答案】解：由题意得，则，米答：桥AB的长度为120米.设总造价为万元，设，由，则，得到舍去，当时，单调递减；当时，单调递增，因此当时，取最小值，答：当米时，桥墩CD与EF的总造价最低.【解析】本题考查函数在实际问题中的应用，考查导数的应用：求最值，考查运算能力和分析问题与解决问题的能力，属于中档题由题意得，求出，即可得到桥的长度；设，设总造价为万元，则，应用导数，求得单调区间，可得最小值