第二章 基本初等函数及函数的应用.doc

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1、第二章 基本初等函数（）及函数的应用知识网络基本初等函数()幂函数有理指数幂整数指数幂无理指数幂运算性质定义对数指数对数函数指数函数互为反函数图像与性质定义定义图像与性质函数的应用函数模型及其应用函数与方程对数函数指数函数几类不同增长的函数模型二分法函数的零点用已知函数模型解决问题建立实际问题的函数模型第1讲 指数与指数函数知识梳理分数指数幂根式如果，那么称为的次实数方根；式子叫做根式，其中叫做根指数，叫做被开方数方根的性质：当n为奇数时，=a.当n为偶数时，=|a|=2分数指数幂（1）分数指数幂的意义:a=，a=（a0，m、n都是正整数，n1）.（2）有理数指数幂的性质：二、指数函数的图像及

2、性质的应用指数函数的定义：一般地，函数y=ax（a0且a1）叫做指数函数.指数函数的图像底数互为倒数的两个指数函数的图像关于y轴对称.指数函数的性质：定义域：R； 值域：（0，）；过点（0，1）；即x=0时，y=1.当a1时，在R上是增函数；当0a1时，在R上是减函数.画指数函数y=ax（a0且a1）的图像时，应该抓住两点：一是过定点（0，1），二是x轴是其渐近线重、难点突破重点：有理指数幂的定义及性质，指数函数的概念、图像与性质难点：综合运用指数函数的图像与性质解决问题重难点：1.指数型函数单调性的判断，方法主要有两种： （1）利用单调性的定义（可以作差，也可以作商）（2）利用复合函数的单调

3、性判断形如的函数的单调性：若，则的单调增（减）区间，就是的单调增（减）区间；若，则的单调增（减）区间，就是的单调减（增）区间；2. 指数函数的图像与性质() 指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示,对应关系为（1）y=ax，（2）y=bx，（3）y=cx，（4）y=dx则在轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小;在轴左侧,图象从下到上相应的底数由大变小,即无论在轴左侧还是右侧,底数按逆时针方向变大.() 指数函数的图像与的图象关于轴对称3.指数型的方程和不等式的解法()形如的形式常用“化同底”转化为利用指数函数的单调性解决，或“取对数”等方法；()形如或的形式，可借

4、助于换元法转化为二次方程或不等式求解。热点考点题型探析考点1 指数幂的运算例1 （湛江市09届统考）计算：解题思路 根式的形式通常写成分数指数幂后进行运算。解析原式名师指引根式的运算是基本运算，在未来的高考中一般不会单独命题，而是与其它知识结合在一起，比如与二项展开式结合就比较常见新题导练1.（高州中学09届月考）经化简后，的结果是 解析 ；2. 解析 ; 考点2 指数函数的图象及性质的应用题型1：由指数函数的图象判断底数的大小例2 下图是指数函数（1）y=ax，（2）y=bx，（3）y=cx，（4）y=dx的图像，则a、b、c、d与1的大小关系是（ ）A; B；C；D解题思路 显然,作为直线

5、x=1即可发现a、b、c、d与1的大小关系解析 B;令x=1，由图知,即名师指引 由指数函数的图象确定底数的大小关系,关键要从具体图象进行分析题型2：解简单的指数方程例3 方程的解是_解题思路将方程化为最简单的指数方程解析；在方程的两边同时乘以得，从而得所以名师指引解指数方程要观察其特征，在本题中，关键是发现与的关系：题型3：利用函数的单调性求函数的值域例4 已知2（）x2，求函数y=2x2x的值域.解题思路求函数y=2x2x的值域应利用考虑其单调性解析 222（x2），x2+x42x，即x2+3x40，得4x1.又y=2x2x是4，1上的增函数，2424y221.故所求函数y的值域是，.名师

6、指引利用函数的单调性确定其值域是高考热点，关键在于发现函数的单调性新题导练3不等式的解集是_解析 ；由不等式得，解得4（金山中学09届月考）若直线与函数的图象有两个公共点，则a的取值范围是_. 解析 ；画出函数的草图知，若直线与函数的图象有两个公共点，则，即5（广东恩城中学09年模拟）不论为何正实数,函数的图象一定通过一定点,则该定点的坐标是_解析；因为函数的图象通过定点，故函数的图象一定通过定点6（广东广雅中学09届月考）已知函数（其中）的图象如下面右图所示，则函数的图象是( )A BC D解析 A；由的图象知，所以函数的图象是A7（08年安徽改编）若函数分别是上的奇函数、偶函数，且满足，则

7、、的大小关系为 解析；因为是奇函数，是偶函数，所以有，得，可见在上是增函数，故，又由知，因此所以考点3 与指数函数有关的含参数问题例5 要使函数y=1+2x+4xa在x（，1上y0恒成立，求a的取值范围.解题思路欲求的取值范围,应该由1+2x+4x0将参数分离,转变为求函数的最值解析 由题意，得1+2x+4xa0在x（，1上恒成立，即a在x（，1上恒成立.又=（）2x（）x=（）x+2+，当x（，1时值域为（，a名师指引由某个不等式在某个范围内恒成立，求参数的取值范围是高考中的热点,处理的方法往往是通过分离参数, 转变为求函数的最值,但要注意端点的值能否取到；指数函数的综合问题常常涉及指数函数

8、的定义域、值域、过定点、单调性、奇偶性、图像特征,要用到数形结合思想、分类讨论思想.指数函数是重要的基本初等函数, 高考中既考查双基, 又考查对蕴含其中的函数思想、等价转化、分类讨论等思想方法的理解与运用. 因此应做到能熟练掌握它们的图像与性质并能进行一定的综合运用。新题导练8(2008上海) 已知函数,若对于恒成立，求实数的取值范围解析 ;当 即 故m的取值范围是 9设,如果当时有意义,求a的取值范围.解析 ；当时，恒成立，即恒成立令，则时，备选例题 （广州六校09届联考）已知函数, 将的图象向右平移两个单位, 得到的图象. (1) 求函数的解析式; (2) 若函数与函数的图象关于直线对称,

9、 求函数的解析式; 解析 (1) 由题设得 (2) 设点在的图象上, 点在的图象上, 且与点关于直线对称, 则即. 抢分频道基础巩固训练：1（高州中学09届月考）与函数的图像关于直线对称的曲线C对应的函数为，则的值为 （ ） A；B；C；D解析 D；依题意得，所以2（广东南海09届月考）已知函数，且，则下列结论中，必成立的是（ ） A;B; C; D解析 D；由函数的图象及和知，所以，从而3（09年执信）oxyo1-1oxyo1-1ooxyo1-1ooxyo1-1oo函数的图象的大致形状是ooxxxxx 解析 ；当时，又，可排除、；当时，又，可排除4. （四会中学09届月考）不等式的解集为 解

10、析 ； 不等式即为，由函数的单调性得，解得5（四会中学09届月考）满足条件m（mm）2的正数m的取值范围是_解析 或；由得，当时，得，解得；当时，得，解得6.若关于x的方程25|x+1|45|x+1|m=0有实根，求m的取值范围.解析解法一：设y=5|x+1|，则0y1，问题转化为方程y24ym=0在（0，1有实根.设f（y）=y24ym，其对称轴y=2，f（0）0且f（1）0，得3m0.解法二：m=y24y，其中y=5|x+1|（0，1，m=（y2）243，0）综合提高训练：7已知函数，满足且，当时，试比较与的大小。解析 ，关于对称，又 ，当时，；当时，第2讲 对数及对数函数知识梳理对数的概

11、念如果ab=N（a0，a1），那么b叫做以a为底N的对数，记作logaN=bab=NlogaN=b（a0，a1，N0）.二、对数的运算性质loga（MN）=logaM+logaN. loga=logaMlogaN.logaMn=nlogaM.（M0，N0，a0，a1）三、对数换底公式：logbN=（a0，a1，b0，b1，N0）.四、对数函数的图像及性质函数y=logax（a0，a1）叫做对数函数，其中x是自变量，图像如下对数函数的性质：定义域：（0，+）； 值域：R； 过点（1，0），即当x=1时，y=0.当a1时，在（0，+）上是增函数；当0a1时，在（0，+）上是减函数。五、对数函数与指

12、数函数的关系对数函数与指数函数互为反函数，它们的图像关于直线y=x对称.。重、难点突破重点：掌握对数的运算性质及对数函数的图像与性质。难点：综合运用对数函数的图像与性质解决问题。重难点：1对数函数性质的拓展（）同底数的两个对数值与的大小比较若，则若，则（）同真数的对数值大小关系如图对应关系为（1），（2），（3），（4）则作直线得即图象在轴上方的部分自左向右底数逐渐增大2常见对数方程或对数不等式的解法（1）形如转为，但要注意验根对于，则当时，得；当时，得（2）形如或的方程或不等式，一般用换元法求解。（3）形如的方程化为求解，对于的形式可以考虑利用对数函数的单调性来解决热点考点题型探析考点1 对

13、数式的运算例1（湛江市09届高三统考）已知用表示 解题思路应设法对数换底公式将换成以常用对数，并且设法将12与45转化为2、3来表示解析名师指引 对数式的运算一般都是运用对数的运算性质及对数换底公式，在未来的高考中，对数式的运算可能要综合其他知识交汇命题新题导练1（高州中学09届月考）的结果是 解析1；2（中山市09届月考）若，求的值 解析 ； 3（广东吴川市09届月考）如果，那么的最小值是（ ）A4；B；C9；D18解析18；由得，所以，又由题知从而，当且仅当时取“=”考点2对数函数的图像及性质题型1：由函数图象确定参数的值例2 函数ylog2ax1（a0）的图象的对称轴方程是x2，那么a等

14、于( )A.;B.;C.2;D.2解题思路由于函数图象的对称轴方程是x2,所以可以利用特殊值法求解解析 如利用f（0）=f（4），可得0=log2|4a1|.|4a+1|=1.4a+1=1或4a+1=1.a0，a=.故选B名师指引函数图象的对称性是常考知识点，高考要求要掌握几种基本的对称。题型2：求复合函数值域及单调区间例3 已知f（x）=log3(x1)2，求f（x）的值域及单调区间.解题思路通过研究函数f（x）的单调性解析 真数3(x1)23，log3(x1)2log3=1，即f（x）的值域是1，+）.又3(x1)20，得1x1+，x（1，1时，3(x1)2单调递增，从而f（x）单调递减；

15、x1，1+）时，3(x1)2单调递减，f（x）单调递增.名师指引对数函数与二次函数的复合函数的最值（值域）与单调性是常考知识点，解决的办法就是充分利用组成复合函数的各个基本函数的单调性以及复合函数的单调性法则。新题导练4（东皖高级中学09届月考）若函数是定义域为R的增函数，则函数的图象大致是 （ ）解析 D；由函数是定义域为R的增函数知，所以函数在上的减函数，将的图象向左平移一个单位即得的图象，故应选D5（09年山东济宁）设，函数的图象如图2，则有 A；BC；D解析 A；由图知，并且由图象知的图象是由的图象向下平移得到的，故考点3 指数、对数函数的综合应用题型1：利用对数函数的复合函数的单调性

16、求值域 例4 已知x满足, 函数y的值域为, 求a的值解题思路欲求a的值就设法寻找a的等式，但是这里没有等式，我们应该利用函数的单调性，求出其值域，依据已知条件寻求关于a的不等式组解析 由由y, 当时, 为单调增函数, 且,此时a的值不存在. 当时, 为单调减函数,，.名师指引对数函数是重要的基本初等函数, 高考中既考查双基, 又考查对蕴含其中的函数思想、等价转化、分类讨论等思想方法的理解与运用. 因此应做到能熟练掌握它的图像与性质并能进行一定的综合运用.题型2：指数函数与对数函数的反函数关系例5设函数f（x）是函数g（x）=的反函数，则f（4x2）的单调递增区间为（ ）A.0，+）；B.（，

17、0；C.0，2）；D.（2，0解题思路 先根据对数函数与指数函数互为反函数写出函数f（x）的表达式，然后再研究复合函数的单调性求其单调递增区间解析显然，从而得，其定义域为.时，单调递增；时，单调递减.故选C名师指引 对数函数与指数函数是一对特殊的基本初等函数，它们互为反函数，它们的图像关于直线y=x对称，高考中时有涉及新题导练5（执信中学09届月考）已知，则的大小关系是（ ）A B C D解析 C；由于，所以应选择C6.（四会中学09年月考）若，则（ ）A；B；C；D 解析 C；由得，从而，备选例题 （广东实验中学09届月考）若函数的定义域为M。当时，求的最值及相应的x的值。解析，解得：， =

18、 ， f(x)= （）由二次函数性质可知：； 当 综上可知：当f(x)取到最大值为，无最小值。抢分频道基础巩固训练：1（1）；（2）_解析（1）1；（2）；2已知，则= 解析3；由得，所以3(2007全国)函数的图像与函数的图像关于直线对称，则_。解析；由题意知，是函数的反函数，故 4（广州市09届高三年级第一学期中段考）若偶函数满足且时,则方程的根的个数是( )A. 2个；B. 4个；C. 3个；D. 多于4个解析 A；由知是周期为2的函数，又时, 由是偶函数和周期性，在同一坐标系中作出和的图象，可知它们的图象有两个交点，故方程的零点个数是25设，则x属于区间（ ）A（2，1）；B（1，2）

19、；C（3，2）；D（2，3）解析 D；因为，而，所以x属于（2，3）综合提高训练：6（潮州金山中学09届高三检测）若点在第一象限且在上移动，则（ ） A最大值为1；B最小值为1；C最大值为2；D没有最大、小值解析 A；依题意知，因为，所以当且仅当时取到“=”，故应选A7（湛江市09届统测）给出四个函数图象分别满足：与下列函数图象对应的是（ ） A B. C. D. 解析 D；显然满足的函数应是这种类型，故图象应是；满足应该是指数函数，故图象应是；满足的应是对数函数，故图象应是；满足的应是幂函数，就本题而言，其图象应是8（深圳翠园、宝安中学09届联考）下列表中的对数值有且仅有一个是错误的：358

20、915 请将错误的一个改正为 解析lg15=3a-b+c；如果，则可见，是错误的，那么也是错误的，这与题意矛盾；反过来，也不是错误的，否则是错误的；同样，如果，则，如果是错误的，那么也错误，这与题意矛盾；显然也不是错误的，否则也错误；所以，所以应将最后一个错误的改正为9（重庆南开中学09届模拟）函数，若（其中、均大于），则的最小值为 （ ）A；B；C；D解析 B；由得，从而得，所以10已知函数（1）若的定义域为，求实数的取值范围；（2）若的值域为，求实数的取值范围；解析（1）或；（2）依题意对一切恒成立当时，必须有，即或当时，当时，满足题意，当时不合题意故或依题意，只要能取到的任何值，则的值域

21、为，故有，即又当时，即，当时符合题意，当时，不合题意故第3讲 幂函数知识梳理一、幂函数的概念一般地，形如（R）的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数二、幂函数的图像及性质定义域RRR奇偶性奇奇奇非奇非偶奇在第象限的增减性在第象限单调递增在第象限单调递增在第象限单调递增在第象限单调递增在第象限单调递减幂函数（R，是常数）的图像在第一象限的分布规律是：所有幂函数（R，是常数）的图像都过点；当时函数的图像都过原点；当时，的的图像在第一象限是第一象限的平分线（如）；当时，的的图像在第一象限是“凹型”曲线（如）当时，的的图像在第一象限是“凸型”曲线（如）当时，的的图像不过原点，且在第一象限是“下滑”曲线

22、（如）重、难点突破重点：幂函数的概念、几个特殊幂函数的图像与性质。难点：综合运用几个特殊幂函数的图像与性质解决问题。重难点：幂函数性质的拓展当时，幂函数有下列性质：（1）图象都通过点；（2）在第一象限内都是增函数；（3）在第一象限内，时，图象是向下凸的；时，图象是向上凸的；（4）在第一象限内，过点后，图象向右上方无限伸展。当时，幂函数有下列性质：（1）图象都通过点；（2）在第一象限内都是减函数，图象是向下凸的；（3）在第一象限内，图象向上与轴无限地接近；向右无限地与轴无限地接近；（4）在第一象限内，过点后，越大，图象下落的速度越快。无论取任何实数，幂函数的图象必然经过第一象限，并且一定不经过第

23、四象限。热点考点题型探析考点 幂函数的概念、图象和性质题型1：利用幂函数的单调性比较大小 例1（中山市09届月考）已知，试比较的大小；解题思路欲比较这几个数的大小，因为它们的指数相同，应考虑某个幂函数的单调性解析 在上单调递增，又 .名师指引比较几个数式的大小，是解题过程中常常遇到的知识考点，往往都要用到函数的单调性，我们应该熟练掌握规定的几个特殊幂函数的单调性、奇偶性及图像特征.题型2：由幂函数的性质确定解析式 例2 已知函数f(x)=x(pZ)在(0,+)上是增函数，且在其定义域上是偶函数。（1）求p的值，并写出相应的函数f(x)的解析式。（2）对于（1）中求得的函数f(x)，设函数g(x

24、)=qff(x)+(2q1)f(x)+1，问是否存在实数q(q0。f(x)在(0,+)上是增函数，p2+p+0 解得：1p0,则实数p的取值范围是_. 解析 (3，） 只需f(1)=2p23p+90或f(1)=2p2+p+10即3p或p1.p(3, ).4若方程x2+(k-2)x+2k-1=0的两根中,一根在0和1之间,另一根在1和2之间,求实数k的取值范围.解析 ；令，则依题意得，即，解得5.(2007韶关)若关于x的方程4x+2x a+a+1=0有实数根，求实数a的取值范围.解析令t=2x，t0关于x的方程4x+2x a+a+1=0有实数根等价于方程t2+at+a+1=0(t0)有正实数根

25、,令f(t)= t2+at+a+1，且故方程t2+at+a+1=0(t0)有正实数根等价于（1）方程有一个正根一个负根：由f(0)0,得a0)的函数y=f(x)和y=g(x)的图像如图所示，给出下列四个命题中： (1) 方程fg(x)=0有且仅有三个解； (2) 方程gf(x)=0有且仅有三个解； (3) 方程ff(x)=0有且仅有九个解； (4)方程gg(x)=0有且仅有一个解。-aaxyy=g(x)Oa-a-aaxyy=f(x)Oa-a那么，其中正确命题的个数是（ )A 1;B. 2;C. 3;D. 4解析 B；由图可知，由左图及fg(x)=0得，由右知方程fg(x)=0有且仅有三个解，即

26、(1)正确；由右图及gf(x)=0得，由左图知方程gf(x)=0有且仅有一个解，故(2)错误；由左图及ff(x)=0得，又由左图得到方程ff(x)=0最多有三个解，故(3)错误；由右图及gg(x)=0得，由右图知方程gg(x)=0有且仅有一个解，即(4)正确，所以应选择B8（2008惠州调研）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程的一个近似根（精确到0.1）为（ ）. A1.2; B1.3;C1.4 ; D1.59已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.(1)若方程有两根,其中一根在区间(1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围.(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围.解析(1)条件说明抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(1，0)和(1，2)内，画出示意图，得.(2)据抛物线与x轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组 (这里0m1是因为对称轴x=m应在区间(0，1)内通过)第5讲 函数模型及其应用知识梳理1我们学习过的基本初等函数主要有：一次函数、二次函数、正（反）比例函数、三角函数、指数函数、对数函数、幂函数等，我们要熟练掌握这些函数的图象与