教案：第一章 函数与极限.doc

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1、高等数学教案第1、2讲章节次数第1、2讲：第一章 函数与极限，第一节 映射与函数教学目的要求1. 理解函数的概念。2. 掌握函数的初等函数的性质及其图形。3. 会建立简单应用问题中的函数关系式。主要内容集合、映射、函数函数的几种几何特性反函数、复合函数、初等函数常见的经济函数 重点难点理解复合函数及分段函数，反函数及隐函数的概念，基本初等函数的性质及其图形。教学方法讲授，练习课后作业作业：第1讲：2122页的习题4、5、6、7、10 第2讲： 22页的习题11、12、14、15、16备注本章内容带有复习性质，凡中学已经学习过的有关函数的知识，只需加以复习提高，不必再作详细讲解。课程的性质与任务

2、高等数学是高等院校学生必修的一门重要基础理论课，是培养造就高层次专门人才所需数学素质的基本课程。它在培养和提高思维能力方面发挥着特有的作用，它的内容、思想、方法和语言已成为现代文化的重要组成部分。在让学生掌握基本理论与基本运算技能的基础上，要通过各个教学环节逐步培训学生的抽象概括能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力。在传授知识的同时，要着眼于提高学生的数学素质，培养学生用数学的方法去解决实际问题的意识、兴趣和能力。第一章 函数与极限第一节 映射与函数教学目的与要求：理解函数的概念，掌握函数的初等函数的性质及其图形，并会建立简单应用问题中的函数关系式。教学重点（难点）：理解复合函数及分段函

3、数，反函数及隐函数的概念，基本初等函数的性质及其图形。一、集合1、 集合概念具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。组成这个集合的事物称为该集合的元素。表示方法：用A，B，C，D表示集合；用a，b，c，d表示集合中的元素。1)2)元素与集合的关系：，一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。常见的数集：N，Z，Q，R，N+元素与集合的关系：A、B是两个集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作。如果集合A与集合B互为子集，则称A与B相等，记作若作且则称A是B的真子集。全集I：AiI（I=1，2，3，.）。空集： 。2、 集合的运算并集：交集：差

4、集：补集（余集）：IA集合的并、交、余运算满足下列法则：交换律： 结合律：，分配律： ，对偶律： ( 笛卡儿积： AB3、区间和邻域1）有限区间：开区间，闭区间，半开半闭区间。2）无限区间：（），。3）邻域：注：a 邻域的中心，邻域的半径；去心邻域记为。二、映射定义 设X，Y是两个非空集合，如果存在一个法则，使得对X中的每一个元素，按法则，在Y中有唯一确定的元素与之对应，则称为从X到Y的映射，记作 其中称为元素的像，并记作，即。 注意：每个X有唯一的像；每个Y的原像不唯一。三、函数1、 函数的概念定义 设数集，则称映射为定义在D上的函数，记为 。注：函数相等：定义域、对应法则相等。2、 函数的

5、几种特性1）函数的有界性（上界、下界；有界、无界），有界的充要条件：既有上界又有下界。2）函数的单调性（单增、单减），在x1、x2点比较函数值与的大小（注：与区间有关）。3）函数的奇偶性(定义域对称、与关系决定)，图形特点 (关于原点、Y轴对称)。4)函数的周期性(定义域中成立：)3、 函数与复合函数1）反函数：函数是单射，则有逆映射，称此映射为函数的反函数。函数与反函数的图像关于对称。2）复合函数：函数定义域为D1，函数在D上有定义、且。则为复合函数。3）分段函数：分段函数的统一表达式。结论：对于分段函数 f（x）=若初等数函f1（x）和f2（x）满足f1（a）= f2（a），则 f（x）=

6、 f1（x+a-）+ f1（x+a+）- f1（a）4、初等函数1）幂函数： 2)指数函数： 3)对数函数： 4)三角函数：5)反三角函数：， 以上五种函数为基本初等函数。例1 已知分段函数 1）求其定义域并作图；2）求函数值例2 求由所给函数复合的函数，并求各复合函数的定义域：y=10u，u=1+x2, y=arctanu2, u=tanv, v=a2+x2.例3 求函数的反函数及反函数的定义域：y=x2,（0 x0 为生产一个单位产品所需的可变成本。5. 总收益(总收入)函数 总收益R是指产品出售后，所得到的全部收入。它是销量Q的函数，记为R(Q)。(通常假设产销平衡)若产品的单位售价p不

7、变， 则 R(Q)=pQ若价格p是产量Q的单调减少函数p(Q), 则 R(Q)=p(Q)Q6. 总利润函数利润是生产中获得的总收益与投入的总成本之差。即 产销平衡时， L(Q) = R(Q) - C(Q)7. 库存润函数设某企业在计划期 T 内，对某种物品总需求量为 Q ，由于库存费用及资金占用等因素，显然一次进货是不划算的，考虑均匀的分 n 次进货，每次进货批量为 ，进货周期为 . 假定每件物品的贮存单位时间费用为 ，每次进货费用为 ，每次进货量相同，进货间隔时间不变，以匀速消耗贮存物品，则平均库存为，在时间 T 内的总费用 E 为为储存费为进货费用。 第3、4讲章节次数第3、4讲： 1.2

8、数列的极限 教学目的要求1. 了解数列极限的概念，性质。2. 会用极限的分析定义证明一些简单的极限。主要内容数列、数列极限的定义与几何意义 数列极限唯一性及收敛数列的有界性重点难点极限的概念的理解及应用；教学方法以讲授为主课后作业练习作业： 第3、4讲：30页的习题 1、3 备注函数极限的基本性质同数列极限的性质。第二节 数列的极限教学目的与要求：理解极限的概念，性质。教学重点（难点）：极限的概念的理解及应用。一、数列 数列就是由数组成的序列。 1）这个序列中的每个数都编了号。2）序列中有无限多个成员。一般写成：缩写为例1 数列是这样一个数列，其中 ，也可写为：可发现：这个数列有个趋势，数值越

9、来越小，无限接近0，记为。极限的定义，当时，恒成立，则称数列的极限为，记成 极限是数列中数的变化总趋势，因此与数列中某个、前几个的值没有关系。二、收敛数列的性质定理1 如果数列收敛，那么它的极限是唯一。定理2 如果数列收敛，那么数列一定有界。定理3 如果且a0(a0，当nN时，。例2 证明数列的极限是1。例3 作出数列图形，讨论其极限值。微积分教案：第5、6讲章节次数第5、6讲： 1.3 函数的极限 教学目的要求1. 了解函数极限的概念，性质。2. 会用极限的分析定义证明一些简单的极限。3. 理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。主要内容自变量趋于无穷大及趋于有限数

10、时函数的极限函数极限的几何解释单侧极限 重点难点理解函数左极限与右极限，极限性质。教学方法讲授，练习，讨论课堂练习38页的1、2、3课后作业38页的4、5、6，补充分段函数求解极限的习题。备注函数极限的基本性质同数列极限的性质。第三节 函数的极限教学目的与要求：理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。教学重点（难点）：理解函数左极限与右极限，极限性质。极限的定义一、在点的极限1）可在函数的定义域内，也可不在，不涉及f在有没有定义，以及函数值的大小。只要满足：存在某个使：。2）如果自变量趋于时，相应的函数值有一个总趋势以某个实数为极限 ，则记为 ：。形式定义为：，当时，

11、恒成立。 左极限与右极限重点强调：结论：二、的极限设，如果当时函数值有一个总趋势-该曲线有一条水平渐近线-则称函数在无限远点有极限。记为：。 在无穷远点的左右极限： ， 关系为：例1 讨论函数在x的极限。例2 求下面函数极限：， 。 三、函数极限的性质定理1（函数极限的唯一性）如果存在，则这个极限唯一。定理2（函数极限的局部有界性）如果存在，那么存在常数和，使得当时时，有。定理3 (函数极限的局部保号性)则存在常数，使得当时。定理3 ，则邻当时，。推论 当时， 教案第7讲章节次数第7讲： 1.4 无穷小与无穷大教学目的要求掌握无穷小与无穷大概念。主要内容无穷小、无穷大无穷小与无穷大的关系无穷小

12、的性质 重点难点理解无穷小与无穷大的关系。教学方法以讲授，练习，讨论为主课后作业42页的习题2、4、5备注第四节 无穷小量与无穷大量教学目的与要求：掌握无穷小与无穷大概念。教学重点（难点）：理解无穷小与无穷大的关系。一、无穷小定义定义 对一个数列，如果成立如下的命题：，当时，恒成立，则称它为无穷小量，即注：1）的意义；2）可写成； 3）上述命题可翻译成：对于任意小的正数，存在一个号码N，使在这个号码以后的所有的号码，相应的与极限0的距离比这个给定的还小。它是我们在直观上对于一个数列趋于0的认识。定理1 在自变量的同一变化过程（或中，函数具有极限A的充分必要条件是，其中是无穷小。二、无穷小的性质

13、设和是无穷小量于是：5） 两个无穷小量的和差也是无穷小量：2）对于任意常数C，数列也是无穷小量： 3）也是无穷小量，两个无穷小量的积是一个无穷小量。 4）也是无穷小量： 5）无穷小与有界函数的积为无穷小。三、无穷大定义一个数列，如果成立：，当时，恒成立，那么称它为无穷大量。记成：。特别地，如果，当时，恒成立，则称为正无穷大，记成。特别地，如果，当时，恒成立，则称为负无穷大，记成。注：无法区分正负无穷大时就笼统地称之为无穷大量。四、无穷小和无穷大的关系定理2 在自变量的同一变化过程中，如果为无穷大，则为无穷小；反之，如果为无穷小，且则为无穷大。即非零的无穷小量与无穷大量是倒数关系：当时：有 ；注

14、意是在自变量的同一个变化过程中。教案第8、9讲章节次数第8、9讲：2.5 极限运算法则教学目的要求掌握极限的四则运算法则。主要内容极限的四则运算法则 重点难点会用四则运算法则求极限；教学方法讲授、练习课堂练习49页 习题： 1，（1）、（2）（3）（4）课后作业 49页 习题： 1，（5）（14） 2, 3 备注第五节 极限的四则运算教学目的与要求：掌握极限的四则运算法则。教学重点（难点）：会用四则运算法则求极限。1）若函数和在点有极限，则2）函数在点有极限，则对任何常数成立 3）若函数和在点有极限，则 4）函数和在点有极限，并且，则 极限的四则运算成立的条件是若函数 和 在点 有极限。定理3

15、 设函数是由函数与复合而成，在点的某去心邻域内有定义，若，且存在，当 时，有，则例1 下面函数在x趋向什么时是无穷小，又当x趋向什么时是无穷大： 。例2 求下面函数极限：教案第十讲章节次数第10讲： 2.6极限存在准则 两个重要的极限 教学目的要求1. 知道两个极限存在性定理，并能用于求一些简单极限的值。2. 熟练掌握两个重要极限。3. 了解一些常见的等价无穷小量，并会用等价无穷小量代换定理求解极限。主要内容夹逼定理，单调有界数列的极限存在性定理两个重要极限： 等价无穷小量代换定理 重点难点极限存在准则，两个重要极限的应用，熟练应用等价无穷小求极限。教学方法讲授，练习，讨论课后作业作业： 1,

16、 2, 4 备注第六节 极限存在准则 两个重要极限教学目的与要求：掌握极限存在准则，透彻理解两个重要极限。教学重点（难点）：极限存在准则，两个重要极限的应用，熟练应用等价无穷小求极限。定理1（夹逼定理） 三数列、和，如果从某个号码起成立：1），并且已知和收敛， 2），则有结论： 定理2 单调有界数列一定收敛。单调增加有上界的数列一定收敛；单调减少有下界的数列一定收敛。一、 极限该极限的证明，关键是证不等式:sinxxtanx (0x/2). O H YTBA C X如图.设单位圆O的渐开线为.若记TOAx，并过作轴于，C切且交及轴分别于、，则Sinx =THAT =（x）= TB1- 1/n=

17、（2(1/2)+（n-2）/n （1/2）21n-2=（1/4）1/n则 4 （n+1）/ n= （1+1/n）n即数列An有上界。于是，极限存在，并记为数e。例1 。解： 例2 解： 补充知识：三、连续复利设一笔贷款（称为本金），年利率为r，则一年后本利和两年后本利和k年后本利和 计息，年利率为仍为r，则每期利率为，为 k年后本利和 如果计息期数即每时每刻计算复利（称为连续复利），则k年后本利和教案第十一讲章节次数第11讲： 1.7无穷小的比较教学目的要求理解无穷小阶的概念。掌握无穷小的比较方法。掌握等价无穷小代换方法。主要内容无穷小的阶 无穷小的比较 等价无穷小代换 重点难点无穷小的比较

18、等价无穷小代换教学方法讲授，练习，讨论课堂练习59页的习题1、2课后作业59页的习题3、4备注第七节 无穷小的比较教学目的与要求：理解无穷小阶的概念；掌握无穷小的比较方法；掌握等价无穷小代换方法。教学重点（难点）：掌握无穷小的比较方法；掌握等价无穷小代换方法。一、无穷小的比较定义 若为无穷小，且 则与的关系，依次是高阶、低阶、同阶、k阶、等价（） 例1 证明下面各无穷小量之间的关系： 与x（x +） tanx-sinx与sinx（x ）。二、等价无穷小量代换1）若为等价无穷小，则。 2）若、且存在，则：=例1 求下面函数极限：， ，例2 证明有界，并求 的极限。例3 求下面函数极限， ， 。教

19、案第十二、三讲章节次数第12、13讲： 1.8 函数的连续性与间断点 1.9 连续函数的运算与初等函数的连续性教学目的要求1. 了解函数连续性的概念，函数间断的概念。2. 掌握函数间断点的分类。3. 掌握讨论简单分段函数连续性的方法。4. 了解连续函数的性质，理解初等函数在其定义区间内必连续的结论。5. 会利用函数的连续性求函数极限。主要内容函数连续性的概念，间断点的分类连续函数的性质 重点难点判断函数连续。教学方法讲授，练习，讨论课堂练习64页的习题1、269页的习题1、2课后作业64页的习题3、469页的习题3、4、5备注第八节 函数的连续性第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性教学目的

20、与要求：利用定义判断连续或间断点，理解连续函数的性质和初等函数的连续性，并会利用函数的连续性求函数极限。教学重点（难点）：判断函数连续。一、函数在一点的连续性函数在点连续，当且仅当该点的函数值、左极限与右极限三者相等： 或者：当且仅当函数在点有极限且此极限等于该点的函数值 。 其形式定义如下：函数在区间（a,b）连续指：区间中每一点都连续，函数在区间a,b连续时包括端点。注：1）左右连续，在区间上连续(注意端点)； 2）连续函数的图像是一条连续且不间断的曲线。 二、间断点 若：中有某一个等式不成立，就间断，分为：1、第一类间断点 即函数在点的左右极限皆存在但不相等，曲线段上出现一个跳跃。2、第

21、二类间断点左极限与右极限两者之中至少有一个不存在。三、初等函数的连续性1、连续函数的四则运算1） 且，2） 且，3） 且，2、反函数连续定理如果函数是严格单调增加（减少）且连续的，则存在它的反函数：也是严格单调增加（减少）并且连续。注：1）反函数的定义域就是原来的值域。2）通常惯用X表示自变量，Y表示因变量。反函数也可表成3、复合函数的连续性定理： 设函数和满足复合条件，若函数在点x0连续；，又若函数在点连续，则复合函数在点连续。 注：复合函数的连续性可以保证极限号与函数符号的交换：从这些基本初等函数出,通过若干次四则运算以及复合，得到的种种函数统称为初等函数，并且初等函数在其定义区间内连续。

22、例1 讨论函数在x=0处的连续性：例2 求下面函数的间断点，判断其类型： 。例3 求下面函数的连续区间： ， 。例4 求下面函数极限： 。教案第十四讲章节次数第14讲：1.10 闭区间上连续函数的性质 教学目的要求1. 了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）。2. 会应用零值定理、介值定理证明简单问题。主要内容闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理） 重点难点利用性质解决问题。教学方法讲授，练习，讨论课后作业74页习题： 1、2、3备注基本定理不证明，只作几何说明。第十节 闭区间上连续函数的性质教学目的与要求：了解闭区间上连续函数的性质（有界性

23、、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。教学重点（难点）：利用性质解决问题。一、最大、最小值定理设函数：在上有界，现在问在值域中是否有一个最大的实数？如果存在，譬如说它是某个点的函数值 ，则记叫做函数在D上的最大值。 类似地，如果中有一个最小实数，譬如说它是某个点的函数值，则记称为函数在上的最小值 。二、有界性定理有界性定理 如果函数在闭区间上连续，则它在上有界。三、零点、介值定理最大值和最小值定理 如果函数在闭区间上连续则它在上有最大值和最小值，也就是说存在两个点和，使得 。亦即 若x0使，则称x0为函数的零点。 四、零点定理零点定理 如果函数在闭区间上连续，且在区间的两个端点异号：则至少有一个零点，使。五、中值定理中值定理 如果函数在闭区间上连续，则在上能取到它的最大值和最小值之间的任何一个中间值。例1 证明方程x=asinx+b（a、b0）至少有一个正根，并且它不超过a=b。例2 已知函数。1）求的单调区间和值域； 2）设a1，函数，若对于任意使得成立，求a的取值范围。