一元微积分的应用.doc

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1、第一部分：微积分部分I。一元函数微积分部分1 曲线的渐近线函数曲线的渐近线对于作那些可以延伸到无穷远的函数的图形，把握图形的变化趋势具有重要的作用，曲线的渐近线分为：垂直，水平，斜渐近线（水平渐近线是其特殊情况），我们先给出它们的统一定义，然后分别给出计算方法。关于函数的渐近线一般教科书通常只给出水平及垂直渐近线的求法，但曲线的斜渐近线通常也是研究生考试的必考内容，这里给出了斜渐近线的一般定义及求法一。渐近线的统一定义：定义1.1.1当曲线上的一动点M沿着曲线移向无穷远点时，若点M与定直线L的距离趋于0，则直线L就称曲线的一条渐近线。（如图1-1.1） 图 1-1.1二。渐近线的求法：渐近线分

2、垂直，水平，斜渐近线（水平渐近线是其特殊情况），下面分别给出它们的计算方法。1. 函数的水平及垂直渐近线的求法：对于水平及垂直渐近线的求法在微积分的课程中已有论述，这里复习如下：如果为一条水平渐近线；如果为一条垂直渐近线；（如图1-1.2） 有水平渐近线两条:垂直渐近线： 图: 1-1.2例如：均有水平渐近线；均有垂直渐近线；注意点：求水平渐近线时应让x分别趋于正负无穷求极限，如果得不同极限则得不同渐近线；对于求垂直渐近线类似*2关于有理函数垂直渐近线的求法：分母为零的点可能存在垂直渐进线；例如：垂直渐近线 这里虽然也是分母的零点，但因它也是分子的零点，因此它是函数的可去间断点，故不是函数的垂

3、直渐近线；故求有理函数垂直渐近线的步骤如下：1）将分母，分子分解因式，2）消去公因子，则由分母为零的点即可得函数的垂直渐近线；3.斜渐近线的求法：由斜渐近线的定义知：（如图1-1） 则表示是函数有一条斜渐近线。由此得斜渐近线的求法如下：设的斜渐近线为：；1）求a（斜渐近线之斜率），因 （1.1.1）2）求出a后再由 （1.1.2）（斜渐近线之截距）即可求出一条斜渐近线，注：1）. 如果 不存在或为无穷大，则表示这时无斜渐近线。2）.如果，有水平渐近线y=b，故在求斜渐近线时顺便可求出水平渐近线。3）和求垂直，水平渐近线类似，求斜渐近线时也应分别就分别讨论。4.例题：例1.1.1 求的渐近线.解

4、 易见函数的定义域为是曲线的垂直渐近线.又是曲线的一条斜渐近线.，无水平渐近线（为什么）三。考研真题：1.曲线 的斜渐近线的方程为 2.曲线 的斜渐近线的方程为*3曲线 的斜渐近线的方程为4 的水平渐近线为*5. 的渐近线的条数为A 0； B. 1; C. 2; D. 3答案与提示：1）. Y=2x+1（无垂直渐近线）；2） （垂直：） 3） （垂直：x=0） （ 3）的提示：计算y-ax=b时既可用罗比达法则，也可采取折分的方法） 4） 垂直：设a为满足5x-2cosx=0的点 ，则垂直渐近线为：x=a * 5）D，提示;有一条垂直渐近线；x=0；一条水平渐近线;y=0（）;一条斜渐近线：y

5、=x（） 2. 定积分的应用定积分是求某种总量的数学模型，它在几何学、物理学、经济学、社会学等方面都有着广泛的应用，显示了它的巨大魅力. 也正是这些广泛的应用，推动着积分学的不断发展和完善. 因此，在学习的过程中，我们不仅要掌握计算某些实际问题的公式，更重要的还在于深刻领会用定积分解决实际问题的基本思想和方法微元法，不断积累和提高数学的应用能力.一.定积分的元素法：在应用学科中广泛采用的将所求量U（总量）表示为定积分的方法微元法，1.元素法的步骤：元素法的主要步骤如下： 1）由分割写出微元 根据具体问题，选取一个积分变量，例如x 为积分变量，并确定它的变化区间【a，b】，任取【a，b】的区间微

6、元【x，x+dx】求出相应于这个区间微元上部分量U的近似值，即求出所求总量U的一个区间微元，并将其表示为：2）、由微元写出积分 根据 写出表示总量U的定积分应用微元法解决实际问题时，应注意如下两点：1） 所求总量U关于区间【a，b】应具有可加性，即如果把区间【a，b】分成许多部分区间, 则相应地U分成许多部分量, 而总量U等于所有部分量U之和. 这一要求是由定积分概念本身所决定的;2）使用微元法的关键是正确给出部分量U的近似表达式 即使得 在通常情况下，要检验 是否为dx的高阶无穷小并非易事，因此，在实际应用要注意 的合理性.2.定积分的意义1）.定积分 可看作一个“高级”的加法即求和与取极限

7、；即将“微元”在区间a,b上进行“累积”这就是“元素法”的思想，因此在用元素法计算定积分时关键在于找准“元素”及“累积”的区间a,b2）这种加法是建立在“平行”意义上的，如果是非平行意义，例如非平行力，则要进行“平行化”处理。3）.要注意定积分的应用是有范围的：其总量必须与某直线段（区间）有关，否则便不能用定积分处理。3.元素法的应用 1）几何应用平面图形面积；体积（旋转体体积，平行截面积已知体积），2）物理应用：（功；水压力；引力等）二。利用定积分计算体积1. 旋转体的体积： 1）绕x轴旋转体积微元, 旋转体的体积 （1.1.3） 2）绕y轴旋转体积微元旋转体的体积 （1.1.4）2.平行截

8、面面积为已知的立体的体积体积微元 所求立体的体积 （1.1.5）注：绕y轴旋转还可用所谓的“柱壳法”：设由函数y=f(x)，直线：x=a，x=b，x轴围成的曲边梯形绕y轴旋转：取区间微元：【x，x+dx】其对应的以dx为底，f(x)为高的矩形绕Y轴旋转的体积微元为dv=，故绕y轴旋转的体积为： （1.1.6） 图1-1.3例1.1.2.求x轴所围曲边梯形绕y轴旋转的旋转体体积解1.如应用公式（1.2。1）则化成两个曲边梯形绕y轴旋转体积之差（运算麻烦）2.应用公式（1.2.4）例1.1.3.计算摆线相应于的一拱，直线y=0所围成的图形绕x，y轴旋转所得旋转体体积。解：方法1.绕y轴旋转：（运算

9、麻烦）方法2.应用公式（1.2.4）得三。 物理应用：1.功：由定积分的引入可知，沿轴方向作用于物体上连续变化的力使物体从点移动到点时，它所作的功为. (功元素)注：具体计算作功一类的问题时，不可死套公式，而应具体分析用元素法求解。例1.1.4 把一个带电量的点电荷放在轴上坐标原点处，它产生一个电场，这个电场对周围的电荷有作用力. 由物理学知道, 如果一个单位正电荷放在这个电场中距离原点为的地方, 那么电场对它的作用力的大小为 当这个单位正电荷 在电场中从 处沿轴移动到处时, 计算电场力对它所作的功.解 取为积分变量，任取一小区间功微元:所求功为如果要考虑将单位电荷从点移到无穷远处例1.1.5

10、 在底面积为的圆柱形容器中盛有一定量的气体. 在等温条件下, 由于气体的膨胀, 把容器中的一个活塞(面积为)从点处推移到处. 计算在移动过程中, 气体压力所作的功.（如图1-1.4）解 如图，活塞的位置可用坐标表示. 由物理学知道，一定量的气体在等温条件下，压强与体积的乘积是常数即 或因为 所以故作用在活塞上的力在气体膨胀过程中，体积是变的，因而也是变的，所以作用在活塞上的力也是变的.取为积分变量，它 的变化区间为 设为上任一小区间. 当活塞从移动到时，变力所作的功近似于即功微元为于是所求的功为 图1-1。4例1.1.7 如图1-1.5一圆柱形蓄水池高为5米, 底半径为3米, 池内盛满了水.

11、问要把池内的水全部吸出, 需作多少功?解 建立如下坐标系，取为积分变量，取任一小区间 这一薄层水的重力为功微元 所求功（千焦） 图1-1.5例1.1.8 如图1-1.6 设有一直径为20m的半球形水池, 池内贮满水, 若要把水抽尽, 问至少作多少功.解： 选取区间微元相应该微元上的一层水的体(), 抽出这层水需作的功为(焦)其中( kg/)是水的密度，是重力加速度. 故微元所求功为 (焦). 图1-1.62.水压力 由物理学知道，在水深为h处的压强为，这里是水的密度如果有一面积为A的平板水平地放置在水深为h处，那么，平板一侧所受的水压力为如果平板垂直放置在水中，由于水深不同的点处压强p不相等，

12、平板一侧所受的水压力就不能直接使用此公式，而采用“微元法”思想例1.1.9 一个横放着的圆柱形水桶, 桶内盛有半桶水, 设桶的底半径为R水的比重为, 计算桶的一端面上所受的压力.（图1-1.7） 图1-1.7（1） 图1-1.7（2）解 在桶一端面建立如图坐标系，取为积分变量，取任一小区间小矩形片上各处压强近似相等小矩形片的压力微元为端面上所受的压力 例1.1.10 将直角边各为a及2a的直角三角形薄板垂直地浸入水中，斜边朝下，直角边的边长与水面平行，且该边到水面的距离恰等于该边的边长，求薄板所受的侧压力.（图1-1.8）解：取任一小区间面积微元压力微元所求压力 图1-1.83.引力由物理学知

13、道，质量分别为相距为r的两个质点间的引力的大小为其中k为引力系数，引力的方向沿着两质点的连线方向如果要计算一根细棒对一个质点的引力，那么，由于细棒上各点与该质点的距离是变化的，且各点对该质点的引力方向也是变化的，就不能用此公式计算例1.1.11假设有一长度为 线密度为的均匀细棒，在其中垂线上距棒a单位处有一质量为m的质点M，试计算该棒对质点M的引力. （图1-1.9）解 如图 建立如下坐标系，取为积分变量任取一微元小段与质点的距离为小段对质点的引力 水平方向的分力微元由对称性，在铅直方向分力为 图1-1.9*例1.1.12 计算半径为a, 密度为均质的圆形薄板以怎样的引力吸引质量为m的质点P.

14、 此质点位于通过薄板中心Q且垂直于薄板平面的垂直直线上, 最短距离PQ等于b.（如图1-1.10）解 .由于薄板均质均质且关于两坐标轴对称，在圆心的中垂线上，显然引力在水平方向的分力为0，在垂直方向的分力指向轴的正向，所求的引力看成分布在区间上.选取区间微元对于以为内半径的圆环，其质量 对质点的引力在y轴上的分力即相应于微元的引力微元 从而 即所求引力的大小方向指向轴的正向.图1-1.10 四。考研真题： 1.设曲线，与交与点A，过坐标原点O与A的直线与曲线围成一平面图形，问a为何值时该图形绕x轴旋转一周所得旋转体体积最大？最大体积是多少？解：当时，由直线OA的方程为：所求旋转体体积为：2.位

15、于曲线下方，x轴的上方的无界图形的面积是 解：3.设是由抛物线，和直线x=a，x=2和y=0所围成的平面区域，是由抛物线，和直线x=a，和y=0所围成的平面区域，其中0a0）气锤第一次击打将桩打进地下am（米），根据设计方案要求气锤每次击打桩时所做的功与前一次击打桩时所做的功之比为常数r（0r0,及p1,使得： （1.1.7）则收敛；2）如果存在常数N0,使得： （1.1.8）则发散；推论2（极限形式）设在区间上连续，且则1）当 （1.1.9）存在时收敛；2）当 （1.1.10）存在或为无穷大时，发散；定义1.1.2：绝对收敛：如果积分收敛，则称级数绝对收敛定理1.2：绝对收敛级数必收敛例1.

16、1.13 判别广义积分的敛散性.解 因为这里故由推论1知，题设广义积分收敛.例1.1.14 判别广义积分的敛散性.解 因为 故根据推论2知，题设广义积分发散.例1.1.15 判别广义积分的敛散性.解 因为当时， 故由推论1知，题设广义积分发散 .例1.1.16 判别广义积分的敛散性.解 因为 故根据推论2知，题设广义积分发散 .例1.1.17 判别广义积分的收敛性，其中都是常数，且解 而收敛 .收敛，故题设广义积分收敛 .例1.1.18 判别广义积分.的收敛性解 由于而收敛，故收敛，即绝对收敛 因而收敛。二。无界函数的广义积分审敛法定理1.3：（比较原理）设函数在区间上连续， 1）如果：当x充分靠近点a时有且收敛，则收敛；2）如果：当x充分靠近点a时有且，且发散则发散（即大的收敛则小的也收敛，反之小的发散则大的也发散）取推论3设在区间上连续，且1）如果存在常数M0,及,使得： （1.1.11）则收敛；2） 如果存在常数N0,及,使得 （1.1.12）则发散推论4.（极限形式）设在区间上连续，且1） 如果存在常数0q1,2）n=1，m=1,2； 3）n=1，m2讨论，知 对任意的m，n均收敛；对于 当 0p1时 （罗比达）故知 对任意的m，n均收敛故无论 对于任意的m，n均收敛，故选（D）