概率论与数理统计（经管类）第2章课后答案.doc

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1、习题2.11. 设随机变量X的分布律为PX=k=,k=1, 2,N,求常数a.解:由分布律的性质=1得 P(X=1) + P(X=2) +.+ P(X=N) =1 N*=1, 即a=12. 设随机变量X只能取-1,0,1,2这4个值,且取这4个值相应的概率依次为,求常数c.解: C=3. 将一枚骰子连掷两次,以X表示两次所得的点数之和,以Y表示两次出现的最小点数,分别求X,Y的分布律.注: 可知X为从2到12的所有整数值可以知道每次投完都会出现一种组合情况，其概率皆为(1/6)*(1/6)=1/36，故P(X=2)=(1/6)*(1/6)=1/36(第一次和第二次都是1)P(X=3)=2*(1

2、/36）1/18(两种组合(1,2)(2,1)P(X=4)=3*(1/36）1/12(三种组合(1,3)(3,1)(2,2)P(X=5)=4*(1/36）1/9(四种组合(1,4)(4,1)(2,3)(3,2)P(X=6)=5*(1/365/36(五种组合(1,5)(5,1)(2,4)(4,2)(3,3)P(X=7)=6*(1/36)1/6(这里就不写了,应该明白吧)P(X=8)=5*(1/36)5/36P(X=9)=4*(1/36)1/9P(X=10)=3*(1/36)1/12P(X=11)=2*(1/36)1/18P(X=12)=1*(1/36)1/36以上是X的分布律投两次最小的点数可以

3、是1到6里任意一个整数,即Y的取值了.P(Y=1)=(1/6)*1=1/6 一个要是1,另一个可以是任何值P(Y=2)=(1/6)*(5/6)=5/36 一个是2,另一个是大于等于2的5个值P(Y=3)=(1/6)*(4/6)=1/9 一个是3,另一个是大于等于3的4个值P(Y=4)=(1/6)*(3/6)=1/12一个是4,另一个是大于等于4的3个值P(Y=5)=(1/6)*(2/6)=1/18一个是5,另一个是大于等于5的2个值P(Y=6)=(1/6)*(1/6)=1/36一个是6,另一个只能是6以上是Y的分布律了.4. 设在15个同类型的零件中有2个是次品,从中任取3次,每次取一个,取后

4、不放回.以X表示取出的次品的个数,求X的分布律.解:X=0,1,2X=0时,P=X=1时,P=X=2时,P=5. 抛掷一枚质地不均匀的硬币,每次出现正面的概率为,连续抛掷8次,以X表示出现正面的次数,求X的分布律.解:PX=k=, k=1, 2, 3, 86. 设离散型随机变量X的分布律为X-123P解: 7. 设事件A在每一次试验中发生的概率分别为0.3.当A发生不少于3次时,指示灯发出信号,求:(1) 进行5次独立试验,求指示灯发出信号的概率;(2) 进行7次独立试验,求指示灯发出信号的概率.解:设X为事件A发生的次数,(1) (2) 8. 甲乙两人投篮,投中的概率分别为0.6,0.7.现

5、各投3次,求两人投中次数相等的概率.解:设X表示各自投中的次数 投中次数相等的概率=9. 有一繁忙的汽车站,每天有大量的汽车经过,设每辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率为0.0001.在某天的该段时间内有1000辆汽车经过,问出事故的次数不小于2的概率是多少?(利用泊松分布定理计算)解:设X表示该段时间出事故的次数,则XB(1000,0.0001),用泊松定理近似计算=1000*0.0001=0.1 10. 一电话交换台每分钟收到的呼唤次数服从参数为4的泊松分别,求:(1) 每分钟恰有8次呼唤的概率;(2) 每分钟的呼唤次数大于10的概率.解: (1) (2)习题2.21. 求0-1分布的分

6、布函数.解:2. 设离散型随机变量X的分布律为:X-123P0.250.50.25求X的分布函数,以及概率,.解: 则X的分布函数F(x)为: 3. 设F1(x),F2(x)分别为随机变量X1和X2的分布函数,且F(x)=a F1(x)-bF2(x)也是某一随机变量的分布函数,证明a-b=1.证:4. 如下4个函数,哪个是随机变量的分布函数:(1)(2)(3)(4)5. 设随机变量X的分布函数为F(x) =a+barctanx,求(1)常数a,b; (2) 解: (1)由分布函数的基本性质 得: 解之a=, b= (2)(将x=1带入F(x) =a+barctanx)注: arctan为反正切

7、函数,值域(), arctan1=6. 设随机变量X的分布函数为求解: 注: 习题2.31. 设随机变量X的概率密度为:求: (1)常数a; (2); (3)X的分布函数F(x).解: (1)由概率密度的性质A=(2) 一些常用特殊角的三角函数值正弦余弦正切余切0010不存在/61/23/23/33/42/22/211/33/21/233/3/210不存在00-10不存在 (3) X的概率分布为:2. 设随机变量X的概率密度为求: (1)常数a; (2); (3)X的分布函数.解:(1) ,即a=(2)(3) X的分布函数3. 求下列分布函数所对应的概率密度:(1)解: (柯西分布)(2)解:

8、 (指数分布)(3)解: (均匀分布)4. 设随机变量X的概率密度为求: (1); (2)解:(1)(2) (2)5. 设K在(0,5)上服从均匀分布,求方程(利用二次式的判别式)解: KU(0,5)方程式有实数根,则故方程有实根的概率为:6. 设X U(2,5),现在对X进行3次独立观测,求至少有两次观测值大于3的概率.解: 至少有两次观测值大于3的概率为:7. 设修理某机器所用的时间X服从参数为=0.5(小时)指数分布,求在机器出现故障时,在一小时内可以修好的概率.解:8. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以分计)服从参数为=的指数分布,某顾客在窗口等待服务,若超过10分钟,他就离开

9、.他一个月要到银行5次,以Y表示他未等到服务而离开窗口的次数.写出Y的分布律,并求解: “未等到服务而离开的概率”为Y的分布律:Y012345P0.4840.3780.1180.0180.0010.000049. 设X N(3,),求:(1) ;(2) .解: (1) (2)经查表,即C=310. 设X N(0,1),设x满足解:经查表当1.65时即1.65时 11. X N(10,),求:(1)(2)解: (1)(2)经查表,即d=3.312. 某机器生产的螺栓长度X(单位:cm)服从正态分布N(10.05,),规定长度在范围10.050.12内为合格,求一螺栓不合格的概率.解:螺栓合格的概

10、率为:螺栓不合格的概率为1-0.9544=0.045613. 测量距离时产生的随机误差X(单位:m)服从正态分布N(20,).进行3次独立测量.求:(1) 至少有一次误差绝对值不超过30m的概率;(2) 只有一次误差绝对值不超过30m的概率.解: (1) 绝对值不超过30m的概率为:至少有一次误差绝对值不超过30m的概率为:1(2) 只有一次误差绝对值不超过30m的概率为:习题2.41. 设X的分布律为X-2023P0.20.20.30.3求(1)的分布律.解: (1)的可能取值为5,1,-3,-5.由于 从而的分布律为:X-5-3150.30.30.20.2(2)的可能取值为0,2,3.由于

11、 从而的分布律为:X0230.20.50.32. 设X的分布律为X-1012P0.20.30.10.4求解:Y的可能取值为0,1,4.由于 从而的分布律为:X014Y0.10.70.23. XU(0,1),求以下Y的概率密度:(1)解: (1)即(2)即 注: 由XU(0,1),当X=0时,Y=3*0+1=1; ,当X=1时,Y=3*1+1=4(3) 即注: ,当X=0时,; ,当X=1时,4. 设随机变量X的概率密度为求以下Y的概率密度:(1)Y=3X; (2) Y=3-X; (3)解: (1) Y=g(x)=3X, 即(2)Y=g(x) =3-X, X=h(y) =3-Y,-1注意是绝对值

12、即(3) , X=h(y)=, 即5. 设X服从参数为=1的指数分布,求以下Y的概率密度:(1)Y=2X+1; (2) (3)解: (1) Y=g(x)=2X+1, X的概率密度为:即(2) 永远大于0.当x0是,1即(3), 即6. XN(0,1),求以下Y的概率密度:(1)解: (1)当X=+Y时: 当X=-Y时: 故即自测题一,选择题1,设一批产品共有1000件,其中有50件次品,从中随机地,有放回地抽取500件产品,X表示抽到次品的件数,则PX=3= C .A. B. C. D.2.设随机变量XB(4,0.2),则PX3= A . A. 0.0016 B. 0.0272 C. 0.40

13、96 D. 0.8192解:PX3= PX=4= (二项分布)3.设随机变量X的分布函数为F(x),下列结论中不一定成立的是 D .A. B. C. D. F(x) 为连续函数4.下列各函数中是随机变量分布函数的为 B .A. B. C. D. 不晓得为何课后答案为D5.设随机变量X的概率密度为 则常数a= A .A. -10 B. C. D. 10 解: F(x) =6.如果函数是某连续型随机变量X的概率密度,则区间a,b可以是 C A. 0, 1 B. 0, 2 C. D. 1, 27.设随机变量X的取值范围是-1,1,以下函数可以作为X的概率密度的是 A A. B. C. D. 8.设连

14、续型随机变量X的概率密度为 则= B .A. 0 B. 0.25 C. 0.5 D. 1解:9.设随机变量XU(2,4),则= A . (需在区间2,4内)A. B. C. D. 10. 设随机变量X的概率密度为 则X A .自己算的结果是A. N (-1, 2) B. N (-1, 4) C. N (-1, 8) D. N (-1, 16)11.已知随机变量X的概率密度为fx(x),令Y=-2X,则Y的概率密度fy(y)为 D .A. B. C. D. 二,填空题1.已知随机变量X的分布律为X12345P2a0.10.3a0.3则常数a= 0.1 .解:2a+0.1+0.3+a+0.3=12

15、.设随机变量X的分布律为X123P记X的分布函数为F(x)则F(2)= . 解: 3.抛硬币5次,记其中正面向上的次数为X,则= .解:4.设X服从参数为(0)的泊松分布,且,则= 2 .解:分别将.5.设随机变量X的分布函数为其中0ab,则= 0.4 .解:6.设X为连续型随机变量,c是一个常数,则= 0.7. 设连续型随机变量X的分布函数为则X的概率密度为f(x),则当x0.要使,则常数a= 3 . 解:10.设随机变量XN(0,1),为其分布函数,则= 1 .11.设XN,其分布函数为为标准正态分布函数,则F(x)与之间的关系是= .12.设XN(2,4),则= 0.5 .13.设XN(

16、5,9),已知标准正态分布函数值,为使,则常数a 6.5 . 解:,14. 设XN(0,1),则Y=2X+1的概率密度= .解: 三.袋中有2个白球3个红球,现从袋中随机地抽取2个球,以X表示取到红球的数,求X的分布律.解: X=0,1,2当X=0时,当X=1时,当X=2时, X的分布律为:X012P四.设X的概率密度为求: (1)X的分布函数F(x);(2).解: (1);(2)五.已知某种类型电子组件的寿命X(单位:小时)服从指数分布,它的概率密度为一台仪器装有4个此种类型的电子组件,其中任意一个损坏时仪器便不能正常工作,假设4个电子组件损坏与否相互独立.试求: (1)一个此种类型电子组件能工作2000小时以上的概率;(2)一台仪器能正常工作2000小时以上的概率.解: (1)(2)因4个电子组件损坏与否相互独立,故: