结构动力学习题(共33页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上结构动力学习题参考答案专心-专注-专业2.3一根刚梁AB，用力在弹簧BC上去激励它，其C点的运动规定为Z（t）,如图P2.3. 按B点的垂直运动来确定系统的运动方程，假定运动是微小的。 解：以在重力作用下的平衡位置作为基准点，则方程建立时不考虑重力。根据达朗贝尔原理，通过对A点取矩建立平衡方程，刚体上作用有弹簧弹力，以及阻尼力，惯性力。B点的垂直位移是，则有几何关系知处的位移为。根据位移图和受力图可得：其中 代入式得： 合并化简得：2.5 系统如图P2.5 , 确定按下形式的运动方程：。其中为E点的垂直运动。假定薄刚杆AE的质量为M,其转动很小。 解：根据牛顿定律，运

2、动几何关系，对B点取矩得化简合并得：2.13 一根均匀杆，图P2.13 其单位体积质量密度，并具有顶部质量M，应用假定法来推导该系统轴向自由振动的运动方程。假定常数。解： 由虚功原理，有： 其中非保守力为端部集中力，惯性力包括顶部质量M和均匀杆的所受的惯性力，计算如下： 把上式代入式，化简合并得： 因为可取任意值，所以得运动方程： 2.14 应用重做习题2.13解： 由习题2.13可得 合并化简得： 2.17一均匀悬臂梁作用有一水平力N和一与时俱变的横向分布荷载，如图P2.17.采用一简单多项式来推导悬臂梁横向振动的运动方程。 解：设，由虚功原理得 其中非保守力包括三角形均布力，轴向压力N，以

3、及阻尼力；惯性力为均匀梁所受的惯性力，计算如下： 为了简化计算，假设多项式, 则，代入以上各式得 代入式，合并化简得令= , = , = , = ，得悬臂梁横向振动方程如下：+=3.3 一根柔杆总质量为M，它的弯曲刚度为EI。一个集中质量作用在杆的顶部，如图P3.3，由于顶部质量的惯性与几何刚度的影响，确定其的近似表达式。可应用题2.9中假定的振型表达式，以及采用静位移函数，均匀梁用作集中横向端部力（见图P2.18）。 解：在广义参数模型中单自由度系统的运动 方程可表示为 += 所以 =，应用例题2.3得 代入的表达式可得 = 在悬臂端作用横向力P时，挠曲线方程为代入式，积分可得3.4 一个2

4、2Kg质量的用一根弹簧悬挂着，弹簧的弹簧常数k=17KN/m。第二个质量，由高度h=0.2m处降落，并附着在质量上，如图P3.4。 （a）确定两个质量相碰瞬间后运动表达式？ （b）确定两个质量的最大位移？ 解：（a）以两个物体在重力作用下的平衡位置为原点建立运动微分方程 则标准运动方程为 于是 确定运动的初始条件，即碰撞发生瞬间时，的位置和速度 因为碰撞发生在仅有时的平衡位置，所以 又由动量守恒（完全非弹性碰撞），得 由公式3.17得 （b）相对平衡位置，二者的最大位移 相对运动初始位置二者最大位移 3.8 模拟风涡轮成一个集中质量（涡轮的）在一根无重量，长度为L的塔顶上。确定该系统的动力特性

5、，塔旁用一台大型起重机，而且沿着涡轮轴给一横向力P=200 1b，如图P3.8,这样引起1.0 in的水平位移。连在涡轮到起重机的绳索立即突然切断，记录到涡轮的自由振动结果。在两个整循环后，时间为1.25s，其幅值为0.64 in。 根据以上数据确定如下： （a） 无阻尼固有频率（b） 有效刚度。（c） 有效质量（d） 有效阻尼因素解: 因为通常情况下系统所受的阻尼很小，由题目已知条件，可用阻尼固有频率近似计算无阻尼固有频率。有效刚度通过定义求解。有效阻尼因素由对数衰减法计算。具体计算如下：(a) (b) (c) (d) 4.13 机械设备经常使用转动装置，它可使支承结构受力增加，例如建筑物屋

6、顶上的空气调节设备。根据图4.11来判断，使用隔振装置可以减少支承结构的受力。假定一台机器以20Hz运行，并希望应用弹簧形式的隔振装置来使传递的力减少90%，即（a）根据强迫频率函数和静弯曲来确定已知力减少百分比的表达式。（b）计算静弯曲，其条件如上，即在20Hz时减少90%，以毫米表示。 解：传递到支承结构的力 故力的传递率 所以已知力减少百分比的表达式为 ） 又因为隔振装置为弹簧式，所以，化简表达式得 （b）把=90%,，代入上式的，得 解得 即，所以4.14 安装在实验室的一个隔振块，使之邻近工厂运转试验不会产生振动干扰。如隔振块重2000 1b,而四周地面和基础振动为24Hz 时的振幅

7、为0.01 in，计算隔振块仅产生0.002 in的幅值时振动系统的刚度。 解：根据隔振的含义，本题所指隔振块的振幅应为绝对振动振幅，有公式得隔振块的绝对运动与基础运动幅值比为 因为忽略阻尼，所以 又， 代入数据，得 4.17 在振动的结构上一个点，已知其运动为=cos ()。（a）用一加速度计其阻尼因数和共振频率来确定振动记录。 (b) 加速度计是否会引起有效幅值或相位畸变？ 解：（a）振动记录可以看作由两部分组成。一部分由激励引起，一部分由激励引起。总的振动记录由这两部和叠加而成。 首先计算 其中 则可以表示为 = 其中 所以 = 计算 其中 则可以表示为 = 其中 所以 = 所以 =+

8、（b）由相位畸变和幅值畸变的定义，由第一步的计算可知 所以=,分别表示,的加速度幅值，所以输出与加速度输入成正比，所以不会发生幅值畸变或相位畸变。5.2 运送一件仪器设备重40 1b，是用泡沫包装在一容器内。该容器的有效刚度k=100 1b/in，有效阻尼因数，若整个容器和它的包装以垂直速度V=150 in/s碰撞在地面上，求泡沫包装在仪器设备的最大总应力。（如图P5.2所示） 解： 由有阻尼SDOF系统脉冲响应函数得仪器设备的振动位移函数为 其中 方法 直接求加速度的最大值近似计算用代替，并令 对求三次导得 为了求得的极值，令得 解得 ，代入的表达式得 代入数据得 所以泡沫包装作用在仪器设备

9、上的最大总力 方法 由，求极值得到总力的最大值 因为的表达式中含有很多的参数，用符号表达式计算求导过程会使计算复杂化，故求导时直接代入数据计算。 代入数据，计算得 对求一次导得 令得 把代入得表达式计算得 考虑到数据误差，方法与方法所得的结果一致。6.5 例题4.3中的车辆，已知当满载时以速度通过一半正弦曲线形的凸起路面，凸起长度为，如图P6.5所示。（1）计算质量在。（2）确定被弹簧支承的质量所受的最大力，并与（1）比较。 解：分析：质量所受的最大力与其绝对加速度成正比，要求得绝对加速度的最大值就可以先求出质量相对运动的运动方程的表达式，然后再求的极值即可。其中的表达式可以用SDOF系统在简

10、谐激励下的公式计算，也可以用杜哈梅积分计算。 汽车自振频率的计算如下：方法 通过求解运动为运动微分方程求解的表达式 车辆的振动方程为当时，车辆为正弦型荷载作用下的强迫振动，运动方程如下：初始条件当时，车辆为有阻尼的自由振动，运动方程如下：初始条件求解运动方程，得的表达式：解得其中代入初始条件计算得A=0.0424 , B=0.2886所以把代入上式求得，代入自由振动解公式得在自由振动阶段的振动方程（）：对求两次导得(本题的求导过程都是通过matlab求解的) 由于的表达式很复杂，要求得两个时间段下的最大值，可以通过Matlab作出两个时间段下的图形，进而得到的最大值。通过作图知当时，取到负的最

11、大，最大值；时， =； 。 用matlab绘制加速度随时间变化的曲线如下： 所以， 被弹簧支承的质量受到的最大力为 方法 通过杜哈梅积分求解的表达式 当时，车辆为正弦型荷载作用下的强迫振动，的表达式由杜哈梅积分（强迫振动部分）和自由振动两部分表达式组成 其中 对上式积分可得（用matlab计算） 与解微分方程的结果比较可知，忽略数据误差，二者的结果可以认为一致，与理论相符。 当时，车辆为有阻尼的自由振动，此时表达式得求法与方法相同。 当用杜哈梅积分求得的表达式以后，其余的计算步骤同方法，二者所得结果相同 9.5 一均匀薄刚杆BC的质量m，长度L附在一根均匀柔性梁AB上，设侧向位移很小，用哈密顿

12、原理推导柔性梁AB的运动方程和边界条件。 解： 哈密顿原理可以表示为 对于薄壁长梁的横向振动可以忽略梁的剪切变形和转动惯量， 则对整体有 动能 势能 外力功 求变分 因为在处，所以 把以上各式代入哈密顿公式得又对于均匀梁有，代入上式，化简整理得所以运动方程为=0边界条件为10.5 有许多结构梁，既不是固定端的也非简直的，而可以考虑成局部弯曲。确定如图P10.5所示梁的特征方程，其中是个控制参数，控制转动约束的大小。 解：梁的振动方程为 ，通解如下： 弹性约束边界条件，即 根据公式，对求两次导得1 代入以上边界条件得令=A,写成矩阵的形式，如下 若这组齐次方程方程有非零解，则系数行列式必须为零，

13、这样得到特征方程：11.9 应用拉格朗日方程推导下面系统的运动方程式（设图P11.19中两根刚杆的转动很小）。 解：以在重力作用下系统的平衡位置作为基准点建立运动方程，则计算时不考虑重力势能的影响。广义坐标， 系统动能系统势能外力虚构所以广义力由拉格朗日公式，有所以可得关于第一个自由度的运动方程 又 所以可得关于第二个自由度的运动方程写成矩阵形式：11.26 一根悬臂梁是用2-DOF假定振型模型来模拟的，如图P11.26所示，它的广义坐标是以自由度端的挠曲与斜率（很小）表示，即与。图示符合形函数的振型。 （a）根据一般多项式来推导与多项式形式的形函数 （b）推导这个2-DOF模型的运动方程 解

14、：（a）对有边界条件如下 ， 代入求解得 ， 所以= 对有边界条件如下 ， 代入求解得 ， 所以= 综上 (b) , ， 求刚度矩阵 求质量矩阵 所以运动方程如下： 12.1 有一两层建筑结构的刚度与刚度矩阵如下： ，（a） 求该结构的两个固有周期（b） 求相应的两个振型，按比例画出两个模态图，其最大位移为1.0。 解：（a）振动方程如下 设简谐解为 ，代入振动方程得代数特征值问题： 得特征方程如下： 解得，or 所以 （b）把代入方程得 代入计算得 12.8 有一2-DOF均匀悬臂梁的横向振动，根据 ,（a） 推导出该2-DOF模型的运动方程（b） 计算固有频率。比较该频率与例题10.3的精

15、确频率，并比较该频率与例题10.4的频率值。 解：（a）推导振动方程 , ， 求刚度矩阵 求质量矩阵 所以运动方程如下： （b）求固有频率 设简谐解为 ，代入振动方程得代数特征值问题： 根据系数行列式矩阵等于零得特征方程如下： 化简整理得 + 令,化简上式得 解得，or 所以 比较：1. 由计算可知，所有的近似解都大于精确解。2用瑞利法求解频率时往往得到精确解的上限。3. 用二阶假定振型模拟振动计算得到的频率解要比用一阶假定振型模拟振动计算得到的对应频率解精确。4. 假定振型越接近物体实际振动形式，求得的频率解越精确。可以选用适当的振型，从理论上无限地接近精确解。16-2假定一根长度为L，总质量为m的等截面刚性杆，由一个弹性的无质量弯曲弹簧支承，并且承受均匀分布的，随时间变化的外荷载作用，如图E16-1所示。如果取点1和2从其静力平衡位置向下的竖向挠度作为广义坐标，试用Lagrange方程得到最小挠度的控制运动方程。 解：刚性杆的总动能等于它平动及转动动能之和，即 由于是从静力平衡位置算起的位移，如果体系的势能是从弯曲弹簧中所贮存的应变能算得，则重力可以忽略不计，其中的这种应变能用刚度影响系数表示时，势能变成 非保守荷载在任意变分产生的虚位移上所做的虚功为 由广义力的定义知 把式，式和式代入Lagrange方程中，给出这个结构的线性运动方程：