技能培训专题 工程电磁场讲义（第一章）.pdf

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1、1第一章 静电场Steady Electric Field基本方程、分界面上的衔接条件边值问题、唯一性问题分离变量法有限差分法镜像法和电轴法电容和部分电容静电能量与力静电场的应用环路定律、高斯定律电场强度和电位序下 页返 回1.0 序静电场是相对观察者静止且量值不随时间变化的电荷所产生的电场。它是电磁理论最基本的内容。由此建立的物理概念、分析方法在一定条件下可应用推广到恒定电场,恒定磁场及时变场。本章要求深刻理解电场强度、电位移矢量、电位、极化等概念。掌握静电场基本方程和分界面衔接条件。掌握电位的边值问题及其解法。熟练掌握电场、电位、电容、能量、力的各种计算方法。Introduction下 页

2、上 页返 回静电参数(电容及部分电容)静电能量与力有限差分法镜像法,电轴法分离变量法直接积分法数值法解析法边值问题边界条件电位基本方程D的散度基本物理量E、D基本实验定律（库仑定律）静电场知识结构E的旋度下 页上 页返 回矢量积分与标量积分；点电荷是电荷体分布的极限情况，可以把它看成是一个体积很小，电荷密度为，总电量不变的带电小球体。)( )()(rrrq=基本概念平行平面场与轴对称场；点电荷的相对概念和数学模型。下 页上 页返 回1.1.1 库仑定律(Coulombs Low)Electric Field Intensity and Electric Potential212021214Rq

3、qeF=N (牛顿)1221FF=适用条件：库仑定律1.1 电场强度和电位图1.1.1 两点电荷间的作用力点电荷之间的作用力靠什么来传递？思考两个可视为点电荷的带电体之间的相互作用力;真空中的介电常数120108.85=F/m下 页上 页返 回1.1.2 电场强度( Electric Intensity )tqqzyxzyxt),(),(lim0FE=V/m ( N/C )定义：电场强度 E 等于单位正电荷所受的电场力F（a） 单个点电荷产生的电场强度RtpRqqReFE204)(=V/m4)(20rrrrrrrE=qp) (430rrrr=q图1.1.2 点电荷的电场一般表达式为下 页上 页

4、返 回2（b) n个点电荷产生的电场强度 ( 矢量叠加原理 )（c) 连续分布电荷产生的电场强度RRqeE204dd=kNkkkRqerE=12041)(图1.1.4 体电荷的电场图1.1.3 矢量叠加原理元电荷产生的电场=Nkkkkq130)(41rrrrSdldVqdd=，下 页上 页返 回RSRSeE=20d41RlRleE=20d 41线电荷分布lqdd=体电荷分布Vqdd=Sqdd=面电荷分布RVRVeE=20d41下 页上 页返 回)(4d),(d22+=zzzoEEzzdd22z+=EEdzd22+=E解: 轴对称场，圆柱坐标系。例1.1.1真空中有一长为L的均匀带电直导线，电荷

5、线密度为,试求P 点的电场。cosddzE=EsinddE=E下 页上 页返 回图1.1.5 带电长直导线的电场x xzzzELLozd)(4 212322+=zzELLod)(4 212322+=,21时当+=LLLzzEEzeeE+=),(e02=无限长直导线产生的电场e02=平行平面场。)(4 22112222+=LLLLo)11(4 221222+=LLo0下 页上 页返 回矢量恒等式FFF+=CCC) (1) (1333rrrrrrrrrrrr+=351()3()0= =rrrrrrrrrr故0)(rE静电场是无旋场1. 静电场的旋度1.1.3 旋度和环路定律( Curl and C

6、ircuital Law )304)(rrrrrE=q点电荷电场304)(rrrrrE=q取旋度0下 页上 页返 回2. 静电场的环路定律电场力作功与路径无关,静电场是保守场，是无旋场。由Stokes定理，静电场在任一闭合环路的环量=slSElEd)(d0说明=l0dlE即下 页上 页返 回31.1.4 电位函数( Electric Potential )负号表示电场强度的方向从高电位指向低电位。在直角坐标系中1.E 与的微分关系,0=E矢量恒等式0=由zyxezeyex+=E根据E与的微分关系，试问静电场中的某一点( )( )00=E?00=E?下 页上 页返 回=E所以2. 已知电荷求电位

7、144)(030rrrrrrrE=qqCqNiii+=1041)(rrr点电荷群CdqV+=041)(rrr连续分布电荷以点电荷为例)(40rrr=qCq+=4)(0rrrlSVq=d ,d ,d d式中相应的积分原域。,lSV下 页上 页返 回3. 与E的积分关系图1.1.6 E 与的积分关系线积分=00ddPPPPllE式中)ddd()(dzyxzyxzyxzyxeeeeeel+=dddd=+=zzyyxx设P0为电位参考点，即，则P点电位为00=P=0dPPPlE=000ddPPPPPPlE所以下 页上 页返 回4. 电位参考点例如：点电荷产生的电位：Crq+=0400=rC0=rrq0

8、4=0=C点电荷所在处不能作为参考点0=RrRqrq0044=RqC04=场中任意两点之间的电位差与参考点无关。选择参考点尽可能使电位表达式比较简单。电位参考点可任意选择，但同一问题，一般只能选取一个参考点。下 页上 页返 回电荷分布在有限区域时，选择无穷远处为参考点。（通常用于理论分析）。在工程计算中，常把大地作为电位为参考点。下 页上 页返 回5) 电力线与等位线（面）0d = lEE线微分方程zEyExEzyxddd=直角坐标系当取不同的C值时，可得到不同的等位线( 面)。Czyx=),(等位线(面)方程曲线上任一点的切线方向是该点电场强度E的方向。电位相等的点连成的曲面称为等位面。1.

9、1.7 电力线方程下 页上 页返 回4解： 在球坐标系中211202104)11(4rrrrqrrqp=21221)cos4(drdrr+=202044cosrrqdrpep=所以用二项式展开，又有rd，得cos22drr+=cos21drr=例1.2.1画出电偶极子的等位线和电力线( rd )。21222)cos4(drdrr+=图1.1.8 电偶极子下 页上 页返 回)sincos2(430eeE+=rprqErErrdd=电力线方程( 球坐标系) ：2sinDr =等位线方程( 球坐标系) ：cosCr=将和代入E 线方程ErE表示电偶极矩（dipole moment)，方向由dpq-q

10、 指向+q。图1.1.9 电偶极子的等位线和电力线下 页上 页返 回电力线与等位线（面）的性质：图1.1.10 点电荷与接地导体的电场图1.1.11 点电荷与不接地导体的电场E 线不能相交；等线不能相交；E 线起始于正电荷，终止于负电荷;E 线愈密处，场强愈大;E 线与等位线（面）正交。下 页上 页返 回图1.1.12 介质球在均匀电场中图1.1.13 导体球在均匀电场中图1.1.14 点电荷位于无限大介质上方图1.1.15 点电荷位于无限大导板上方下 页上 页返 回作散度运算1.2.1 真空中的高斯定律(Gausss Theorem in Vacuum)0) ()(rrE=高斯定律的微分形式

11、1. E 的散度VVd) (41)(30rrrrrrE=0=E0=E0=E说明静电场是有源场，电荷是电场的通量源。1.2 高斯定律Gausss Theorem下 页上 页返 回2. E 的通量=VVVVd1d0E=niiSq101dSE图1.2.1 闭合曲面的电通量图1.2.2 闭合面外的电荷对场的影响散度定理S 面上的E 是由系统中全部电荷产生的。E 的通量等于闭合面S包围的净电荷。下 页上 页返 回51.2.2. 电介质中的高斯定律(Gausss Theorem in Dielectric)1. 静电场中导体的性质导体内电场强度E 为零，静电平衡；导体是等位体，导体表面为等位面；电场强度垂

12、直于导体表面，电荷分布在导体表面，接地导体都不带电。（）一导体的电位为零，则该导体不带电。 （）任何导体，只要它们带电量不变，则其电位是不变的。 （）下 页上 页返 回无极性分子有极性分子图1.2.3 电介质的极化2. 静电场中的电介质电介质在外电场作用下发生极化，形成有向排列；电介质内部和表面产生极化电荷(polarized charge)；极化电荷与自由电荷都是产生电场的源。下 页上 页返 回E E极化强度P ( polarization intensity)表示电介质的极化程度，即VV=pPlim0C/m2电偶极矩体密度实验结果表明，在各向同性、线性、均匀介质中EP0e=电介质的极化率e

13、各向同性媒质 媒质特性不随电场的方向改变,反之，称为各向异性媒质；线性媒质 媒质参数不随电场的值而变化，反之，称为非线性媒质；均匀媒质 媒质参数不随空间坐标而变化，反之，称为非均匀媒质。下 页上 页返 回极化强度P是电偶极矩体密度，单个电偶极子产生的电位2020414cosRRqdRep=体积V 内电偶极子产生的电位d) ()(4130VPV=rrrrr3. 极化强度与极化电荷的关系图1.2.4 电偶极子产生的电位下 页上 页返 回d) (4120VRVR=erPRRRR112=ed1) (410VRV=rPd) (41d) (4100VRVRVV+=rPrP矢量恒等式：uuu+=FFF)(下

14、 页上 页返 回图1.2.5 体积 V 内电偶极矩产生的电位d) (41d) (41 n00SRVRSV+=erPrP令P=p极化电荷体密度neP =p极化电荷面密度d) (41d) (41)(00SRVRSpVp+=rrrd) (41d) (41 00VRVRVV+=rPrP下 页上 页返 回6+=330d) )(d) )(41)(VSpfpfSVrrrrrrrrrE0ddn+VSSVePP+=0d)()(41)(VSpfpfSdVrrrrr思考根据电荷守恒定律，极化电荷的总和为零。0=p电介质均匀极化时，极化电荷体密度有电介质时，场量为下 页上 页返 回4. 电介质中的高斯定律fff=+=

15、)(000p0PEPE定义PED+=0电位移矢量 （displacement vector）所以= D高斯定律的微分形式取体积分=VVVVddD有=SqSD d高斯定律的积分形式下 页上 页返 回在各向同性介质中ED=介电常数F/mr0=其中相对介电常数，无量纲量。er+=1EEEEPED=+=+=0000re构成方程下 页上 页返 回例1.2.1 平板电容器中有一块介质,画出D 、E和P 线分布。图1.2.6 D、E 与 P 三者之间的关系D线E线P线思考D线由正的自由电荷出发，终止于负的自由电荷；E线由正电荷出发，终止于负电荷；P线由负的极化电荷出发，终止于正的极化电荷。电介质内部的电场强

16、度是否减少了？下 页上 页返 回例1.2.2若点电荷q分别置于金属球壳内外，问（1)穿过闭合面（金属球壳）的D通量是多少？（2) 闭合面上的D与 q 有关吗？（3)若在金属球壳外放置电介质，重问1 )，闭合面上 的D与电介质有关吗？下 页上 页返 回图1.2.7 点电荷 q 分别置于金属球壳的内外例1.2.3 以理想平板电容器中放置双层电介质为例，分析两种电介质交界面处的电场和电场强度例1.2.3 以理想平板电容器中放置双层电介质为例，分析两种电介质交界面处的电场和电场强度E E。下 页上 页返 回7计算技巧：a） 分析场分布的对称性，判断能否用高斯定律求解。b）选择适当的闭合面作为高斯面，使

17、中的D 可作为常数提出积分号外。SSD d高斯定律适用于任何情况，但仅具有一定对称性的场才有解析解。5. 高斯定律的应用下 页上 页返 回例1.2.3试求电荷线密度为的无限长均匀带电体的电场。解: 分析场分布,取圆柱坐标系,dqS=SD由eD2=eDE02=0=1ddSSSDSDL=LLD= 2得下 页上 页返 回图1.2.8 无限长均匀带电体球壳内的电场qrDS=24dSDrrqeD24=球壳外的电场qrDS=24dSDrrqeD24=例1.2.4哪些区域的电场能用高斯定律直接求解？下 页上 页返 回图1.2.10 q分别在金属球内外图1.2.9 q在金属球壳内1.3 基本方程、分界面上的衔

18、接条件1.3.1 基本方程( Basic Equation )静电场是有源无旋场，静止电荷是静电场的源。Basic Equation and Boundary Condition静电场的基本方程为0= E= D微分形式0d =llEqS=SDd积分形式构成方程ED=下 页上 页返 回zyxzyxAAAzyx=eeeAzxyyzxxyzyAxAxAzAzAyAeee)()()(+=0=矢量A可以表示一个静电场。能否根据矢量场的散度判断该场是否静电场?例1.3.1已知试判断它能否表示静电场？，zyxzyxeeeA543+=解:根据静电场的旋度恒等于零的性质,思考下 页上 页返 回包围点P 作高斯面

19、( )。0L1.3.2 分界面上的衔接条件（Boundary Condition)1. D 的衔接条件SSDSD=+n2n1则有qS=SDd根据图1.3.1 介质分界面=n1n2DDD的法向分量不连续当时，D的法向分量连续。0=n2n1DD=下 页上 页返 回82. E 的衔接条件围绕点P 作一矩形回路( )。02LttEE12=E 的切向分量连续。0d=llE根据01t21t1=lElE则有3. 折射定理当交界面上时，0=2121tantan=折射定律 n2n1DD =t 2t 1EE =222111coscosEE=2211sinsinEE=下 页上 页返 回图1.3.2 介质分界面0dl

20、im0021=ddlE4. 的衔接条件设P1 与P2 位于分界面两侧，0dnEDnED=22n22n211n11n1,21=因此电位连续=nn2211得电位的法向导数不连续由，其中=n1n2DD图1.3.3 电位的衔接条件下 页上 页返 回说明 （1）导体表面是等位面，E 线与导体表面垂直；图1.3.4 导体与电介质分界面例1.3.2试写出导体与电介质分界面上的衔接条件。解: 分界面衔接条件t2t 1n1n2 EEDD=，=nn221121 ，=n0 , const0 tn=ED，导体中E0 ，分解面介质侧（2）导体表面上任一点的D等于该点的。下 页上 页返 回解：忽略边缘效应1221021d

21、dUE+=1221012ddUE+=1121=EE22110SSq+=图(a)图(b)02211qSS=+2211=例1.3.3试求两个平行板电容器的电场强度。2211EE=02211UdEdE=+下 页上 页返 回图1.3.5 平行板电容器1.4 边值问题、唯一性定理1.4.1 泊松方程与拉普拉斯方程(Poissons Equation and Laplaces Equation)=2泊松方程=E0=E+=EEE=2222222zyx+=2拉普拉斯算子= DBoundary Value Problem and Uniqueness Theorem02=拉普拉斯方程当 =0时下 页上 页返 回

22、1.4.2 边值问题（Boundary Problem)边值问题微分方程边界条件初始条件场域边界条件(待讲）分界面衔接条件强制边界条件有限值=lim0r自然边界条件有限值=rrlim泊松方程/2拉普拉斯方程0221=nn2211下 页上 页返 回9场域边界条件1）第一类边界条件（狄里赫利条件，Dirichlet)2）第二类边界条件（诺依曼条件Neumann)3）第三类边界条件已知边界上电位及电位法向导数的线性组合已知边界上各点的电位)(|1sfs=已知边界上电位的法向导数(即电荷面密度或电力线)(2sfnS=)()3sfnS=（下 页上 页返 回讨论：讨论： 通常，当边界通常，当边界S =S1

23、+S2+，且逐片分别给定为，且逐片分别给定为1st 边界条件与边界条件与2nd边界条件时，则称之为由混合型边界条件构造的边值问题。边界条件时，则称之为由混合型边界条件构造的边值问题。 在工程问题分析中，常选取的齐次第二类边界条件，这意味着在相应边界在工程问题分析中，常选取的齐次第二类边界条件，这意味着在相应边界S 上给定上给定E 线或场的对称面线或场的对称面(线线)为相应的边界条件。为相应的边界条件。 当当V 域中存在多种均匀介质时，须分域定义。且此时，作为定解条件，尚应引入不同媒质分界面上的边界条件为域中存在多种均匀介质时，须分域定义。且此时，作为定解条件，尚应引入不同媒质分界面上的边界条件

24、为“衔接条件衔接条件”，或称之为辅助的边界条件，或称之为辅助的边界条件0=sn下 页上 页返 回有限差分法有限元法边界元法矩量法积分方程法积分法分离变量法镜像法、电轴法微分方程法保角变换法计算法实验法解析法数值法实测法模拟法边值问题下 页上 页返 回例1.4.2试写出长直同轴电缆中静电场的边值问题。解：根据场分布的对称性确定计算场域，边值问题022222=+=yx（阴影区域）Ubxbybybx=)0,0,(及0)0,0,(222=+yxayx0),0(=aybxx0),0(=axbyy下 页上 页返 回图1.4.1 缆心为正方形的同轴电缆0)dd(dd122222=rrrr)(ra通解4322

25、1021)( 16)(CrCrCrCrr+=+=例1.4.3试求体电荷产生的电位及电场。解：采用球坐标系,分区域建立方程边界条件arar=21ararrr=2010有限值=01 r参考电位02=r012212)dd(dd1=rrrr)(ar下 页上 页返 回图1.4.2 体电荷分布的球体电场强度（球坐标梯度公式）：11)(=rE=rararrreerE2022223)(得到=rarararrar03222013)(0)3(6)(图1.4.3 随r变化曲线E，errr+sin11eerarrrrr=0301ee下 页上 页返 回10201.xdU= A答案:（C）1.4.3 唯一性定理（Uniq

26、ueness Theorem)例1.4.4图示平板电容器的电位，哪一个解答正确？唯一性定理 ： 在静电场中，满足给定边界条件的电位微分方程的解是唯一的。002.UxdU+= B003.UxdU+= C下 页上 页返 回图1.4.4 平板电容器外加电源U01.5 分离变量法分离变量法采用正交坐标系，将变量分离后得到微分方程的通解， 当场域边界与正交坐标面重合或平行时，才可确定积分常数，得到边值问题的解。1.5.1 解题的一般步骤：Separation Variable Method分离变量，将偏微分方程分离成几个常微分方程；解常微分方程，并叠加得到通解；写出边值问题（微分方程和边界条件）；利用边

27、界条件确定积分常数，最终得到电位的解。下 页上 页返 回例1.5.1试求长直接地金属槽内电位的分布。解: 边值问题1.5.2 应用实例1. 直角坐标系中的分离变量法（二维场）xayxaxayayaxaxyayxsin100000 ,0 ,0 , 00 , 022222=+=nnkk0dd1dd122222121=+yx代入微分方程，0dd10dd122222121=yx2222222121dd1dd1nnkykx=2222222122dd1dd1nnkykx=下 页上 页返 回)sh()ch()(sin()cos()sin()cos()(sh()ch(11ykDykCxkBxkAykDykCx

28、kBxkAnnnnnnnnnnnnnnnnnn+=代入边界条件，确定积分常数), 3 , 2 , 1( =nankn 0 0 轴)0=Aya0 0 0)0=nCCxb，轴00=B0)=axc)sh()sin(),(1yanxanFyxnn=)()()(000021yDCxBAyx+=通解)sh()ch()(sin(1ykDykCxknnnnnn+=沿x方向作正弦变化，0=nnnABA下 页上 页返 回图1.5.2 双曲函数ayd=)sin(100 ax=)sin()(sh)sin(1001xannFaxnn=比较系数当时，1n0=nF)sh()sin(sh100),(yaxayx=当时，1=n

29、100sh1=Fsh1001=F)sh()sin(),(1yanxanFyxnn=下 页上 页返 回11若金属槽盖电位，再求槽内电位分布0U通解)(sh)sin),1yanxanFyxnn（=)sin()sin()(sh110 xanExannFUnnnn=等式两端同乘以，然后从积分xamsina0(1) d)sin()sin(d)sin(1000 xxamxanExxamUnana=左式= ) cos1 ( 0mmaU1,3,5,. 20,2,4,. 00=mmaUm当时，0Uay =下 页上 页返 回右式nmEaxxanEnmnn= 2d )(sin 02a0代入式（1）)sh(2220n

30、FaEamaUnn=代入通解)sh()sin(sh14),(10yanxannnUyxn=n奇数1,3,5,. sh40=nmnnUFn下 页上 页返 回图1.5.3 接地金属槽内的等位线分布解： 取圆柱坐标系，边值问题001)(1222122112=+=aa0cos ，0 10221021EExa=根据对称性0)2,( ),(),(=及例1.5.2垂直于均匀电场E 放置一根无限长均匀介质圆柱棒 ， 试求圆柱内外和E的分布。下 页上 页返 回图1.5.4 均匀电场中的介质圆柱棒当时，0=n000000)( ln)(DCBAR+=+=，当时，0nnDnCBARnnnnnnnnsincos)( )

31、(+=+=，)sincos( )(1nDnCBAnnnnnnn+=代入微分方程分离变量, 设)()(),(R=0dd1dddd22222=+RRRR)(ln(),(0000DCBA+=通解0dddd2222=+RnRR取n2 = 常数，令0dd222=+n下 页上 页返 回根据， 比较系数得到cos01E=当时，1=n，EABA=100，0nBEnnncoscos),(11=+=根据0 ， 00002=nBBA=12cos),(nnnnA利用给定边界条件确定积分常数当时，1n，00=noABAnBABAnnnnncos)()ln(),(100=+=通解根据),(),(=0, 00=nDC得到下

32、 页上 页返 回比较系数121011)( AaBEaAaBEa=+和当n=1时，当时，An=Bn= 0， 则最终解1n=+=+1111011cos)coscos(coscoscosnnnnnnnnnnnnnanAnaBEnaAnaBEa由分界面的衔接条件，得a=cos)()(cos),(0201EaE+=aa0cos2cos)1 (),(00002EE+=+=下 页上 页返 回12aEa+esin)()(12020 xxExeeE00222+=2a0图1.5.5 均匀外电场中介质圆柱内外的电场eEcos)()(1202011Ea+=介质柱内电场均匀，并与外加电场E0平行，且E2 E1。下 页上

33、 页返 回1.6 有限差分法1.6.1 二维泊松方程的差分格式(Difference Form of 2D Poissons Equation)Fyx=+2222（1）二维静电场边值问题Finite Difference Method基本思想：将场域离散为许多网格 ，应用差分原理，将求解连续函数的微分方程问题转换为求解网格节点上的代数方程组的问题。（2）)(LfL=下 页上 页返 回1.6.1 有限差分的网格分割令h = x - x0，将x = x1 和x3 分别代入式( 3 ) += +=0333022200303330222001)(! 31)(! 21)()(! 31)(! 21)(xh

34、xhxhxhxhxh（4）（5）)(0)()(!10000nnKKKKxxxxxxK+=（3）由式（4）+（5）2301222)(0hxxx+=（6）2402222)(0hyyy+=（7）同理,沿x方向在x0 处的泰勒公式展开为下 页上 页返 回将式(6)、式(7)代入式(1)，得到2043214Fh=+当场域中0=0404321=+)(41243210Fh+=即)(4143210+=即若场域离散为矩形网格，差分格式为Fhhhh=+02221422221212)11()(1)(11.6.2 矩形网格剖分五点差分格式下 页上 页返 回1.6.2 边界条件离散化（Discrete Boundary

35、 Condition)第二类边界条件hfhnf2100102 ,)(=)2(4124210Fh+=第一类边界条件分界面衔接条件对称边界条件, )1212(4143210+=KKKbaK=其中图1.6.5 介质分界面10 f=下 页上 页返 回图1.6.3 对称边界图1.6.4对称分界1.6.3 差分方程组的求解方法( Solution Method )1、高斯赛德尔迭代法412)(1,)(, 1) 1(1,) 1(, 1) 1(,Fhkjikjikjikjikji+=+式中： = =, 2, 1, 0, 2, 1,kji，迭代过程直到节点电位满足为止。+)(,) 1(,kjikji2、超松弛迭

36、代法44)(,2)(1,)(, 1) 1(1,) 1(, 1)(,) 1(,kjikjikjikjikjikjikjiFh+=+式中：a加速收敛因子（1 a 1000 269 174 143 122 133 171 发散最佳收敛因子的经验公式（不唯一）)sin(12p+=（正方形场域、正方形网格）221122qp+=（矩形场域、正方形网格）收敛速度与电位初始值及网格剖分粗细有关；迭代次数与工程精度有关。下 页上 页返 回边界节点赋已知电位值赋节点电位初始值累计迭代次数N=0N=N+1按超松弛法进行一次迭代，求)1(,+Nji打印),(jiN，NY程序框图a, 且a=代入式（2），得210121

37、22112110)(0)(1CCCC+=+=(2)下 页上 页返 回图1.8.5 两线输电线对大地的镜像联立解得两线间的等效电容：)42ln(22202010201012dhddhCCCCCCe+=+=addhhC2201042ln2+=()()222222012)4(ln)2(ln4ln2ddhahddhC+=ddhChddhaCdhahdCahC2201022012220120104ln2124ln21042ln212ln211+=+=下 页上 页返 回202021212121210101UCUCqUCUCq+=+=所以2020210101 UCqUCq=，静电屏蔽在工程上有广泛应用。图1

38、.8.6 静电屏蔽三导体系统的方程为：4. 静电屏蔽当时，01=q01212=UC02112=CC;010=U说明1 号与2 号导体之间无静电联系，实现了静电屏蔽。下 页上 页返 回1.9 静电能量与力1.9.1 静电能量(Electrostatic Energy)Electrostatic Energy and Force1. 用场源表示静电能量120122224RqqqW=)(423231103333RqRqqqW+=q3 从移到c点，所需能量q2 从移到b 点，需克服q1 的电场力做功，q1 从移到a 点不受力，所需能量W1=0，下 页上 页返 回图1.9.1 点电荷的能量总能量)(41

39、3113233212210321RqqRqqRqqWWWW+=+=)()()(41212323113233121213312210RqRqqRqRqqRqRqq+=iiiqqqq=+=3133221121)(21推广1： 若有n 个点电荷的系统，静电能量为iniiqW=121单位：J（焦耳）推广2 ： 若是连续分布的电荷，lSVqd ,d ,dd=VVW, d21, d21=SSW=llWd21下 页上 页返 回192. 用场量表示静电能量=DDD)()（矢量恒等式=VVVVWd d) (21DD+=VSVd21d21EDSDJ d21单位： VWV=ED能量密度3J/m 21ED=w因当时，

40、面积分为零，故,1 3rDr,2rs能量VVd21D=VVWd21下 页上 页返 回例1.9.1试求真空中体电荷密度为的介质球产生的静电能量。rrErrEVWVVVd421d421d212220221e21=ED=arraarrrreeE20333）（05215192a=解法一 由场量求静电能量下 页上 页返 回解法二由场源求静电能量球内任一点的电位)22(3 d43/4d43/4022220323ararrarrraa+=+r代入式（1）)151(92 d4)22(3210522022202+=+=arraraWa d21=VVW(1)下 页上 页返 回1.9.2 静电力(Electrost

41、atic Force)1. 虚位移法( Virtual Displacement Method)功 = 广义力广义坐标广义坐标距 离面 积体 积角 度广义力机械力表面张力压强转矩单位N N/m N/m2N m广义力f ：企图改变广义坐标的力。广义坐标g：距离、面积、体积、角度。下 页上 页返 回力的方向：f 的正方向为g 增加的方向。（1）常电荷系统（K断开 ）gfWdd0e+=eddWgf=表示取消外源后，电场力作功必须靠减少电场中静电能量来实现。.conste=kqgWf在多导体系统中，导体p发生位移dg后,其功能关系为外源提供能量 = 静电能量增量+电场力所作功gfWWddde+=即图1

42、.9.3 多导体系统( K 断开)下 页上 页返 回=kkqWdd+=gfqqkkkkdd21d外源提供能量的增量说明：外源提供的能量有一半用于静电能量的增量，另一半用于电场力做功。（2） 常电位系统（K 闭合）广义力是代数量 ，根据f 的“”号判断力的方向。conste=kgWf图1.9.4 多导体系统( K 闭合)下 页上 页返 回20解法一：常电位系统cdWf=e0222022=dSUdCU2e21CUW=dSC0=例1.9.3试求图示平行板电容器极板的电场力。图1.9.5 平行板电容器取d 为广义坐标（相对位置坐标）负号表示电场力企图使d减小，即电容增大。下 页上 页返 回解法二：常电

43、荷系统SdqCqW022e221=02022112 , , 0fff(b)）(2212121221=EEDED下 页上 页返 回静态场的应用图1.9.11 静电分离Steady Field Applications图1.9.12 静电喷涂上 页返 回21对场点坐标作散度运算d) ()(41)(30VVrrrrrrE=d) (41)(30VVrrrrrrE=矢量恒等式FFF+=CCC)()() (1) ()1()(333rrrrrrrrrrrr+=353) () ( 3rrrrrrrr+=3333rrrr+=推导电场强度的散度公式下 页返 回即场点与源点不重合时0)(=rEd) ()1(4120

44、VVrrr=时当0=rr0 rr当) (4)1(2rrrr=d) ()(41)(30VVrrrrrrE=)(03rrrrrr时，当03333=+=rrrr/ ) ()(rrE=所以0) (d) () (1)(0rrrrrE=VV返 回对称场源高斯面的选取球、轴、面对称场源的高斯面球对称分布：如均匀带电的球面，球体和多层同心球壳等。轴对称分布：如无限长均匀带电的细线，圆柱体，圆柱壳等。无限大平面电荷：如无限大的均匀带电平板有厚度的带电平板等。返 回即必满足拉普拉斯方程则其差值方程均满足泊松与位函数设场中任一点有两个电,2121=uVuuuVuuSVVd)(dd )(2=S唯一性定理的证明0221

45、22=+=u（1）222)()()(代入矢量恒等式uuuuuu=+=（2）对式（2）两端求体积分证明（反证法） d)(dd2VuSnuuuuVSs=S即(3)下 页返 回2. 若为第二类边值问题，在边界上1. 若为第一类边值问题，在边界上有限，且n0 , ,210201=u故面积分为零，要满足式（3），必有，即0)(2=ucuu=21 0此式也必须满足边界，所以c0，有，电位是惟一的。21=0 , ,210201=nnnufnfn同上原因，或，即电场强度是唯一的。当电位参考点确定后，电位是唯一的.0=u021=021=返 回电力电容下 页返 回22电力电容下 页上 页返 回冲击电压发生器下 页

46、上 页返 回电力电容下 页上 页返 回变压器（6kV:250kV）调压器（06kV）水电阻可产生1800kV冲击电压放电铜球放电线路六氟化硫SF6气体绝缘设备上 页返 回电力电缆下 页返 回220kV XLPE交链聚乙烯高压电力电缆下 页上 页返 回236kV三相矿用橡套电缆（中间地线、右侧测量线）下 页上 页返 回电力电缆上 页返 回屏蔽室门下 页返 回屏蔽室门（双层铜皮）下 页上 页返 回测量局部放电上 页返 回工程范例工程范例: 设想大地上方带有正电荷的雷积云与大地之间形成一均匀电场设想大地上方带有正电荷的雷积云与大地之间形成一均匀电场E0，如图，如图2.13所示，在该空间中敷设有带接地线防护的单线输电线。求：（所示，在该空间中敷设有带接地线防护的单线输电线。求：（1）在图(a)所示情况下，单线输电线1所在处）在图(a)所示情况下，单线输电线1所在处A点的电位为点的电位为 A;（2）在接地线(接地钢索)引入条件下，如图2.13所示，重求（2）在接地线(接地钢索)引入条件下，如图2.13所示，重求A A点的电位点的电位 A A 。A输电线1所在位置h1大地E0Ah1大地（0号导体）h22a接地线2(a)(b)E0返 回