圆锥曲线的综合问题.pdf

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1、圆圆锥锥曲曲线线的的综综合合问问题题(总总 1 14 4页页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除(11.6 文)（12.6 理）圆锥曲线的综合问题知识要点梳理知识要点梳理解析几何是联系初等数学与高等数学的纽带，它本身侧重于形象思维、推理运算和数形结合，综合了代数、三角、几何、向量等知识.圆锥曲线与方程是中学数学的重点和难点，它可以和中学数学中的其他章节知识进行交汇，充分体现了中学中的各种数学思想与数学技能。无论是基础题还是难题都可以将分析问题与解决问题的能力淋漓尽致地反映出来。因此，圆锥曲线的综合问题一直是高考的热点

2、。纵观近几年高考试题，对于圆锥曲线与方程的考查主要有两大类问题：一是根据条件，求出曲线方程；二是通过方程，研究平面曲线的性质，（1）以客观题的形式考查圆锥曲线的基本概念和性质；（2）求平面曲线的方程和轨迹；（3）圆锥曲线的有关元素计算、关系证明或范围确定；（4）涉及圆锥曲线对称变换、最值或位置关系的问题。在复习圆锥曲线综合题时要注意以下几点：（1）求指定的圆锥曲线的方程，一般涉及量较多，计算量大，要求较强的运算能力。在计算中，首先要明确运算方向，还要注意运算的合理性、技巧性，使运算简捷。（2）注重对解析几何基本方法的考查，要求会建立适当的直角坐标系，把平面几何问题转化为代数问题。（3）注意用圆

3、锥曲线的定义解题，有关圆锥曲线上的点到焦点的距离、到准线的距离、离心率的问题都可能用圆锥曲线的定义去解。（4）对称问题是高考的热点，注意关于原点、轴、轴、直线对称的两曲线方程的特点。（5）解析几何与数列、极限、不等式、函数、向量综合在一起的问题，对解决数学综合问题的能力要求更高，要充分利用解析几何的特点，运用数形结合，用代数的方法解决几何问题。反映在解题上，就是根据曲线的几何特征准确地转换为代数形式，根据方程画出图形，研究几何性质.学习时应熟练掌握函数与方程的思想、数形结合的思想、参数的思想、分类与转化的思想等，以达到优化解题的目的.疑难点、易错点剖析疑难点、易错点剖析1与圆锥曲线有关的参数问

4、题的讨论常用的方法有两种：（1）不等式（组）求解法：利用题意结合图形列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式（组）得出参数的变化范围；（2）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围2圆锥曲线中最值的两种求法：（1）几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法；2（2）代数法：若题目中的条件和结论能体现明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值直击考点直击考点考点一考点一 直线与抛物线的综合问题直线与抛物线的综合问题【例 1】如图，O为坐标原点，直线 l 在 x轴和 y轴上的截距分别是

5、 a和 b（a0，b0），且交抛物线 y2=2px（p0）于 M（x1，y1），N（x2，y2）两点.（1）写出直线 l 的截距式方程；（2）证明：111+=；y1y2b（3）当 a=2p 时，求MON的大小.剖析：易知直线 l 的方程为y y2111xy+=1，欲证+=，即求1的值，yyy yabb1212为此只需求直线 l 与抛物线 y2=2px交点的纵坐标.由根与系数的关系易得 y1+y2、y1y2的值，进而证得111+=.由OMON=0易得MON=90.亦可由 kOMkON=y1y2b1 求得MON=90.（1）解：直线 l 的截距式方程为xy+=1.ab（2）证明：由及 y2=2px

6、消去 x可得 by2+2pay2pab=0.点 M、N 的纵坐标 y1、y2为的两个根，故 y1+y2=2pay y2111所以+=1=b=.y1y2y1y2 2pab 2pa，y1y2=2pa.b（3）解：设直线 OM、ON 的斜率分别为 k1、k2，3则 k1=y1y，k2=2.x1x2当 a=2p 时，由（2）知，y1y2=2pa=4p2，由 y12=2px1，y22=2px2，相乘得（y1y2）2=4p2x1x2，x1x2=(y1y2)24p2(4p2)2=4p2，24py1y2 4p2因此 k1k2=1.x1x24p2所以 OMON，即MON=90.锦囊妙计：本题主要考查直线、抛物线

7、等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力.举一反三：如下图，抛物线关于 x轴对称，它的顶点在坐标原点，点 P（1，2）、A（x1，y1）、B（x2，y2）均在抛物线上.（1）写出该抛物线的方程及其准线方程；（2）当 PA与 PB的斜率存在且倾斜角互补时，求 y1+y2的值及直线 AB的斜率.解：（1）由已知条件，可设抛物线的方程为 y2=2px.点 P（1，2）在抛物线上，22=2p1，得 p=2.故所求抛物线的方程是 y2=4x，准线方程是 x=1.（2）设直线 PA 的斜率为 kPA，直线 PB的斜率为 kPB.则 kPA=y1 2y 2（x11），kPB=2（x21）.

8、x11x21PA与 PB的斜率存在且倾斜角互补，4kPA=kPB.由 A（x1，y1）、B（x2，y2）在抛物线上，得y12=4x1，=y2 212y214.y22=4x2，y1 212y114y1+2=（y2+2）.y1+y2=4.由得直线 AB的斜率kAB=y2 y144=1（x1x2）.x2 x1y1 y24考点二考点二 函数最值与椭圆的综合问题函数最值与椭圆的综合问题【例 2】设椭圆中心是坐标原点，长轴在 x轴上，离心率 e=323，已知点 P2（0，）到这个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆方程，并求椭圆上到点 P的距离等于7的点的坐标.x2y23思路分析：设椭圆方程为2+2=1，

9、由 e=知椭圆方程可化为2abx2+4y2=4b2，然后将距离转化为 y的二次函数，二次函数中含有一个参数 b，在判定距离有最大值的过程中，要讨论 y=是否在 y的取值范围内，最后求出椭圆方程和 P点坐标.x2y2解法一：设所求椭圆的直角坐标方程是2+2=1，其中 ab0 待定.abc2a2b231b2b21 e1由 e=2=1（）可知=，即 a=2b.42aaaa22125设椭圆上的点（x，y）到点 P的距离为 d，则 d2=x2+（y）2=a2（1y29912222）+y 3y+=4b 3y 3y+=3（y+）+4b2+3，其中byb.2442b32如果 b，则当 y=b 时 d2（从而

10、d）有最大值，由题设得（7）2=（b+）2，由此得 b=7，与 b矛盾.因此必有 b成立，于是当 y=时 d2（从而 d）有最大值，由题设得（7）2=4b2+3，由此可得 b=1，a=2.x2故所求椭圆的直角坐标方程是+y2=1.411由 y=及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点（3，），点221（3，）到点 P的距离都是7.212323212121212解法二：根据题设条件，设椭圆的参数方程是x=acos，其中 ab0待定，0y=bsin，e=3，2a=2b.设椭圆上的点（x，y）到点 P的距离为 d，则d2=x2+（y）2=a2cos2+（bsin）2=3b2（sin+如果32321）2+4b

11、2+3.2b111，即 b，则当sin=1时，d2（从而 d）有最大值，由题设22b3311得（7）2=（b+）2，由此得 b=7，与 b矛盾.222211因此必有1成立，于是当sin=时，d2（从而d）有最大值，由题2b2b设得（7）2=4b2+3.x=2cos，由此得 b=1，a=2.所以椭圆参数y=sin.6x231消去参数得+y2=1，由 sin=，cos=知椭圆上的点（3，42211），（3，）到 P点的距离都是7.22锦囊妙计：本题体现了解析几何与函数、三角知识的横向联系，解答中要注意讨论.举一反三：举一反三：1.对于上例，根据图形的几何性质，以 P为圆心，以7为半径作圆，圆与椭圆

12、相切时，切点与 P的距离为7，此时的椭圆和切点即为所求.读者不妨一试.x2+（y）2=7，提示：x2+4y2=4b2，9432得 3y2+3y=4b27，由=0得 b2=1，即椭圆方程为 x2+4y2=4.所求点为（3，）、（3，）.x2y22.2.已知椭圆221(a b 0)，点 P 的坐标为(0,b)，求点 P 到该椭圆上点的ab1212最大距离。x acos解：椭圆的参数方程为(为参数)。y bsin设椭圆上任一点 Q的坐标为(acos,bsin)，|PQ|2 a2cos2(bsinb)2则b2a42(a b)(sin2)2.22a ba b227b2b2a42若21,即a 2b,当si

13、n 2时,|PQ|取得最大值2.a b2a b2a b22a|PQ|有最大值.22a bb2若21,即b a 2b,当sin 1时,|PQ|2取得最大值4b2.2a b|PQ|有最大值2b.本题使用椭圆的参数方程，从而借助三角函数求最大值。但要注意讨论b2b21及21两种情况。222a ba b考点三考点三 直线与双曲线、椭圆的综合问题直线与双曲线、椭圆的综合问题【例 3】（2007 年东北重点中学高三调研考题）已知椭圆 C 的方程为y2x2y2x2+2=1（ab0），双曲线22=1的两条渐近线为 l1、l2，过椭圆 C 的2abab右焦点 F作直线 l，使 ll1，又 l 与 l2交于 P点

14、，设 l 与椭圆 C 的两个交点由上至下依次为 A、B.（如下图）（1）当 l1与 l2夹角为 60，双曲线的焦距为 4时，求椭圆 C 的方程；（2）当FA=AP时，求的最大值.思路分析：（1）求椭圆方程即求 a、b 的值，由 l1与 l2的夹角为 60易得3b=，由双曲线的距离为 4 易得 a2+b2=4，进而可求得 a、b.3a（2）由FA=AP，欲求的最大值，需求 A、P的坐标，而 P是 l 与 l1的交点，故需求 l 的方程.将 l 与 l2的方程联立可求得 P的坐标，进而可求得点 A的坐标.将 A的坐标代入椭圆方程可求得的最大值.解：（1）双曲线的渐近线为 y=又bb0)ab其中 b

15、=1。又设右焦点为(c,0)，则9|c 2 2|2=3，解得 c=2,a=3。x22椭圆方程为+y=1。3（2）设 P 为 MN 的中点，y kx m解方程组2得2x 3y 3 0(3k2+1)x2+6mkx+3(m2-1)=0=-12m2+36k2+120，得 m2m2,解得 0m0，解得 m。321m0,b0)的焦点，而且被该双曲线的右准线分成的弧长为 2：1的两段圆弧，那么该双曲线的离心率 e等于：（C）A5B52C2D36已知双曲线的中心在原点，离心率为3，若它的一条准线与抛物线y2 4x的准线重合，则该双曲线与抛物线y2 4x的交点互原点的距离是（B）（A）2 3 6（B）21（C）

16、18+122（D）21x2y2B设双曲线方程为221 (a0,b0),c a2b2ab11c3a 3x2y2a1，则2双曲线方程为36a1c 3 cx2y21解方程组 3得交点坐标为(3,2 3)或(3,2 3)。6y2 4x交点到原点的距离为21二、填空题x27椭圆 y21的短轴为B1B2，点M是椭圆上除B1,B2外的任意一点，直线4MB1,MB2在x轴上的截距分别为x1,x2，则x1x248已知椭圆长轴、短轴及焦距之和为8，则长半轴长的最小值是4(2 1)9已知a,b,c分别是双曲线的实半轴、虚半轴和半焦距，若方程ax2bxc 0无实数根，则此双曲线的离心率e的取值范围是(1,25)10.

17、点 P 是抛物线 y2=4x 上一动点，则 P 到点（0，1）的距离与 P 到直线 x=-1 的距离之和的最小值是.2三、解答题三、解答题11、设坐标原点为 O,抛物线y2 2x与过焦点的直线交于 A,B两点,求OAOB的值解:(1)当直线 ABx轴时,在y2 2x中,令x 1,有y 1,则211113A(,1),B(,1),得OAOB (,1)(,1).222241(2)当直线 AB 与x轴不互相垂直时,设 AB的方程为:y k(x)21y k(x)1由2,消去y,整理得k2x2(k22)xk2 0,显然k 0.4y2 2k221,x x 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1 x2,

18、得122k411OAOB(x1,y1)(x2,y2)=x1x2+y1y2=x1x2+k(x1)k(x2)22k21 =(1k)x1x2(x1 x2)k2242121k2k221232 =(1k)2k=.42k443综(1),(2)所述,有OAOB .412过抛物线C:y x2上两点M、N的直线l交y轴于点D(0,b)（）若MON为钝角（O为坐标原点），求实数b的取值范围；（II）若b 2，曲线C在M、N处的切线的交点为Q，求证：点Q必在一条定直线上运动x2y2313、已知椭圆221(a,bR,0 b)过点A(1,0)，且与|y|x的交于3abB,C.(1)用b表示B,C的横坐标；(2)设以A为

19、焦点，过点B,C且开口向左的抛物线的顶点坐标为M(m,0)，求实数m的取值范围x2y2解：(1)由于椭圆221过点A(1,0)，ab故a 1.|y|x,B,C横坐标适合方程2y2x 21.b解得x b1 b2(0 b b31即0 x)32即B,C横坐标是x 1 b2(0 b 31即0 x).32(2)根据题意，可设抛物线方程为y2 2p(x m)(p 0,m 1)p m1，y2 4(1 m)(x m)213把|y|x和0 x（等同于B,C坐标（物线方12b1 b2，b1 b2）代入式抛程，得x2 4(m1)x 4m(m1)0(m 1,0 x).令f(x)x2 4(m1)x 4m(m1)(m 1

20、,0 x)1则f(x)在(0,)内有根（并且是单调递增函数），2f(0)4m(m 1)0,11f()2(m 1)4m(m 1)0.421212解得1 m 324紧扣考纲大演练（文科）紧扣考纲大演练（文科）1.设 abc0，“ac0”是“曲线 ax2+by2=c为椭圆”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件解析：ac0反之成立.答案：B2.到两定点 A（0，0），B（3，4）距离之和为 5的点的轨迹是A.椭圆C.线段 AB B.AB所在直线43曲线 ax2+by2=c为椭圆.D.无轨迹解析：数形结合易知动点的轨迹是线段 AB：y=x，其中 0 x3.答

21、案：C3.若点（x，y）在椭圆 4x2+y2=4上，则A.1C.23y的最小值为x 23 B.1 D.以上都不对14解析：y的几何意义是椭圆上的点与定点（2，0）连线的斜率.显然直线x 2与椭圆相切时取得最值，设直线 y=k（x2）代入椭圆方程（4+k2）x24k2x+4k24=0.令=0，k=kmin=答案：C4.（2007 年南京质量检测）以正方形 ABCD 的相对顶点 A、C 为焦点的椭圆，恰好过正方形四边的中点，则该椭圆的离心率为10 235 1C.2233.3.23A.5 1310 2 D.2 B.解析：建立坐标系，设出椭圆方程，由条件求出椭圆方程，可得e=10 2.2答案：Dx2y

22、25.已知 F1（3，0）、F2（3，0）是椭圆+1的两个焦点，P是椭mn2圆上的点，当F1PF2时，F1PF2的面积最大，则有3A.m=12，n=3C.m=6，n=32 B.m=24，n=6 D.m=12，n=6解析：由条件求出椭圆方程即得 m=12，n=3.答案：A二.填空题7.双曲线 9x216y2=1的焦距是_.15y211x2解析：将双曲线方程化为标准方程得=1.a2=，b2=，119169161125c2=a2+b2=+=.91614455c=，2c=.1265答案：68.若直线 mx+ny3=0 与圆 x2+y2=3没有公共点，则 m、n满足的关系式为_；以（m，n）为点 P的坐

23、标，过点 P的一条直线与椭圆x2y2+=1的公共点有_个.73解析：将直线 mx+ny3=0变形代入圆方程 x2+y2=3，消去 x，得（m2+n2）y26ny+93m2=0.令0得 m2+n23.又 m、n不同时为零，0m2+n23.由 0m2+n23，可知|n|3，|m|3，再由椭圆方程 a=7，b=3可知公共点有 2个.答案：0m2+n21k0k（1，1），方程所表示的曲线是焦点在 x轴上的椭圆；1k3k20k（3，1），方程所表示的曲线是焦点在 y轴上的椭圆；1k=3k20k=1，表示的是一个圆；（1k）（3k2）0k（，3）（1，3），表示的是双曲线；k=1，k=3，表示的是两条平行

24、直线；k=3，表示的图形不存在.（2）由（k2+k6）（6k2k1）0（k+3）（k2）（3k+1）（2k1）0k（3，）（，2）.12.（2007 年荆门市模拟题）已知抛物线 y2=2px上有一内接正AOB，O为坐标原点.（1）求证：点 A、B关于 x轴对称；（2）求AOB外接圆的方程.（1）证明：设 A（x1，y1）、B（x2，y2），131217|OA|=|OB|，x12+y12=x22+y22.又y12=2px1，y22=2px2，x22x12+2p（x2x1）=0，即（x2x1）（x1+x2+2p）=0.又x1、x2与 p 同号，x1+x2+2p0.x2x1=0，即 x1=x2.由抛

25、物线对称性，知点 A、B关于 x轴对称.（2）解：由（1）知AOx=30，则y2=2px，x=6p，3y=xy=23p.3A（6p，23p）.方法一：待定系数法，AOB外接圆过原点 O，且圆心在 x轴上，可设其方程为 x2+y2+dx=0.将点 A（6p，23p）代入，得 d=8p.故AOB外接圆方程为 x2+y28px=0.方法二：直接求圆心、半径，设半径为 r，则圆心（r，0）.x2y28.（2007 年西安模拟题）从椭圆2+2=1（ab0）上一点 M向 x轴作ab垂线，恰好通过椭圆的左焦点 F1，且它的长轴右端点 A与短轴上端点 B的连线ABOM.（1）求椭圆的离心率；（2）若 Q是椭圆

26、上任意一点，F2是右焦点，求F1QF2的取值范围；（3）过 F1作 AB 的平行线交椭圆于 C、D两点，若|CD|=3，求椭圆的方程.18解：（1）由已知可设 M（c，y），(c)2y2则有2+2=1.abb2M在第二象限，M（c，）.a又由 ABOM，可知 kAB=kOM.b2b=.b=c.a=2b.aca2ce=.2a（2）设|F1Q|=m，|F2Q|=n，则 m+n=2a，mn0.|F1F2|=2c，a2=2c2，m2 n2 4c2cosF1QF2=2mn(m n)2 2mn 4c24a2 4c2=12mn2mna2a2a2=11=21=0.m n2mna()2当且仅当 m=n=a时，等号成立.故F1QF20，.2b=.2a2设直线 CD 的方程为 y=（x+c），22即 y=（x+b）.22（3）CDAB，kCD=x2y22+2=1，ab则2y=（x+b）.2消去 y，整理（a2+2b2）x2+2a2bxa2b2=0.设 C（x1，y1）、D（x2，y2），a2=2b2，192a2b4b3x1+x2=2=2=b，a 2b24ba2b22b4b2x1x2=2=2=.22a 2b4b|CD|=1 k2|x1x2|=1 k2(x1 x2)2 4x1x2=1(2292)(b)2 2b2=b=3.22b2=2，则 a2=4.x2y2椭圆的方程为+=1.4220