2021届上海市华东师范大学第二附属中学高三上学期12月月考数学试题(解析版).pdf

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1、20212021届上海市华东师范大学第二附属中学高三上学期1212月月考数学试题一.单选题如果正数a,A c,d 满足a+b=cd=4,那么（）1【解析】正数仏.A.abc+d9且等号成立时a,b,Gd的取值唯一且等号成立时a,b,Gd的取值不唯一且等号成立时 Gc cabc+d,D.9b,Gd的取值不唯一【答案】Ab,c,d 满足a+b=cd=4,24=a+b2fab即54,当且仅当u=h=2时.成立：又4=cd4,当且仅当c=J=2时.成2立：综上得aboc“foeoc“foen nx x B.必要非充分C.充分必要D.非充分非必要 n nccccxxhm(an-bn)=hman-Umbn

2、tx x、n nxxn-xn-x所以1型（勺+4）与呵仏一化）存在，故充分性成立：n nxx“th“th记C =an+bn,dn=an-bn,则q=g（c”+d“），b =cn-dn）,1由题意，更呼小理心都存在，所以lin二型q+!竺J,“TOC“TOC2limZ?n=l（li巴q-li巴）所以都存仏 故必要性成立,30303030“一8厶n n“TOO“TOO所页数列故选：C.【点睛】解决充分必要条件的判断一般有两种思路：U和数列bn极限都存在是“数列勺+化和数列an-极限都存在”(1)如果是涉及范用之间的充分必要性问题，利用集合的包含关系判断两个命题之间 的充分必要性；(2)不涉及范围问

3、题的判断，一般需要分别从充分性与必要性两个方而论证.3.A.(0,1中，若sinA=牢，则cosB+JIcosC的取值范围是(在ABC)B.(0,lU(2,苗D.以上答案都不对【答案】B【分析】先取得A=-或A=分A=1和人=匹两种情况讨论，结合三角恒等4444变换的公式，以及三角函数的性质，即可求解.【详解】由题意，在A3C中，若因为A e(0,可得A=或人=三，第2页共21页当A=-时，可得B+C=9则B=-C,因为C w(0、)所以C w(，龙)所以sin(CH)e(0,1:设g(x)=J5sin(x+卩)在区间0,彳-上单调递增，在厶 一卩彳】上单调递减I*,所以/5即/5sin(C+

4、0)e(2,/5 第3页共21页厶综上可得，COS3+/2cosC的取值范围是(0.1U(2,75.故选：B.【点睛】解答与三角函数有关的范围问题的求解策略：1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为y=Asin(wx+(p)的形式：2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质(如：单 调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等)，进而加深理解函数的极值点、最值点、零 点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范帀的判龙，防I匕错解.4.已知数列”为有穷数列，共95项，且满足严 炯*(疋中的整数项的个数为()A.13【答案】C【分析】根据题意有岂二，型 M 均为整数，转化为6I

5、S+4),不难发现当B.14C.15D.1636n=6k+2伙=0丄2,3,13)时型二仝4()0-“均为非负整数,验证当,?=86.36n=92时备和為2是否为整数.【详解】解：由an=C(羽严”(刍)得200-M200-200-；!400400亠5/23 22=c&3 3 2 6要使(1/95)为整数，必有型工,4()()均为整数,3所以6IS+4),6当2(。丄2,3,，时驾工型严均为非负整数,所以 5 为整数，共有14个，当H=86时，兔6=%3 2=哥+愕卜愕卜憚卜野愕卜秤卜97,同理计算可得86!因数2的个数为82,144!因数2的个数为110,200!86!xll4!故C號中因数

6、2的个数为197-82-110=5,当”=92时，a92=中200!因数2的个数为-3 -2-*,36同理C益中因数2的个数小于10,从而心6是整数,第3页共21页从而為2不是整数，因此，整数项的个数为14+1=15,故选：C.【点睹】利用二项式左理解决整除问题的思路：（1）要证明一个式子能彼另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式左理展开后的各项均能被另一个式子整除即可 因此，一般要将被除式化为含相关除式的二项式,然后再展开：（2）用二项式左理处理整除问题，通常把底数写成除数（或与除数密切关联的数）与某数的和或差的形式，再用二项式左理展开 但要注意：余数的范围，a=cr+b,英中余数/7e0

7、,r）,r是除数，若利用二项式泄理展开变 形后，切记余数不能为负.二.填空题123 35.行列式456 6中，6的代数余子式的值是789 9【答案】6【分析】根据代数余子式的左义得到6的代数余子式A“=了&，利用行列式的展开,1 2即可求得答案.子式A3=-故答案为6.【点睛】本题主要考査了三阶行列式的代数余子式的左义，考査行列式的展开，属于基础题.1 2【详解】由题意，可得6的代数余=-（1X8-2X7）=6.7 86.若抛物线y疋上一点M到焦点F的距离为4,则点M的纵坐标的值为4【答案】3【分析】根据抛物线方程求出焦点、准线方程，利用抛物线左义求解.第5页共21页【详解】由y=-x可得x=

8、4y,4所以该抛物线的焦点为F(O,1),准线方程为设M(xM,%),由抛物线的泄义可得MF=所以h=3.故答案为：322+1=4,7.设A=xx=j5k+、kGN,B=xx0【详解】要使函数有意义只需zx/3-4x H01解得 r 或产养故答案为:1310 严沃尔玛”商场在国庆“62”黄金周的促销活动中，对10月2日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如右下图所示 已知9时至10时的销儕额为2.5万元则11时至12时的销售额为 _万元.【答案】10【详解】设11时至12时的销售额为x由频率分步直方图可知:,0.40 x所以A-=10.故答案为：1011._关1于X的方程lgx=斗一

9、 有大于1的实数根，则实数d的取值范围是 _.4-67【答案】一亍4【分析】利用方程有大于1的实数根，得到Igx范围，即得斗一1范囤，再解分式不等（34-n式即得结果.【详解】方程lgx=有大于1的实数根，即%1,故lgx0,即斗二o,4-a4。第8页共21页故答案为：（一討12._空间中一条线段在三视图中的长度分别为5,屈,2丘,则该线段的长度为_【答案】何.【分析】将线段放入长方体中，由三视图的概念可得长方体的长宽高，进而可得线段长.【详解】将该线段放入一个长、宽、髙分别为d、力、c的长方体中，如图，a=3 b=2,c=4所以该线段长为松+戸+疋=何.故答案为：V29.【点睛】本题考查了长

10、方体几何特征及三视图的应用，考查了空间思维能力，属于基础题.13._某学校组织劳动实习，其中两名男生和两名女生参加农场体验活动，体验活动结束 后，农场主人与四名同学站一排合影留念 已知农场主人站在中间，两名男生不相邻，则不同的站法共有种.【答案】16【分析】根据正难则反原理，可求男生相邻的情况，再拿所有情况减去即可.【详解】农场主在中间共有人*=24种站法，农场主在中间，两名男生相邻共有2A；-A；=8种站法，第9页共21页故所求站法共有24-8=16种.故答案为：16【点睹】本题考査汁数原理，考查了正难则反原理，考査逻辑推理能力，属于中档题.14.已知与gb,是4个不同的实数，若关于x的方程

11、IX一4 I+1X _日X-勺I+IX-仇I的解集A不是无限集，贝IJ集合A中元素的个数构 成的集合为 _【答案】1)【分析】将该题转化为两个函数图像的交点问题，为了简化问题，特殊化成研究关于的方程lxl+lx-11=x-a+lx-b9也即是函数/(x)=ixl+lA-1I和g(Q=1x_a I+x-hI的图像的交点问题 画出分段函数的图像，通过取特殊值可以判断岀有1个交点，而0个交点和2个交点都是不可能的，需要用反证法去证明 设点A(O,1),B(l,l),C(a,b a),D(b,b-Q,借助斜率公式、绝对值三角不等式以及不 等式的性质，导出矛盾，从而说明0个交点和2个交点是不可能的，最终

12、得岀集合A只 能有1个元素.【详解】转化为/(x)=lx-q 1+1兀一勺I和g(x)=x-勺l+lx-俵I图像交点，为了简化问题，我们可以研究lxl+lx ll=lx-dl+l兀一方I,一2x+l,x0/(x)=|x|+|x-l|=1,0 xl,-2x+a+h.x a设cib、g(x)=|x-|+|x-b|=b-ci、a x b设4(0,1),C(a0 a),D(b、b a),由图像易知，1个交点容易得到,5 3个交点为(打第10页共21而0个交点和2个交点都是不可能的.假设有0个交点，2,%Ini 11方一1111/7-67-1 2*b-a-0,y 0),以AC为直径的半圆方程为(X-2)

13、2+/=4,(X0,y0),设M(1+cosa.sina),N(2+2 cos 0，2sin 0),0 v 0卩 题.16.已知函数/(x)对于任意实数x,都有/(x)=/(398-x)=/(2158-x)=/(3214-x),则函数值/(0),/，/,，/(2020)中最多有_个不同的数值【答案】177【分析】根据题中条件，确泄函数f(x)关于x=199、x=1079、x=1607对称，从而求出函数/(X)的最小正周期，进而可得出结果.【详解】由7(2158-%)=/(3214-x)/(2158-x)=/(3214-x)因为/(x)=/(398-x)=/(2158-x)=/(3214-x),

14、所以其图象关于x=199、x=1079、x=1607对称，因此函数有周期性，设周期为7则1079-199=880=,1607-1079=528=,2 2因为880和528最大公约数为176,巴=880=176x5,=528=176x3,2 2所以=5176，T/70).（1）若椭圆厂的焦距为2/3,长轴长为4,求椭圆17的方程；9（2）设直线A-/ny+l=0（/neR）与题（1）的椭圆交于A.B两点，判断点G（,0）4与以线段AB为直径的圆的位置关系；（3）过不在椭圆的任意一点P作两条直线厶J2,分别交椭圆于A、3和C、D两点若厶的倾斜角分别为&、0，且满足a+卩“,证明：IPAPB=PCP

15、D.（9、【答案】（1）+/=1：（2）点G-,0在以线段AB为直径的圆外；（3）证明见4-I 4丿解析.【分析】（1）由长轴长和焦距求出a,c的值，再由a,b,c之间的关系求出。的值,进而求岀椭圆的方程：丫2（2）将直线与椭圆联立，可得两根之和及两根之积，法（）GA GB0,氏，面不共线，所以可得ZAGB为锐角，判断出G点在圆外，法（二）设线段AB的中点H，可得H的坐标，求出IGHI的值，与IABI比较可得第18页共21IG/7t 可得G在圆外:2（3）设直线/2的参数方程，代入椭圆的方程整理可得参数pg论成立进而可证结【详解】（1）由题意得2C=2ECI=4,所以a=2、c=*、b所以椭圆

16、r：+/=1：4(2)设A(xpi),B(x2,y2),x=my _ 1rrj2x2,得(+4)y2-2 3=0,+厂=17 4所以”+儿二単亍儿儿二一亠匚nr+4nr+4法一：因为入=Xi+T，yJ，GB=9心+亍讣決儿+寸）+川2所以GA-GB=(,+1)N y2+1m(X+2)+、5.一3(广+1)尹2517+102门-+=；0 nr+4nr+41616(广+6)所以cosG4,GB0 XGA.GB不共线所以乙4GB为锐角,所以点G-二,0在以线段AB为直径的圆外:法二：设线段AB的中点为H（x0,y0）,则y0=A=_IGHP=”)+#+元=何+1）元+詁+寻，I ABF_（再一兀2）

17、+（”一儿）2_（+1）（才_儿）244_何+1)(必+力)-4y=-=(44第19页共21页、5.-3(厂+叭尹,25 _ 17存+102所以|GHI竺z所以点在以线段AB为直径的圆外:（3）（直线的参数方程）设P（x0,V0）直线（/为参数），直+p cos6.为参数），分别代入椭圆方程，得厶二（I,cos 0+/sin，0）,+2（Z?x0cosp+ayQ sin0）p+b2x 4-a2y-a2b2=220,因为a+0=/r,所以cosa=cos j5,sina=sin fi,所以fih=Pi，HPIPAI-IP5HPC PD.【点睛】本题考查求椭圆的方程，及直线与椭圆的综合，参数方程的

18、应用，属于中难题.关键点点睛：把点与圆的位置关系转化为GA：C丘与0的大小比较，或者转化为点G与ADAB中点间的距离与=大小比较是解题的关键.222221.若正整数的二进制表示是n=r+ain_l-r-l+.-+ai.2+a,t这里e0,l）（z=0J,2,-,/n-l）,称有穷数列1,am_lt am_2,）为的生成数列,设qg工1）是一个给定的实数，称P =q+q心+q q+吗为n的生成数.m（1）求5）的生成数列的项数；（2）求由的生成数列必，卩2,”的前-laeN*）项的和Sg（用表 示）；（3）若实数Q满足上匕目vg2,证明：存在无穷多个正整数使得不存在正整数/满足Pik V P V

19、 PIM【答案】(1)233：(2)S2=23(l+g+“)；(3)证明见解析.第20页共21页【分析】（1）由题意知2 n=2+色“+q2+q v 2曲，求出可知”的生成数列的项数7+1,故解r5 2即可求解:（2）可先归纳猜想，再由数学归纳法证明；对m w NS设二进制表示下巴胖）2,证明不存在乙“，使得 加个10im1WrflPlk Pl 2且=T+q 2+a02n,+2+1,2+i 故确左川即可确怎川的生成数列的项数m+,令2 5 2*，解得100log2 5一m,00m1l/w1001og2 5,因为log,52322jn e N,所以加=232,所以5心)的生成数列的项数为233:

20、(2)法一：(数学归纳法)当k=1时，S=“=1,当k=2时，$3=/片+卩2+3=l+g+S+l)=2(l+q),当k=3时，S?=p+P2+P7=+g+(g+l)+(/)q2),+(g2+l)+(g2+q)+(q2+)=22(+q+猜想：S2=2A“(l+g+.+)，接下来用数学归纳法证明，当k=l,2,3时，已证，假设结论对k成立，则对R+1有$27=2*-1+“2*+2*+1+“27=2 I(+q+q1)+g人+1)+(人+&+g+)=2i(l+q+.+/-)+2水 孑+S,j=2*(1+.+亍)，故结论对R+1也成立,所以S?=2_|(1+“)：,5第21页共21页(3)使得Plk

21、Pl P2Z，对设二进制表示下以曰巴呼我们证明不存在/e/V加个10事实上,对这样的keN有p2k=f 4-q-+,p2k+l=p2*+h如果存在IwN、使得P2t Pi P2*+i，设/的二进制表示为/=mX2m3i-0厂e 0,l,q=1,则Pl=土彳，r-0 若m=1,则qp亦(因为所以q+2)时可以推出矛盾，考虑加的情形，若/2m,则戸 q q-+q q-+心+qZ.严j+.+g+l=p2z，矛盾，若/2/?-2,则A q +严+.+1=(严-2+严-3)+(严4*q2m-5)十.+(2十)十2m22m2m12m222 产+孑,心o,1,2,.,所以t=2in-,这时，记/=/一2曲=工耳-2,/-0进而，有Pr=Pi-qW于是，由Plk Pl“22得卩2(1)=亍心+/+与归纳假设不符.综上所述，存在无穷多个正整数R，使得不存在正整数/,满足血 P,必“【点睛】关键点点睛：本题属于创新型题目，难度很大，推理要求很髙，涉及到了数学归纳法，反证法，难度太大，属于难题.+1，第22页共21页